1. СВОБОДНЫЙ ЭЛЕКТРОН. ЭЛЕКТРОН В ТВЕРДОМ ТЕЛЕ

Из физики твердого тела известно, что электрону в свободном пространстве с определенными приближениями сопоставляется плоская монохроматическая волна– волнадеБройля Aexp(ikr), зависящаяотволновоговектора k.

Важнейшей характеристикой электронаявляетсязависимость его энергии E от импульса (волнового вектора). Для свободного электрона эта зависимость выражается параболой

E= 2k2(2m0 )

снепрерывными k и E. При этом масса свободного электрона m0 является

константой. В твердом теле в соответствии с теоремой Блоха волновая функция электрона определяется как волна де Бройля, модифицированная периодической составляющей с периодом решетки:

ψnk (r)= Aexp(ikr)unk (r),

где

unk (r)=unk (r + R),

а R – трансляционный вектор прямой решетки. Квантовое число n отражает периодичность зонной структуры кристалла и нумерует разрешенные энергетические зоны.

Соответственно, состояние электрона в периодическом потенциале твердого тела имеет много общего с состоянием свободного электрона, но одновременно учитывает и симметрию кристалла.

1.1. Плоская волна

Плоская монохроматическая волна является решением уравнения колебания струны. В одномерном случае уравнение имеет вид

∂2ψ(x,t ) = v2 ∂2ψ(x,t ), ∂t2 ∂x2

где множитель v2 имеет размерность квадрата скорости. Решение уравнения

ψ(x,t )= Aei(kx−ωt ),

где k = 2πλ – волновое число (волновой вектор в трехмерном случае); λ – длина волны; ω= 2πT – круговая частота; T – период волны.

4

Отсюда фазовая скорость v = vф = ωk – это скорость движения точек монохроматической волны с одинаковой фазой.

1.2. Волновой пакет

Принятое в физике твердого тела сопоставление электрону монохроматической волны де Бройля является довольно грубым приближением, так как такая инфинитная (не имеющая начала и конца) волна обладает бесконечно большой энергией E. Более корректно частице сопоставлять волну конечной протяженности, т. е., строго говоря, следует использовать волновой пакет, локализованный в области с размерами ∆x ≈1∆k .

Волновой пакет строится из суперпозиции плоских волн, для которых волновое число k изменяется от k0 − ∆k2 до k0 + ∆k2 (для простоты предполагается, что на имеющем основное значение интервале амплитуды остаются постоянными и равными A∆k :

Групповая скорость vгр = dωdk характеризует среднюю скорость рас-

пространения такой группы волн (вейвлета); групповая скорость также определяет скорость переноса энергии вейвлетом.

1.3. Расчет движущегося волнового пакета

Задание 1.1. Программирование движущейся плоской волны в пакете

MathCAD.

В MathCAD можно запрограммировать анимационное движение волны. Для этого используется переменная FRAME. Для простоты на первых этапах расчета вместо комплексной функции exp(i(kr −ωt )) воспользуйтесь обыч-

ной тригонометрической функцией cos(kx). Выполните последовательность операций:

1)задать функцию, описывающую плоскую волну и зависящую от значения переменной FRAME;

2)подготовить ту часть документа, которую необходимо анимировать;

3)выполнить команду Сервис – Анимация – Запись;

4)в диалоговом окне Запись анимации заполнить поле Для FRAME: ввести нижнюю и верхнюю границы переменной FRAME, в которых она будет

5

меняться с шагом 1, а также скорость анимации в поле Частота кадров в се-

кунду;

5)выделить пунктирной рамкой (нажав левую клавишу мыши и протаскивая ее в нужном направлении) ту часть рабочего документа, которую следует анимировать;

6)нажать в окне Запись анимации кнопку Анимировать;

7)в окне Воспроизвести анимациюнажать кнопку Пуск – анимация будет воспроизведена.

Программируем:

Графики должны соответствовать рис. 1.1.

Рис. 1.1. Одномерная плоская волна (а); двумерная плоская волна (б)

Задание 1.2. Программирование движущегося волнового пакета в

MathCAD.

Повторите операции задания 1.1 применительно к выражению, описывающему одномерный и двумерный волновые пакеты (1.1). Изображения должны соответствовать рис. 1.2.

Программируем:

6

Чтобы получить радиально-симметричный вид пакета волн, двумерную задачу следует решать в полярных координатах.

Рис. 1.2. Одномерный пакет волн (а); двумерный пакет волн (б)

Далее попробуйте изменить программный код для расчета волнового пакета с использованием функции exp(ikx).

Введите реальную фазовую скорость электрона v ~ 1·106 см/с и модифицируйте расчет так, чтобы волновой пакет двигался на экране.

По результатам выполнения задания напишите отчет «Моделирование плоской волны и волнового пакета» в пакете Word.

Задача 1.1.

При каких скоростях электрона его дебройлевская длина волны будет равна, соответственно, 380 нм, 0.7 нм?

Задача 1.2.

Кинетическая энергия протона в 4 раза меньше его энергии покоя. Вычислить дебройлевскую длину волны протона.

Указание. Полная энергия, импульс и масса релятивистской частицы связаны соотношением E2 − p2c2 = m02c4, где E = Eкин + m0c2 .

Задача 1.3.

Исходя из постулата о том, что в атоме разрешенными для электронов орбитами являются те, на длине которых укладывается целое число длин волн де Бройля λ, определить радиус стационарной орбиты электрона для невозбужденного состояния атома водорода.

7

Решение.

При движении электрона по стационарной орбите радиусом r центробежная сила уравновешивается силой кулоновского притяжения:

Для невозбужденного состояния атома водорода n = 1. Тогда имеем r = = a0 = 0.053 нм. Этот параметр носит название боровского радиуса атома водорода.

8