4.4. Основные и неосновные носители заряда
Произведение концентраций n0 и p0 для невырожденного полупроводника не зависит от наличия примесей и положения уровня Ферми, а определяется только шириной запрещенной зоны EG материала:
n p |
= n2 |
= N |
|
N |
|
exp |
|
− |
EG |
. |
(4.12) |
C |
V |
|
|
||||||||
0 0 |
i |
|
|
|
|
k T |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
|
Соотношение (4.12) носит название закона действующих масс. Зная равновесную концентрацию носителей заряда одного типа, с его помощью можно рассчитывать концентрацию носителей заряда другого типа.
Задача 4.18.
Часть I. Используя закон действующих масс, вывести из уравнения электронейтральности концентрацию основных и неосновных носителей заряда для донорного полупроводника на участке истощения примеси.
Решение.
Для области истощения примеси справедливо
n0 = p0 + ND . |
(4.13) |
Воспользуемся законом действующих масс p0 = ni2 
n0 и подставим в (4.13). Тогда снова имеем квадратное уравнение
n0 − ni2 
n0 − ND = 0,
его решение
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
n |
= N |
D |
2 + (N |
D |
2)2 + n2 |
(4.14) |
||
0 |
|
|
|
i |
|
|||
Аналогично считаем концентрацию неосновных носителей заряда – ды-
рок:
p0 = −ND 
2 + 
(ND 
2)2 + ni2 .
Часть II.
Построить график зависимости концентрации основных и неосновных носителей заряда от обратной температуры для кремния в диапазоне температур по полученным расчетным формулам. Проанализировать границы применимости данных формул.
38
Задача 4.19.
Вычислить собственную концентрацию носителей заряда в кремнии при T = 300 и 77 К. Значения ш ирины запрещенной зоны и эффективных массы электронов и дырок взять из табл. 2.2.
Указание.
Собственная концентрация носителей заряда находится из (4.12). Эффективная плотность состояний для электронов в зоне проводимости и для дырок в валентной зоне – из (4.4), (4.6).
Ответ: ni = 6.0·109 (1.5·10–20) см–3.
Задача 4.20.
Определить концентрацию электронов при комнатной температуре в полупроводнике p-Si с концентрацией акцепторов 1017 см–3.
Задача 4.21.
Оценить собственную концентрацию носителей заряда в алмазе при 700 К. Сравнить с результатами для GaAs, Si, SiC и GaN.
Ответ. Справочное значение для алмаза ni ~10–27 см–3 при Tкомн.
Задача 4.22.
Определить концентрацию дырок при T = 300 К в n-Si с концентрацией доноров 1015 см–3. Как изменится концентрация электронов и дырок при возрастании температуры на 60 К?
Ответ. Считаем, что доноры полностью ионизованы, n0 = 1015 см–3 и
p0 = ni2 
n0 =105 см–3.
При умеренном увеличении температуры (на 60 К) концентрация основных носителей заряда (электронов) останется на том же уровне (1015 см–3), в то время как концентрация дырок увеличится примерно в 2200 раз из-за
ni2 = NC (T )NV (T )exp − |
EG |
. |
|
||
|
kBT |
|
Задача 4.23.
Температурная зависимость ширины запрещенной зоны кремния определяется выражением
39
E =1.17 эВ− 4.73 10−4 T 2 . |
|
G |
T + 636 |
|
|
Определить концентрацию электронов в зоне проводимости собственного кремния при T = 77 К, если при T = 300 К ni = 1.05·1010 см–3.
Решение:
2 |
|
|
EG |
|
|
3 |
|
|
EG |
|
ni |
= NCNV exp |
− |
|
|
T |
|
exp |
− |
|
. |
k T |
|
k T |
||||||||
|
|
|
B |
|
|
|
|
|
B |
|
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
3 2 |
|
|
|
E |
(T |
) |
|
E |
(T ) |
||
n |
(T |
)= n (T ) |
|
2 |
|
exp |
|
− |
G |
2 |
|
+ |
G |
1 |
. |
T |
2k T |
|
2k T |
||||||||||||
i |
2 |
i 1 |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
B 2 |
|
|
|
B 1 |
|
Задача 4.24.
Определить концентрацию свободных электронов и дырок в образце германия при комнатной температуре. Полупроводник легирован донорами до уровня 1016 см–3 и акцепторами до уровня 1014 см–3.
Указание.
Для германия при комнатной температуре без большой погрешности можно положить n0 = ND, тогда p0 = ni2 
n0 .
40
5.МЕХАНИЗМЫ РАССЕЯНИЯ НОСИТЕЛЕЙ ЗАРЯДА
ВПОЛУПРОВОДНИКЕ
5.1.Основные механизмы рассеяния. Общие положения
Движущиеся в кристалле электроны проводимости характеризуются
средней кинетической энергией E , которая примерно равна 32 kBT , и соответ-
ствующей этой энергии длиной волны λ = |
|
h |
|
. Если электронная волна |
|
|
|
||
* |
||||
|
|
3kBTmn |
|
|
встречает на своем пути дефект, протяженность которого соизмерима с λ
4,
то она эффективно рассеивается, т. е. частично изменяет или полностью утрачивает направленную составляющую скорости. Рассеяние носителей заряда в твердых телах– процесс взаимодействия электрона (дырки) сдефектами, вызывающими нарушения идеальной периодичности кристалла, приводящий к потере направленной составляющей скорости. В результате акта рассеяния электрон изменяет свой импульс, а кроме того может измениться и его энергия.
Количество рассеянных в единицу времени электронов характеризуется эффективным сечением рассеяния
σ = |
|
W |
, |
(5.1) |
|
N |
v |
||||
|
|
|
|||
|
|
деф т |
|
|
|
зависящим от концентрации рассеивающих центров Nдеф |
и тепловой скоро- |
||||
стиэлектроновvт.Величина W – вероятностьрассеянияоднойчастицыведи-
ницу времени, измеряемая в секундах в минус первой степени.
Величина, обратная W, называется временем релаксации носителей заряда:
τ = |
1 |
= |
|
1 |
. |
(5.2) |
|
W |
σN |
v |
|||||
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
деф т |
|
|
Время релаксации может иметь более общий смысл – как время восстановления равновесия в системе, нарушенного вследствие внешнего возмущения. Такой процесс формально описывается с помощью кинетического уравнения Больцмана. При малом возмущении его решение, характеризующее релаксацию неравновесной функции распределения электронов f в равновесное состояние с функцией Ферми–Дирака f0, сводится к экспоненциальному:
f= f0 +( f − f0 )exp(−t
τ),
асам метод решения носит название приближения времени релаксации.
41