33. Евклидовы пространства.

Если в линейном пространстве определено скалярное произведение, то это пространство называется евклидовым [E_n]

В пространстве задано скалярное произведение, если любой упорядоченной паре векторов поставлено в соответствие действительное число, называемое скалярным произведением векторов, причем это соответствие должно удовлетворять аксиомам скалярного произведения:

1) a·b=b·a (свойство коммутативности),

2) (a + b)·c =(a·c) + (b·c) (свойство дистрибутивности),

3) αa·b =α(a·b), ∀α ∈R (свойство однородности),

4) (a·a) ≥ 0 , причем a·a=0 ⇔ a =0.

Введем понятие нормы (длины) вектора из евклидова пространства. Для любого x∈E_n определим норму по следующей формуле: . При этом выполняются следующие свойства:

1) |x| ≥ 0 , причем |x|=0 ⇔ x=θ (неотрицательность нормы),

2) |x + y| ≤ |x|+|y| (неравенство треугольника),

3) |α⋅x|=|α|⋅|x|.

Система ненулевых векторов называется ортогональной, если их скалярное произведение равно нулю

34. Определение и матрица линейного оператора.

Отображением (или преобразованием) называется линейным оператором, если:

A(x + y)= Ax + Ay

A(λx)= λ(Ax)

Линейный оператор переводит любую линейную комбинацию векторов в линейную комбинацию образов этих векторов

Линейный оператор переводит нулевой вектор в нулевой

35. Преобразование матрицы линейного оператора при переходе к новому базису.

De=eA

Df=fB=(eT)B=e(TB)

Df=D(eT)=(De)T=(eA)T=e(AT)  e(TB)=e(AT)

TB=AT

B=T^-1AT

A=TBT^-1

36. Собственные векторы и собственные значения.

Вектор называется собственным вектором оператора А, если существует λ такое, что Аx= λx, причём λ называется собственным значением оператора А.

НАХОЖДЕНИЕ СОБСВТЕННЫХ ЗНАЕЧНИЙ И СОБСТВЕННЫХ ВЕКТОРОВ

Ax= λx

(A-λE)x^t=0^t, где (A-λE) – это характеристическая матрица оператора А.

det(A-λE) представляет собой характеристический многочлен матрицы А, его корни называют характеристическими корнями этой матрицы.

37. Квадратичные и билинейные формы.

Числовая функция от двух переменных называется билинейной формой, если при фиксированном значении одной переменной, форма является линейной по другой.

Билинейная форма является симметрической, если B(x,y)=B(y,x)

Матрица билинейной формы определяется по формуле B={b_ij}=B(e_i,e_j)

Пусть B(x,y) – симметрическая билинейная форма, т.е. B(x,y)=B(y,x). Положим B(x,x)=B(x,y)|_y=x , тогда B(x,x) называется квадратичной формой.

38. Канонический вид квадратичной формы. Метод Лагранжа.

Для любой квадратичной формы существует базис, в котором квадратичная форма имеет канонический вид (и даже нормальный вид). Находится методом Лагранжа или по критерию Сильвестра

Метод Лагранжа:

В квадратичной форме выделяются полный квадраты, содержащие x

Коэффициенты перед квадратичными формами записываются в матрицу T^-1 в строки

A’=T^TAT