13. Векторы, линейные операции над векторами.
Векторы – это направленный отрезок, то есть величина, имеющая численное значение и направление.
Начало вектора называется точкой приложения.
Нулевым вектором называется вектор, у которого начало и конец совпадают; нулевой вектор не имеет направления
Коллинеарные векторы – те, которые лежат на одной либо параллельных прямых
Векторы равны, если они сонаправленные, имеют одинаковую длину.
Суммой двух векторов называется вектор, исходящий из начала одного вектора в конец другого при условии, что второй приложен к концу первого. (Правило треугольника)
Подчиняется закону коммутативности (a+b=b+a) и ассоциативности ( (a+b)+c=a+(b+c) )
Операция вычитания векторов определяется через операцию сложения.
Произведением вектора на число называется новый вектор, коллинеарный данному и имеющий длину в α раз больше.
Подчиняется закону дистрибутивности и ассоциативности
Понятие линейной комбинации вводится через операции сложения векторов и умножения на число. Линейная комбинация называется нетривиальной, если есть ненулевые коэффициенты.
14. Базис на плоскости и в пространстве. Декартова прямоугольная система координат.
Векторы, соответствующие максимальному числу линейно независимых векторов, составляют базис
Два линейно независимых вектора образуют базис на плоскости, если любой вектор этой плоскости можно представить в виде их линейной комбинации
Три линейно независимых упорядоченных вектора образуют базис в пространстве, если любой вектор пространства можно представить в виде их линейной комбинации
Базис из перпендикулярных единичных векторов с началом в одной точке создаёт декартову прямоугольную систему координат
15. Скалярное произведение векторов.
Скалярным произведением векторов называется число, равное произведению модулей этих векторов на косинус угла между ними
Величина произведения одного вектора и угла между ним и вторым вектором называется проекцией первого на направление второго
Чтобы два вектора были ортогональны (перпендикулярны), необходимо и достаточно, чтобы их скалярное произведение равнялось нулю.
16. Векторное произведение векторов
Векторным произведением называется вектор, длина которого равна произведению модулей двух векторов синуса угла между ними. При этом новый вектор перпендикулярен данным.
a x b = -(b x a) – антикоммутативность
a x (b + c) = (a x b) + (a x c) – дистрибутивность
αa x b = α(a x b) – однородность
Для того чтобы два вектора были коллинеарны, необходимо и достаточно, чтобы их векторное произведение было равно нулю
17. Смешанное произведение векторов.
Смешанным произведением трёх векторов называется скалярное произведение векторного произведения двух векторов и третьего
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ СМЕШАННОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ
Смешанное произведение равно объёму параллелепипеда, построенного на векторах-сомножителях, как на рёбрах
Чтобы векторы были компланарны, необходимо и достаточно, чтобы их смешанное произведение было равно нулю
Не меняет знак при циклической перестановке abc=cab=bca
Дистрибутивно и однородно – (a+b)cd=acd+bcd (λa)bc=λ(abc)