По координатам вершин восстанавливаем координаты векторов как разность координат его крайних точек:

Имеем cosϑ= −0.333. Угол = 1.91 рад = 109.45°.

Для решения можно воспользоваться соотношением между сторонами и

углами треугольника a2 =b2 + c2 − 2bccosα или построением сферы, описывающей тетраэдр.

Задача 2.17.

Рассчитать расстояние между плоскостями (100) и (110) в кристалле алмаза.

Ответ:

расстояние между плоскостями (100) – a/4; расстояние между плоскостями (110) – a24.

2.4.Зона Бриллюэна. Зонная структура полупроводников

Втвердом теле в соответствии с теоремой Блоха волновая функция электрона определяется как волна де Бройля, модифицированная периодической составляющей с периодом решетки:

где

unk (r)=unk (r + R),

а R – вектор трансляции прямой решетки.

Трансляционная симметрия кристалла приводит к неоднозначности выбораk дляиндексацииволновойфункции ψnk (r),поэтомувектор k называют

не волновым, а квазиволновым вектором. Поскольку вектор k определен с точностью до векторов обратной решетки bi, то обычно за начальный вектор при- нимаютвектор,находящийсяближедругихкначалукоординатk-пространства. Область −bi 2 <k ≤bi 2 называют 1-й зоной Бриллюэна (или просто зоной

Бриллюэна). Зависимость энергии от квазиволнового вектора рассматривают в ней, а индекс n в (2.1) нумерует разрешенные энергетические зоны.

17

Для алмазоподобных полупроводников решеткой Браве является кубическаягранецентрированная решетка. Соответственно,зонойБриллюэнаслужит объемно-центрированная кубическая ячейка в k-пространстве.

Если положения абсолютных экстремумов зоны проводимости EC и валентной зоны EV совпадают по волновому вектору, полупроводник называется прямозонным, если не совпадают – непрямозонным (рис. 2.7). Остальные обозначения на рис. 2.7 будут раскрыты в 2.5.

Рис. 2.7. Схематическая зонная структура прямозонного (а) и непрямозонного (б) полупроводников

Рис. 2.8. Зоны Бриллюэна: а – первая зона Бриллюэна для кубической гранецентрированной решетки и направления на точки высокой симметрии;

б– зонная структура Ge, рассчитанная методом псевдопотенциала

сучетом спина и спин-орбитального расщепления

18

Полная трехмерная зона Бриллюэна для кубической гранецентрированной решетки изображена на рис. 2.8, a; одномерная развертка зоны Бриллюэна с рассчитанными дисперсионными зависимостями по нескольким направлениям для полупроводника Ge приведена на рис. 2.8, б.

Задача 2.18.

Показать, что при движении свободного электрона в кристалле его волновой вектор может измениться только на значение вектора обратной решетки, а условие образования стоячей электронной волны (условие дифракци-

онного отражения) в кристалле имеет вид 2kb +b2 = 0 .

Задача 2.19.

Вывести соотношение между объемами элементарных ячеек прямой и обратной решеток для кристаллических структур алмаза и сфалерита.

2.5. Эффективная масса носителей заряда. Ширина запрещенной зоны

По аналогии с электроном в свободном пространстве поведение квазичастицы в твердом теле характеризуется эффективной массой m *. Эффективная масса вводится через кривизну зависимости энергии от квазиволнового вектора

фективной массы mij* является обратным по отношению к (1m*)ij .

На рис. 2.9 приведены зонные структуры кремния и кристаллического алмаза.Благодарякристаллохимическомуподобиюрассматриваемыхковалентных полупроводников структуры их энергетических зон оказываются во многом сходными. Как и Ge, кремний и алмаз являются непрямозонными полупроводниками. Абсолютный минимум зоны проводимости в Si расположен в направлении (т. е. [100]) от центра зоны Бриллюэна в точке с относительными координатами в единицах πa [0.86, 0, 0], а в алмазе– в точке [0.75, 0, 0]. В них суще-

ствует6эквивалентныхминимумов,характеризующихсядвумяразличнымизначениями эффективной массы mx = my = mn (поперечная эффективная масса)

и mz = mn* (продольная эффективная масса).

19

Структура валентных зон в этих полупроводниках также подобна и состоит из подзон легких и тяжелых дырок с эффективными массами дырок mhl*

и mhh* соответственно. Значение спин-орбитального расщепления в алмазе

всего 0.006 эВ, а при переходе к элементам с бόльшими атомными номерами оно растет и в Ge составляет 0.29 эВ.

Ширина запрещенной зоны является важнейшей характеристикой полупроводника. С повышением температуры амплитуда колебаний атомов в решетке растет и межатомное расстояние увеличивается. Следствием этого является снижение действующего на электроны потенциала и уменьшение ширины запрещенной зоны. Эмпирическая зависимость ширины запрещенной зоны от температуры описывается формулой Варшни:

где EG (0) – ширина запрещенной зоны при температуре абсолютного нуля, а

T – абсолютная температура. Коэффициенты α и β для наиболее важных полупроводников приведены в табл. 2.2 и в приложении.

Также в табл. 2.2 приведены эффективные массы электронов, легких и тяжелых дырок. Значения даны в единицах массы свободного электрона m0 .

Для непрямозонных полупроводников через дробь даны продольные m*n и

поперечные m*n эффективные массы электронов в зоне проводимости.

Задача 2.20.

Излучение полупроводникового светодиода формируется прямыми переходами зона-зона в нитриде галлия. Определить, как изменится длина волны излучения этого светодиода при изменении его температуры от 80°С до 150 К.

21