23. Уравнение плоскости в пространстве.

F(x, y, z)=0 – общее уравнение поверхности

Ax+By+Cz+D=0 – общее уравнение плоскости

M₀M⊥n

A(x-x₀) + B(y-y₀) + C(z-z₀)=0

­ M(x;y;z)

M₁M, M₁ M₂, M₁ M₃ – компланарны

(M₁M·M₁ M₂)×M₁M₃ = 0

уравнение плоскости, проходящей через три точки

_______________________________________________________________________________________

a||α

b||α

a∦b

p

n=(cosα;cosβ;cosγ);

x cosα+y cosβ+z cosγ-p=0

нормальное уравнение плоскости

24. Уравнение прямой в пространстве.

Линию в пространстве можно рассматривать как пересечение двух поверхностей

– пересечение двух плоскостей

a=n₁×n₂

– прямая, проходящая через две точки

– каноническое уравнение

25. Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве.

α₁: A₁x+B₁y+C₁z+D₁=0 n₁=(A₁;B₁;C₁)

α₂: A₂x+B₂y+C₂z+D₂=0 n₂=(A₂;B₂;C₂)

α₁|| α₂: (n₁||n₂)

α₁ ⟂α₂: A₁A₂+ B₁B₂+ C₁C₂=0 (n₁⟂n₂)

α₁ ∩α₂:

L₁: a=(a₁;a₂;a₃)

L₂: b=(b₁;b₂;b₃)

L₁||L₂:

L₁⟂L₂: a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃=0

L₁,L₂∉α: (a·b)×M­₁M₂=0

L||α: a·n=0

L⟂α:

φ(L,α):

26. Поверхность второго порядка. Эллипсоид.

Общее уравнение поверхности второго порядка:

Ax²+ By²+ Cz²+Dxy+Eyz+Fxz+Gx+Hy+Kz+L=0

– каноническое уравнение трёхосного эллипсоида

Эллипсоид является ограниченной поверхностью

Пересечения эллипсоида с осями координат называются вершинами

Отрезки между вершинами – оси

Любое сечение плоскостью, параллельной оси координат, - эллипс

Если две из трёх полуосей эллипсоида равны, он является поверхностью вращения

При совпадении всех полуосей эллипсоид становится сферой

27. Гиперболоиды.

ОДНОПОЛОСТНЫЙ ГИПЕРБОЛОИД

Неограниченная поверхность, симметричная относительна центра и каждой из координатных плоскостей

Все сечения, перпендикулярные оси Oz, являются эллипсами, наименьший из которых горловой эллипс ( )

Сечения, перпендикулярные осям Ox и Oy, - гиперболы

ДВУПОЛОСТНЫЙ ГИПЕРБОЛОИД

Неограниченная поверхность, состоящая из двух частей, не связанных друг с другом; симметричная относительна начала координат и каждой из координатных плоскостей

Непустые сечения, перпендикулярные оси Oz, являются эллипсами

Сечения, перпендикулярные осям Ox и Oy, - гиперболы

28. Параболоиды.

ЭЛЛИПТИЧЕСКИЙ ПАРАБОЛОИД

Эллиптический параболоид – это неограниченная поверхность с вершиной в начале координат, симметричный относительно плоскостей Oyz и Oxz.

Любое непустое сечение, перпендикулярное оси Oz, является эллипсом, а параллельное – параболой

ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЙ ПАРАБОЛОИД

Эта поверхность симметричная относительно плоскостей Oyz и Oxz

Сечения, перпендикулярные оси Ox или Oy, являются параболами

Сечения, перпендикулярные оси Oz, являются гиперболами (кроме плоскости z=0, сечение этой плоскости – пара прямых y=±bx/a)

Гиперболический параболоид имеет форму седла.