Литература / Шишкин Г. Г. , Шишкин А. Г. Электроника 2009 (1)

где LinUeoJ - интеграл неупругих соударений, учитывающий

процессы возбуждени,я электронных и колебательных (для мо­ лекулярного газа) состояний и ионизации, N - концентрация нейтральных атомов и молекул массы М, сrт(и)- транспортное

сечение рассеяния, определяемое энергией (скоростью) частиц.

При записи (П2.5) считается, что электрическое поле {5 и его

градиент направлены вдоль оси х, и, следовательно, состояние

электронного газа в направлениях, перпендикулярных оси х,

является пространственно-однородным, т. е. fe = fe (х, и, е, t).

(Здесь 0 - угол между нап~авлением электрического поля и вектором скорости.) Возможны также дальнейшие упрощения

уравнения Больцмана, такие, как, например, предположение об однородности и стационарности электрического и магнитно­ го полей.

При низких давлениях, когда длина свободного пробега элект­

ронов и ионов сравнима с размерами приэлектродных слоев и,

тем более, межэлектродного промежутка, двучленное прибли­ жение для решения уравнения Больцмана становится неприме­ нимым. Наиболее адекватной процедурой получения картины разряда является при этом метод Монте-Карло решения кине­ тического уравнения. В расчетах методом Монте-Карло разыг­

рывается вероятный сценарий движения индивидуальных за­

ряженных частиц в поле с учетом упругих и неупругих столкно­

вений, включая ионизирующие.

Обычно при вычислениях следят за траекториями каждой из

частиц, что даже при оптимальном алгоритме приводит к ог­

ромным вычислительным затратам. Самосогласованные расче­

ты, включающие решение уравнения для поля, требуют огром­

ных затрат даже в случае тлеющего разряда постоянного тока и

применяются лишь для расчета катодного слоя. Поэтому в по­

следнее время значительное развитие получили так называе­

мые PIC-МСС алгоритмы, позволяющие значительно, по срав­

нению с обычным методом Монте-Карло, сократить объем вы­ числений и ресурсов оперативной памяти. PIC (particle-in-cell)

методы основываются на различных вариантах метода крупных

частиц, успешно используемого для решения широкого круга

задач. Основная идея метода крупных частиц - замена реаль­ ной «лабораторной» плазмы некоторой модельной плазмой псев­ дочастиц с большими массой и зарядом, каждая из которых со­

стоит из очень многих реальных частиц.

Квазичастицы движутся в соответствии с законами класси­ ческой механики в самосогласованном электрическом поле и участвуют в столкновениях с нейтральными молекулами, как и

обычные электроны и ионы. Поскольку плотность квазичастиц

в модельной плазме(~ 103 ••• 105 см-3) значительно меньше плот­ ности зарядов в «лабораторной» плазме (~ 108 ••• 1011 см-3), су­

щественно легче реализовать на практике полностью самосо­

гласованный алгоритм, в котором траектории квазичастиц и

столкновительные процессы с их участием рассчитываются с

использованием метода Монте-Карло. Поэтому РIС-метод, ком­ бинированный с методом Монте-Карло (PIC-MCC метод), актив­

но применяется для самосогласованного моделирования разря­

дов низкого давления.

На основе микроскопического уравнения Больцмана можно

вывести более простые макроскопические гидродинамические

уравнения. Использование гидродинамической модели означа­ ет, что мы заменяем электронный газ некоторой сплошной заря­ женной жидкостью, характеризуемой такими параметрами, как

средняя плотность, средняя скорость, давление и коэффициент

вязкости, который определяется частотой столкновений. Макро­ скопические уравнения гидродинамической модели получают из уравнения Больцмана путем вычисления моментов функции рас­

пределения. Вычисление моментов функции f означает умножение f на Q = 1, v, vv и т. д. и интегрирование по пространству ско-

ростей. Еслизависимостьc(f) = ( ~~ Jт описываетполноевлияние

на функцию распределения упругих столкновений, возбужде­ ния, ионизации, прилипания и рекомбинации, то получаем урав­

нение

Используя нулевые моменты уравнения Больцмана (при Q = 1

третий интеграл в левой части (П2.6) равен нулю [40]) и функции распределения, получаем из (П2.6) уравнение непрерывности

где величины vi' vа' vr определяют усредненное по скорости из­

менение числа электронов в единице объема за единицу времени вследств!lе ионизации, прилипания и рекомбинации. Поскольку ионизация (v;) увеличивает число электронов в объеме, а прили­ пание (vа> и рекомбинация (v r> его уменьшают, то в правую часть (П2.8) эти величины входят с разными знаками.

Если умножить левую и правую части (П2.8) на заряд части­

где р = еп иJ= env - объемна.я плотность заряда и плотность то­

ка соответственно.

Первый момент функции распределения относительно ско­

рости определяет среднюю скорость частиц

(П2.10) и записывая первый момент уравнения Больцмана (П2.6),

получаем уравнение движения (изменения импульса)

где vт - эффективная частота столкновений с изменением им­

пульса.

Для точного нахождения последнего члена в правой части

уравнения (П2.11), который определяет внутреннее давление электронов в рассматриваемой системе, необходимо знать более

высокий (второй) момент функции распределения, задающий вектор теплового потока, выходящего из рассматриваемой сис­ темы. В случае локального равновесия, когда ведущую роль

играют столкновения частиц (см. пояснение к формуле (П2.1)),

можно связать внутреннее давление ионизованной среды с тем­ пературой, и тогда последний член в уравнении (П2.11) примет

вид (k~e)(~)V.,_p, гдеk= 1,38 • 10-2зДж/К-:- постоянна.яБольц­

мана;

Комбинируя уравнения движения заряженной жидкости с уравнениями Максвелла и граничными условиями, можно рас­ смотреть поведение следующих взаимодействующих подсис­ тем: электрического поля, подсистемы носителей тока, подсис­ темы тепловых колебаний атомов кристаллической решетки. Такая система уравнений позволяет анализировать процессы в

электронных приборах, в которых реализуются явления пере­

носа (электровакуумные приборы, включая СВЧ-приборы с ди­

намическим управлением, полупроводниковые, газоразрядные,

плазменные, оптоэлектрические приборы).

В конечном итоге основные уравнения, используемые при

анализе процессов и построении БАХ приборов, имеют вид

Плотность тока ] и объемная плотность заряда р связаны

уравнением непрерывности (П2.9).

В отсутствие столкновений уравнение непрерывности может

быть получено из уравнений Максвелла (П2.12) и (П2.13). Сис­ тема уравнений (П2.12-П2.15) является наиболее общей для

корректного описания физических процессов в большинстве электронных приборов, включая электровакуумные приборы

СВЧ с динамическим управлением.

Уравнения магнитной гидродинамики (МГД) весьма сложны

для решения даже в своем самом простом одномерном нестаци­

онарном случае. Поэтому аналитические методы их исследова­ ния могут быть применены только для ряда частных случаев с

дополнительными упрощающими предположениями. Однако в последнее время благодаря бурному развитию вычислительной

техники и последовавшему за этим широкому внедрению чис­

ленных методов, ориентированных на высокопроизводительные

компьютеры, удалось достичь значительных успехов при реше­

нии задач МГД. Развитые численные методы обладают большей

универсальностью по сравнению с аналитическими методам;и и

позвол:Яют находить решение с любой наперед заданной точно­

стью. Тем не менее, следует отметить, что если способы расчета одномерных и двумерных задач МГД достаточно хорошо прора­ ботаны, то трехмерные расчеты практически важных задач чрез­ вычайно редки.

Одними из возможных численных методов решения уравне­

ний МГД являются вариационные методы и методы конечных

разностей. Суть первых состоит в замене в рассматриваемой об­

ласти непрерывной среды, поведение которой описывается функ­

циями непрерывного аргумента, ее разностным аналогом. Эта

модель среды представляется при помощи дискретных функций, определенных в конечном числе точек. Такое множество точек

называется разностной сеткой. Дифференциальные уравнения

исходной модели при этом переходят в конечно-разностные соот­ ношения. В результате непрерывная модель поведения системы

заменяется или, как принято говорить, аппроксимируется набо­ ром разностных уравнений - разностной схемой.

Разностная схема должна отражать основные свойства непре­ рывной среды. Поэтому необходимо требовать, чтобы в первую

очередь для схемы были справедливы разностные аналоги ис­

ходных основных законов сохранения. Разностные схемы, обла­ дающие этим важным свойством, называются консервативны­

ми. Однако на реальных сетках в задачах, решением которых

являются быстро меняющиеся во времени и пространстве функ­

ции, такие разностные схемы могут приводить к результатам,

значительно отличающимся от истинных, вследствие наличия в

этих схемах фиктивных источников энергии. Поэтому помимо

требования о выполнении основных законов сохранения обычно

дополнительно из физических соображений вводят ряд сеточ­ ных соотношений, позволяющих избежать различных дисба­ лансов. Такие схемы называются полностью консервативными.

Особенность полностью консервативных разностных схем со­

стоит в том, что такие схемы одновременно аппроксимируют раз­

личные виды записи системы дифференциальных уравнений,

каждый из которых отражает определенный физический аспект явления. Благодаря этому такие схемы правильно передают, на­ пример, соотношения между кинетической и внутренней энерги­ ей, в то время как схемы других типов порождают фиктивные ис­ точники энергии, которые на грубых сетках могут заметно иска­

зить решение.

Литература ......_________

1. АваевН.А., ШишкинГ.Г. Электронные приборы / под ред. Г. Г. Шишкина. - М.: МАИ, 1996.

2.Электронные приборы/ Дулин В. Н., Аваев Н. А., Демин В. П. и др. / под ред. Г. Г. Шишкина. - М.: Энергоатомиздат, 1989.

3.Зи С. Физика полупроводщrковых приборов/ пер. с англ. под ред.

Р. А. Суриса. - М.: Мир, 1984.

6.Аваев Н.А., Наумов Ю. Е., Фролкин В. Т. Основы микроэлектрони­ ки. - М.: Радио и связь, 1991.

7.Влихер А. Физика силовых биполярных и полевых транзисторов / пер. с англ. под ред. И. В. Грехова - Л.: Энергоатомиздат, 1986.

8.Полупроводниковые приборы. Диоды, тиристоры, оптоэлектрон­

ные приборы. Справочник/ под ред: Н. Н. Горюнова - М.: Энерго­

атомиздат, 1984.

9.Полупроводниковые приборы. Транзисторы. Справочник/ под ред. Н. Н. Горюнова. -М.: Энергоатомиздат, 1985.

10.МозговойГ.П., СилинВ.Д., ЧахмахсазянЕ.А. Математическое мо­ делирование и макромоделирование биполярных элементов элек­ тронных схем. - М.: Радио и связь, 1985.

11.ВубенниковА.Н. Моделирование интегральных микротехнологий, приборов, схем. - М.: Высшая школа, 1989.

12.Жеребцов И. П. Основы электроники. - Л.: Энергия, 1985.

17.Окснер Э. С. Мощные полевые транзисторы и их применение. - М.: Радио и связь, 1985.

18. Гоноровский И. С. Радиотехнические цепи и сигналы. - М.: Дро­

фа, 2006.

19.Milnes А. G. Semiconductor devices and integrated electronics. Van Nostr and Reinhold company, 1980.

20. Носов Ю. Р. Оптоэлектроника. - М.: Радио и связь, 1990.

--1 Список основных использованных обозначений~

ЛЕП,

ЛЕВ величины энергетических скачков при разрыве зон прово­

димости и валентной зоны при гетеропереходах

Фполная контактная разность потенциалов гетероперехода

Ин напряжение на нагрузке

]пр.макс'

Jобр.максмаксимально допустимый постоянный прямой и обратный