- •1. Матрицы. Действия над матрицами и их свойства.
- •2. Определители и их свойства.
- •3. Миноры и алгебраические дополнения. Теорема Лапласа.
- •4. Ранг матрицы.
- •5. Обратная матрица
- •6. Вычисление ранга матрицы
- •7. Построение обратной матрицы
- •8. Системы линейных уравнений. Теорема Кронекера-Капелли.
- •13. Векторы, линейные операции над векторами.
- •14. Базис на плоскости и в пространстве. Декартова прямоугольная система координат.
- •16. Векторное произведение векторов
- •17. Смешанное произведение векторов.
- •18. Прямая на плоскости. Уравнение прямой.
- •19. Взаимное расположение прямых. Расстояние от точки до прямой.
- •20. Эллипс
- •21. Гипербола
- •22. Парабола
- •23. Уравнение плоскости в пространстве.
- •24. Уравнение прямой в пространстве.
- •25. Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве.
- •26. Поверхность второго порядка. Эллипсоид.
- •27. Гиперболоиды.
- •28. Параболоиды.
- •29. Цилиндры и конусы второго порядка.
- •30. Линейные пространства. Определение, примеры.
- •31. Линейная зависимость и независимость векторов линейного пространства. Базис и размерность. Координаты векторов в базисе.
- •32. Преобразование координат вектора при изменении базиса линейного пространства.
- •33. Евклидовы пространства.
- •34. Определение и матрица линейного оператора.
- •35. Преобразование матрицы линейного оператора при переходе к новому базису.
- •36. Собственные векторы и собственные значения.
- •37. Квадратичные и билинейные формы.
- •38. Канонический вид квадратичной формы. Метод Лагранжа.
- •39. Канонический вид квадратичной формы. Ортогональное преобразование. Закон инерции квадратичных форм.
- •40. Знакоопределённые квадратичные формы. Критерий Сильвестра.
39. Канонический вид квадратичной формы. Ортогональное преобразование. Закон инерции квадратичных форм.
Для любой квадратичной формы существует базис, в котором квадратичная форма имеет канонический вид (и даже нормальный вид). Находится методом Лагранжа или по критерию Сильвестра
Квадратичная форма с помощью невырожденного преобразования может быть приведена к каноническому виду.
ЗАКОН ИНЕРЦИИ КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМ
Число слагаемых с положительными коэффициентами канонического вида квадратичной формы не зависит от способа приведения этой формы к каноническому виду.
МЕТОД ОРТОГОНАЛЬНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
Находим характеристические корни
Находим собственные векторы
Переходим к ортонормированному базису
А’=TTAT
40. Знакоопределённые квадратичные формы. Критерий Сильвестра.
Разность количества положительных k и отрицательных l коэффициентов в каноническом виде квадратичной формы называется ее сигнатурой.
Квадратичная форма называется положительно определённой, если ее сигнатура равна ее порядку n (иначе говоря, k = n). Квадратичная форма называется отрицательно определённой, если ее сигнатура равна (−n) (то есть l = n ).
Чтобы кв. форма была положительно определённой, необходимо и достаточно, чтобы все значения её матрицы были положительными.
КРИТЕРИЙ СИЛЬВЕСТРА
Чтобы кв. форма была положительно определённой, необходимо и достаточно, чтобы все главные миноры матрицы были положительными (для отрицательных - чередовались)