4.3.Уравнение электронейтральности

Добавил:

Kvant Когда то был здесь Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет "ЛЭТИ"

Предмет:

Физика полупроводников и полупроводниковых приборов

Файл:

ФПП метода.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

06.06.2026

Размер:

2.63 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 158 9 10 11 12 13 14 15 > Следующая >>>

Решение.

Концентрация электронов в нижнем минимуме

nI = NIC exp EF − EC .kBT

Концентрация электронов в верхнем минимуме:

	EF −(EC	+ ES )	EF − EC				−ES
nII = NIIС exp			= ζNIC exp			exp k		T	,
nII = NIIС exp	k T		= ζNIC exp	k	T	exp k		T	,
	B				B			B

где ζ = NIIСNIС =(mIInmIn )32 =58;

Задача 4.15.

Определить положение уровня Ферми в кремнии при комнатной температуре, если а) концентрация электронов равна 1017 см–3; б) концентрация дырок равна 1014 см–3. Продублировать ответ изображением зонной диаграммы.

Ответ: а) EC – EF = 0.146 эВ;

б) EF – EV = 0.31 эВ.

nII = ζnI exp(−ES (kBT ));

nI = ζexp(−ES (kBT ));

= 0.8 10−4,

Вобщем случае, когда в полупроводнике имеются одновременно доноры

иакцепторы, уравнение электронейтральности имеет вид

n	+ N −	= p	+ N + .	(4.10)
0	A	0	D
Для расчета концентраций свободных электронов n0				и дырок p0 исполь-

зуются выражения (4.7) и (4.8) соответственно. Концентрация ионизированных доноров определяется формулой

+				ND
ND =							,	( 4.11)
	1+ g	D	exp (E		− E	) (k T )
				F	D	B

аналогично для ионизированных акцепторов:

−				NA
NA =							.
	1+(1 g	A	)exp (E		− E	) (k T )
				A	F	B

В этих формулах ND , NA – концентрации доноров и акцепторов соответственно; ED , EA – энергетические положения донорных и акцепторных уровней; gD , gA – их факторы вырождения.

Из уравнения электронейтральности (4.10) можно определить уровень Ферми и найти равновесные концентрации носителей заряда. В общем случае уравнение оказывается нелинейным и не поддается аналитическому решению, но может быть решено численными методами.

Вотдельных случаях можно получить простые аналитическиевыражения для концентрации носителей заряда и положения уровня Ферми.

Задача 4.16.

Решить уравнение электронейтральности для случая невырожденного донорного полупроводника

n0 = ND+ + p0 .

Часть I. Аналитическое решение.

Для концентрации свободных носителей заряда и ионизированных доноров используем выражения (4.7), (4.8) и (4.11).

Пусть T – мала. Тогда пренебрежем неосновными носителями p0:

EF − EC

= NC exp

, или

k T

1+ g

exp (E

− E

) (k T )

n0 =

1+ g

exp (E

− E )

(k T ) exp (E

− E

)

(k T )

D NC

Подстановкой

n =

exp

ED − EC

уравнение электронейтральности

k T

преобразуется в квадратное уравнение относительно n0 :

или n 2

+ n n − N

n = 0 .

1+ n

0 1

D 1

По формулам корней квадратного уравнения:

n 2

n0 = − 1 ±

+ NDn1 = −

1 ±

−1

± 1+

При низких T можно положить ND n1. Тогда обеими единицами пренебрегаем:

1 2

NDNC

ED − EC

NDNC

ED − EC

≈ n1

exp

kBT

2kBT

Сопоставим с больцмановским выражением для n0:

1 2

ED − EC

= N

exp

EF − EC

NDNC

exp

2kBT

kBT

Отсюда найдем EF:

EF − EC

1 2

ED − EC

exp

k T

1 2

2E − 2E − E + E = k T ln

C D C B

gDNC

Ответ: E

ED + EC

− kBT ln

gDNC

Часть II. Численное решение.

Принять ND =1017 см–3, ED = 0.05 эВ. Решить уравнение электроней-

тральности в MathCAD. Сравнить результаты аналитического и численного решений для GaAs.

Задача 4.17.

Решить уравнение электронейтральности для случая компенсированного донорного полупроводника.

Компенсирующая акцепторнаяпримесьполностьюионизована, а концентрацией дырок можно пренебречь. Тогда имеем

n0 + NA = ND+ .

Часть I. Аналитическое решение.

Для концентрации свободных носителей заряда и концентрации ионизированных доноров используем выражения (4.7), (4.8) и (4.11):

n0 + NA =

1+ g

exp (E

− E

)

k T exp (E

− E

)

(k T )

D NC

Подстановкой

n =

exp

ED − EC

уравнение электронейтральности

k T

преобразуется в квадратное уравнение относительно n0 :

n + N	A	=		ND		,
			1+ n		n
0
			0		1

или n02 + n0 (n1 + NA )+ NAn1 − NDn1 = 0 .

По формулам корней квадратного уравнения:

n0 = − n1 +2NA ± n1 +2NA 2 + NDn1 − NAn1 .

1) Для очень низких температур n0 NA < ND , поэтому NA n1 1 и

NA > 4(ND − NA ). n1 n1

В этой области расчет дает для концентрации


n ≈	ND − NA				N		exp	−	EC − ED
n ≈					N	C	exp	−	k T
0	g	D	N	A		C			k T
		D		A					B

и для положения уровня Ферми

EF = ED + kBT ln ND − NA . gDNA

2) С ростом температуры будет выполняться NA n0 ND . После ряда приближений получаем на этом интервале

− N

1/2

E − E

≈

exp −

2k T

E = EC + ED − kBT ln gDNC .
F	2	2 ND − NA

Низкотемпературная область зависимости ln n = f (1T ) (до наступления пол-

ной ионизации примеси) в компенсированном полупроводнике представлена на рис. 4.3.

Часть II. Численное решение (выполняется в рамках индивидуального задания).

Рис. 4.3. Низкотемпературный участок зависимости ln n = f (1/ T ) для

компенсированного полупроводника

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 158 9 10 11 12 13 14 15 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Физика полупроводников и полупроводниковых приборов

#
06.06.2026230.98 Кб0kurp.docx
#
06.06.2026184.82 Кб0KursPP.xmcd
#
06.06.20262.63 Mб0ФПП метода.pdf