1. Матрицы. Действия над матрицами и их свойства.

Матрица – это таблица чисел. Матрицей размера m×n называется прямоугольная таблица чисел, где m — количество строк, n — число столбцов. Числа a_ij называются элементами матрицы A. Первый индекс i – номер строки, второй индекс j – номер столбца.

Если m=n, то матрица называется квадратной матрицей порядка n; если m≠n, то прямоугольной. Матрица размера 1×n называется матрицей-строкой, а матрица размера n×1 – матрицей-столбцом. Нулевая матрица 0 – это матрица, все элементы которой равны нулю. Единичная матрица n –го порядка – это квадратная матрица, на главной диагонали которой элементы равны единице, а все остальные элементы равны нулю.

Две матрицы называются равными, если их размерности совпадают и соответствующие элементы равны.

СЛОЖЕНИЕ МАТРИЦ. Суммой двух матриц одинаковой размерности называется новая матрица той же размерности, каждый элемент которой равен сумме соответствующих элементов двух данных матриц.

СВОЙСТВА ОПЕРАЦИИ СЛОЖЕНИЯ МАТРИЦ. Операции сложения матриц обладают свойствами коммутативности (A+B=B+A), ассоциативности ( (A+B)+C=A+(B+C) ), сумма матрицы и нулевой матрицы равна данной матрице (A+0=A), A-B=A+(-B), A+(-A)=0.

УМНОЖЕНИЕ МАТРИЦЫ НА ЧИСЛО. Произведением матрицы на число называется такая матрица той же размерности, где каждый элемент данной матрицы умножен на это число. Обладает свойствами дистрибутивности (α(A+B) =αA+αB) и ( (α + β )A =αA+ β A ), ассоциативности ( (αβ )A =α(βA) ).

ПРОИЗВЕДЕНИЕ МАТРИЦ. Произведением матриц называется новая матрица, элементы которой вычисляются по правилу "строка на столбец", то есть они равны сумме произведений соответственных элементов строки первого сомножителя и столбца второго, при этом число столбцов первого множителя должно быть равно количеству строк второго.

СВОЙСТВА УМНОЖЕНИЯ МАТРИЦ. А⋅0=0⋅А=0; AE=EA=A; (A+B)C= AC+BC; A(B+C)=AB+AC; (AB)C=A(BC); Если А и В – квадратные матрицы одного порядка, то det(AB) = det A ⋅ det B.

ВОЗВЕДЕНИЕ КВАДРАТНОЙ МАТРИЦЫ В НАТУРАЛЬНУЮ СТЕПЕНЬ. A² = A ⋅ A; Aⁿ⁺¹ = Aⁿ ⋅ A.

ТРАНСПОНИРОВАНИЕ МАТРИЦЫ. Транспонированной матрицей по отношению к данной, называется матрица, полученная заменой строк данной матрицы на столбцы с сохранением номеров (т.е. первая строка заменяется на первый столбец и т.д.).

ОБРАТНАЯ МАТРИЦА. Обратной матрицей называется такая матрица, что произведение обратной на данную равно единичной матрице того же размера (понятие вводится только для квадратных матриц)

ТЕОРЕМА О СУЩЕСТВОВАНИИ ЕДИНСТВЕННОСТИ ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ. Для того чтобы матрица имела обратную, необходимо и достаточно, чтобы её определитель не был равен нулю (т.е. чтобы матрица была невырожденной). Если обратная матрица существует, то она единственная.

2. Определители и их свойства.

Определитель – это алгебраическая сумма n! слагаемых, где каждое слагаемое есть произведение n элементов, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца, а знак слагаемого определяется как (-1)^k, где k – число инверсий во вторых индексах при условии, что первые индексы расположены в порядке возрастания.

СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ.

1. Если определитель содержит нулевую строку, то он равен нулю

2. Если в определителе поменять две строки местами, то определитель поменяет изменит знак

3. Если в определителе две одинаковые или пропорциональные строки, то он равен нулю

4. Если строку умножить на число, то определитель умножится на эту строку

5. Если к строке прибавить строку, умноженную на число, определитель не изменится

6. Если каждый элемент строки представляет из себя сумму двух элементов, то данный определитель равен сумме определителей с соответствующими слагаемыми

7. Определитель произведения матриц равен произведению определителей этих матриц

8. Если строка в определителе является линейной комбинацией других строк, то определитель равен нулю.

Th. Лапласа Определитель равен сумме элементов некоторой строки, умноженных на их алгебраические дополнения.