29. Цилиндры и конусы второго порядка.

КОНУС ВТОРОГО ПОРЯДКА

Центр симметрии, начало координат, называется вершиной конуса

Конической называется поверхность, содержащая все точки прямых, проходящих через вершину и пересекающихся с направляющей кривой.

Имеет все три плоскости симметрии

Сечения, перпендикулярные Oz, являются эллипсами, стягивающимися в точку при приближении к вершине.

Сечения, перпендикулярные Oy и Ox, - гиперболы.

ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ПОВЕРХНОСТИ

При отсутствии одной из переменных в уравнении поверхность становится цилиндрической поверхностью

– эллиптический цилиндр

– гиперболический цилиндр

– параболический цилиндр

30. Линейные пространства. Определение, примеры.

Множество называется действительным линейным пространством, если операции сложения и умножения на число удовлетворяют аксиомам:

1) x + y = y + x (свойство коммутативности),

2) (x + y) + z = x + (y + z) (свойство ассоциативности),

3) существует нулевой элемент θ ∈V такой, что x +θ = x, ∀x∈V ,

4) ∀x∈V ∃(−x) (противоположный элемент) такой, что x + (−x) =θ ,

5) α(x + y) =αx +α y ,

6) (α + β)x =αx + β x ,

7) (α⋅β)x =α(β x) ,

8) 1⋅ x = x

Элементы линейного пространства называют векторами

ПРИМЕРЫ

Геометрические векторы на плоскости

Геометрические векторы в пространстве

Множество матриц размера 2×2

Множество P₂ многочленов с действительным коэффициентами степени, не превосходящими 2: P₂: α₀+α₁t+α₂t², α₀,α₁,α₂∊R

Здесь операции сложения и умножения на число определены заранее, аксиомы верны, как свойства операций, следовательно, это линейные пространства

31. Линейная зависимость и независимость векторов линейного пространства. Базис и размерность. Координаты векторов в базисе.

Векторы линейного пространства называются линейно зависимыми, если существуют числа α_i≠0 такие, что α₁x₁+α₂x₂+...+α_nx_n=0.

Например, коллинеарные векторы, компланарные векторы.

­__________­­­­­­­­­­­­­­­­­­­_________________________________________________________________________

Векторы линейного пространства называются линейно независимыми, если равенство α₁x₁+α₂x₂+...+α_nx_n=0, ∀α_i=0

Например, неколлинеарные векторы, некомпланарные векторы, матрицы , многочлены (1, t, t²)

___________________________________________________________________________________

Размерностью линейного пространства называется максимальное число его линейно независимых векторов.

dimV=n; V_n­

Векторы, соответствующие максимальному числу линейно независимых векторов, составляют базис

a∊V_n, {e₁,e₂,…,e_n} – фиксированный базис линейного пространства

a=α₁e₁+α₂e₂+...+α_ne_n – формула разложения вектора по базису

Тогда координаты вектора a=(α₁,α₂,...,α_n)

32. Преобразование координат вектора при изменении базиса линейного пространства.

Закон преобразования координат вектора устанавливается матрицей T_e→f.

a=α₁e₁+α₂e₂+...+α_ne_n

↓

, где А – вектор-столбец (матрица, составленная из координат вектора)

a=f·A’, где А’ – столбец координат того же вектора в новом базисе

f=eT

a=eT·A’=e·A

T·A’=A

A’=T ^-1·A, T ^-1 существует в силу невырожденности матрицы перехода