2.3. Индексы Миллера

Для обозначения кристаллографических плоскостей общепринятой являетсясистемаиндексовМиллера.Возьмемсистемукоординат,осикоторой совпадают с тремя ребрами элементарной кристаллической ячейки. Начало координат поместим в один из узлов решетки, в котором пересекаются эти ребра. Осевые единицы выберем равными длине ребер кристаллической ячейки, т. е. масштаб по оси X будет равен а, по оси Y– b и по оси Z– с. Разномасштабность осей координат вполне оправдывает себя, так как позволяет ввести наиболее рациональную систему индексов. В выбранной системе координат удобно в качестве трех опорных точек взять точки пересечения заданной плоскости с осями координат. Положение любой плоскости в пространстве определяется тремя точками. Пусть определяемая узловая плоскость S отсекает по осям от-

резки х = 1, y = 2, z = 3.

Далее поступают по следующей схеме:

1)берут отрезки, отсекаемые плоскостью на осях координат: 1:2:3;

2)берут значения, обратные этим отрезкам: 11 : 12 :13 ;

3)приводят к общему знаменателю: 66 : 63: 62;

4)отбрасывают знаменатель: 6:3:2 – индексы Миллера для плоскости. Миллеровские индексы плоскостей заключаются в круглые скобки (632),

знак отношения между индексами не ставится.

Если плоскость параллельна какой-либо оси, ее проекция на эту ось равна бесконечности. Для такой плоскости индекс Миллера равен нулю. Если плоскость отсекает некоторый отрезок с отрицательным знаком, то индекс Миллера будет также отрицательным, и черточка ставится сверху над индексами.

Одной из типичных задач кристаллографии является расчет двугранных углов между плоскостями кристалла.

Определение 1. Двугранный угол между плоскостями равен углу, образованному нормальными векторами этих плоскостей.

Определение 2. Двугранный угол между

плоскостями равен углу, образованному прямыми l1 и l2, лежащими в соответ-

ствующих плоскостях и перпендикулярными линии пересечения плоскостей

(рис. 2.4).

13

Задача 2.7.

Запиcать индексы Миллера для некоторых атомных плоскостей простой кубической решетки: ABLK, KLMN, BCML, ACN, BKM, AKMC (рис. 2.5).

Рис. 2.5. Простая кубическая решетка с обозначениями вершин

Задача 2.8.

Две плоскости в кубической решетке заданы индексами Миллера (010) и (011). Определить угол между плоскостями.

Указание.

Угол между двумя векторами r1 =u1a + v1b + w1c и r2 =u2a + v2b + w2c

Задача 2.9.

Определить угол между плоскостями (111) и (422) в кубическом кристалле.

Задача 2.10.

Определить расстояние между ближайшими плоскостями (110) в простой кубической решетке с постоянной a0 = 4.83 Å.

Ответ: 3.42 Å.

14

Задача 2.11.

Вычислить, сколько атомов располагается на 1 мм2 плоскостей (100) и (111) в кристаллической решетке кремния, если постоянная решетки Si a = 0.54 нм.

Решение.

а) В одной элементарной ячейке кремния плоскости (100) принадлежат 4 угловых атома с весом 1/4 и один центральный атом с весом 1. Итого 2 атома. Онизанимаютплощадьa2. Отсюданаплоскостиразмером1 мм2 размещаются примерно 6.9·1012 атомов.

б) Для плоскости (111) найти решение самостоятельно.

Задача 2.12.

Чему равны расстояния между плоскостями в кубической решетке с параметром а0: а) между плоскостями (100); между плоскостями (110); между плоскостями (111)?

Задача 2.13.

Определить параметр а простой кубической решетки, если межплоскостное расстояние d для системы плоскостей, заданной индексами Миллера (212), оказалось равным 0.12 нм.

Указание. Межплоскостное расстояние определяется через постоянную решетки и индексы Миллера как dhkl = a/(h2 + k2 + l2)1/2.

Задача 2.14.

Брэгговский угол, соответствующий первому порядку отражения для плоскости кристалла(111), равен 30°. Определить межплоскостное расстояние d и период кристаллической решетки a кристалла, если на плоскость (111) падает рентгеновское излучение с длиной волны 0.175 нм.

Решение.

Имеем условие Вульфа–Брегга: nλ = 2dsin θ. Для первого порядка (n = 1) λ = 2dsin 30º.

Отсюда d = 0.175 нм и a = 0.175·31/2 = 0.303 нм.

Задание 2.15.

Рассчитать координаты вершин тетраэдра и построить тетраэдр в

MathCAD.

15

Решение.

Будем строить тетраэдр основанием на плоскости XY. Одну грань выберем по оси X.

Рассчитаем координаты вершин:

A =(0,0,0);

B=(1,0,0);

C= 1 ,3 ,0 ;

2 2

S= 1,3,6 .

2 6 3

Для построения тетраэдра в MathCAD нужно обеспечить непрерывное вычерчивание многогранника. поэтому следует сформировать координаты его вершин:

16