3. Миноры и алгебраические дополнения. Теорема Лапласа.
Минором элемента матрицы n-го порядка называется определитель матрицы (n-1)-го порядка, полученный из матрицы вычёркиванием соответствующих строки и столбца.
Алгебраическим дополнением элемента матрицы n-го порядка называется его минор, взятый со знаком, зависящий от номера строки и номера столбца: Aij = (-1)i+j Mij
Th. Лапласа Определитель равен сумме элементов некоторой строки, умноженных на их алгебраические дополнения.
4. Ранг матрицы.
Ранг матрицы – это наивысший порядок отличного от нуля минора матрицы.
Th. При элементарных преобразованиях ранг матрицы не меняется. Чтобы вычислить ранг матрицы, можно привести матрицу к ступенчатому виду элементарными преобразованиями над строками. Число ненулевых строк ступенчатой матрицы будет равно рангу матрицы.
Ранг матрицы равен максимальному числу линейно независимых рядов матрицы
5. Обратная матрица
ОБРАТНАЯ МАТРИЦА. Обратной матрицей называется такая матрица, что произведение обратной на данную равно единичной матрице того же размера (понятие вводится только для квадратных матриц)
ТЕОРЕМА О СУЩЕСТВОВАНИИ И ЕДИНСТВЕННОСТИ ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ. Для того чтобы матрица имела обратную, необходимо и достаточно, чтобы её определитель не был равен нулю (т.е. чтобы матрица была невырожденной). Если обратная матрица существует, то она единственная.
АГЛОРИТМ ПОСТРОЕНИЯ ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ. Пусть det A ≠ 0
Вычисляем det A
Составляем матрицу D, состоящую из алгебраических дополнений элементов матрицы A
Транспонируя матрицу D, получим матрицу DT
6. Вычисление ранга матрицы
Чтобы вычислить ранг матрицы, можно привести матрицу к ступенчатому виду элементарными преобразованиями над строками. Число ненулевых строк ступенчатой матрицы будет равно рангу матрицы.
7. Построение обратной матрицы
АГЛОРИТМ ПОСТРОЕНИЯ ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ.
Пусть det A ≠ 0
Вычисляем det A
Составляем матрицу D, состоящую из алгебраических дополнений элементов матрицы A
Транспонируя матрицу D, получим матрицу DT
8. Системы линейных уравнений. Теорема Кронекера-Капелли.
Решением системы называется совокупность чисел, которые обращают все уравнения системы в верные равенства.
Система линейных уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение. В противном случае система называется несовместной.
Система линейных уравнений называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если решений бесконечно много.
Две системы уравнений называются эквивалентными, если любое решение одной системы является одновременно и решением другой системы.
Теорема Кронекера-Капелли.
Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу ее расширенной матрицы: rang Ā = rang A.
9. Матричный метод решения систем линейных уравнений.
10. Правило Крамера.
Если Δ≠0:
где Δj -определитель получен из Δ заменой j-столбца на столбец свободных членов
Если Δ=0 и Δj≠0: решений нет
Если Δ=0 и Δj=0: решений бесконечно много
11. Метод Гаусса.
12. Однородные системы линейных алгебраических уравнений.
Однородной называется система, в которой все свободные члены равны нулю.
СВОЙСТВА РЕШЕНИЙ ОДНОРОДНОЙ СИСТЕМЫ
Если есть несколько решений однородной системы, то другие решения будут являться их линейными комбинациями.
Если X и Y – решения системы, тогда Z =αX + βY – тоже решение системы, где α ,β ∈R .
По теореме Кронекера-Капелли однородная система всегда совместна.
Ā=(A|0) ⇒ rang Ā = rang A
Если rang А = n, тогда тривиальное решение единственно.
Если rang A < n, то однородная система имеет нетривиальное решение.