Указание.
Зависимость EG от температуры описывается формулой Варшни (2.2). Длина волны связана с энергией соотношением λ = hc
EG .
Задача 2.21.
Выбрать из табл. 2.2 конкретные полупроводниковые материалы в качестве фотоприемников для диапазонов: а) 200…300 нм; б) видимый диапазон; в) 1…2 мкм; г) 3.5…5 мкм. Обосновать ответ.
2.6. Проявление зонной структуры полупроводников в различных явлениях. Масса плотности состояний
Дисперсионные зависимости E(k) вблизи дна зоны проводимости и потолка валентной зоны имеют вид:
E = EC + 2k2 (2m)* , |
E = EV − 2k2 (2m)* , |
где эффективная масса находится двойным дифференцированием
* |
2 |
|
|
|
|
mij = |
|
|
|
|
. |
∂2E (k) |
(∂k ∂k |
j |
) |
||
|
|
i |
|
|
|
В случае сложного закона дисперсии для расчета плотности состояний применяется масса плотности состояний:
а) в зоне проводимости непрямозонного полупроводника
m* |
= M 2 3 (m* m* |
m* |
)1/3 , |
(2.3) |
dn |
n1 n2 |
n3 |
|
|
где M – количество эквивалентных минимумов (долин); mn*1,2,3 |
– эффектив- |
|||
ные массы по соответствующим направлениям; б) в валентной зоне, содержащей подзоны легких и тяжелых дырок:
md*p =(m*3ph 2 + m*3pl
2 )2/3 . (2.4)
Задача 2.22.
Определить массу плотности состояний электронов и дырок: a) в арсениде галлия; б) в кремнии.
Указание.
GaAs – прямозонный полупроводник, Si – непрямозонный. Их упрощенная зонная структура приведена на рис. 2.7. Эффективные массы для электронов, легких и тяжелых дырок взять из табл. 2.2.
22
Ответ: а) md*n = 0.063 m0, md*p = 0.532 m0; б) md*n =1.084 m0, md*p = 0.549 m0.
Задание 2.23.
Построить в MathCAD эллипсоиды эффективной массы для GaAs, Si, Ge. Этап I. Построить плоскую картину – эллипсы на двумерном графике.
График необходимо строить параметрически, тогда оси X и Y будут эквивалентны.
Параметрическое задание эллипса: x = a cosu ; y =bsinu .
На графике выбрать стиль осей – пересекающаяся рамка. Этап II. Эллипсоиды на 3D-графике.
Выбрать в среде MathCAD график поверхности.
Создать программу для построения эллипсоидов вращения. Координаты поверхности эллипсоида задать параметрическими уравнениями:
Xm,n = a cosum cosvn ; Ym,n =bsinum cosvn ;
Zm,n = csin vn .
Здесь m, n – индексы узлов координатной сетки.
На осях отключить автомасштаби- |
|
рование. Добавить построение соответ- |
|
ствующего эллипсоида (или гофриро- |
|
ванной поверхности) для валентной |
|
зоны. При построении ориентироваться |
|
на рис. 2.11. |
|
Задача 2.24. |
|
В наиболее чистых полупроводни- |
|
ковых кристаллах (например, в крем- |
|
нии) один атом примеси может прихо- |
|
диться на 1012 собственных атомов кри- |
Рис. 2.11. 3D-изображение эллипсоидов |
сталла. Ответьте на вопросы: |
эффективной массы в Si |
1.Какую теоретически минимальную концентрацию примеси возможно получить в кристалле кремния?
2.Возможно ли получить собственную проводимость кремния при комнатной температуре?
23
2.7. Твердые растворы полупроводников
Помимо ограниченного числа бинарных полупроводниковых материалов в современной физике полупроводников и микроэлектронике широко используются полупроводниковые твердые растворы. В тройных твердых растворах замещение происходит по узлам одной из подрешеток бинарного соединения. В химической формуле полупроводникового твердого раствора АхВ1–хС индекс х (0 < x <1) определяет молярную долю соединения АC. В твердых растворах наблюдается статистически неупорядоченное распределение атомов замещаемых компонентов по узлам соответствующей подрешетки. С изменением состава твердого раствора происходит линейное изменение периода кристаллической решетки (закон Вегарда) (рис. 2.12).
Рис. 2.12. Связь ширины запрещенной зоны и постоянной решетки для ряда полупроводников A3B5 и их твердых растворов
В твердых растворах можно плавно управлять шириной запрещенной зоны, изменяя компонентный состав. Зависимость ширины запрещенной зоны от состава x, как правило, является нелинейной и выражается параметром прогиба b, причем обычно b > 0. Для твердого раствора AxB1−xC ширина запрещенной зоны описывается формулой
EG (AxB1−xC )= EG (BC )+ x EG (AC )− EG (BC ) −bx(1− x).
Параметры a, m* и некоторые другие для твердых растворов рассчитываются линейной интерполяцией, EG – с учетом прогиба.
24
Задача 2.25.
Рассчитать постоянную кристаллической решетки, ширину запрещенной зоны и значение эффективной массы электрона для твердого раствора
InxGa1−xAs при x = 0.23.
Задача 2.26.
Считая, что в полупроводниковом твердом растворе InxGa1−xAs постоянная кристаллической решетки линейно меняется с изменением состава, определить состав, при котором постоянная решетки соответствует таковой в подложке InP.
Задача 2.27.
Для передачи оптического сигнала на дальние расстояния без потерь лазерный луч должен иметь длину волны 1.3 или 1.55 мкм. Какие твердые растворы полупроводников, согласованные по периоду решетки с подложкой InP, обладают шириной запрещенной зоны, соответствующей указанным длинам волн?
Задача 2.28.
Какой диапазон длин волн излучения могут перекрыть светодиоды на полупроводниковых твердых растворах AlAs-GaAs в области прямозонных составов?
Указание. Твердый раствор AlxGa1−xAs имеет прямую структуру энергетических зон до состава x = 0.4.
25