4. Модель разностно-стационарного временного ряда.
В файле Эконометрика Практика 11 пример (для выполнения).xls. содержатся 300 наблюдений временного ряда Z, порожденного разностно-стационарным случайным процессом. Для моделирования будет использоваться модель ARIMA(p, k, q).
4.1. Для построения графика временного ряда: выделить переменную Z – правой кнопкой мыши вызвать меню – График временного ряда. Получаем график:
Анализируя график временного ряда, можно предположить, что ряд порожден нестационарным процессом. Можно предположить, что процесс содержит тренд, так что ряд может быть порожден TS-процессом или DS-процессом. Проверим правильность наших предположений, проведя ADF-тест.
4.2. Проведем расширенный тест Дики-Фуллера (ADF-тест) для первых разностей временного ряда. Для этого: выделить переменную Z – Переменная – Тесты единичного корня - Расширенный тест Дики-Фуллера (ADF-тест). Рассмотрим вариант с константой, а также вариант с константой и линейным трендом:
(тест проводится для первых разностей временного ряда)
Сначала используется модель с константой:
Поскольку в модель включаются лаги разностей, объем выборки n меньше 300.
Значения d0, d1, d2 выбираются из таблицы:
Модель с константой |
|||
Уровень значимости α |
d0 |
d1 |
d2 |
0,1 |
-3,4336 |
-5,999 |
-29,25 |
0,05 |
-2,8621 |
-2,738 |
-8,36 |
0,01 |
-2,5671 |
-1,438 |
-4,48 |
Нулевая гипотеза H0 отвергается.
Нулевая гипотеза H0 отвергается.
Процесс первых разностей – интегрируемый нулевого порядка. Поскольку этот результат получен при проведении теста с константой (без тренда), процесс является стационарным (а не тренд-стационарным).
Использовать модель с трендом в данном случае необязательно, однако все же приведем результаты ADF-тест для такой модели:
Поскольку в модель включаются лаги разностей, объем выборки n меньше 300.
Значения d0, d1, d2 выбираются из таблицы:
Модель с линейным трендом |
|||
Уровень значимости α |
d0 |
d1 |
d2 |
0,1 |
-3,9638 |
-8,353 |
-47,44 |
0,05 |
-3,4126 |
-4,039 |
-17,83 |
0,01 |
-3,1279 |
-2,418 |
-7,58 |
Нулевая гипотеза H0 отвергается.
Нулевая гипотеза H0 отвергается.
Процесс первых разностей – интегрируемый нулевого порядка.
По результатам теста для модели с трендом можно утверждать лишь, что процесс первых разностей – стационарный или тренд-стационарный. Но поскольку мы уже проводили тест для модели с константой и без тренда и отвергли нулевую гипотезу о наличии единичного корня, линейного тренда на самом деле нет, процесс первых разностей является стационарным (без тренда).
По результатам ADF-теста для первых разностей ΔZt можно сделать вывод, что исходный процесс Zt является интегрируемым порядка не выше первого: Z~I(k), k≤1.
4.3. Проведем расширенный тест Дики-Фуллера (ADF-тест) для исходного временного ряда. Для этого: выделить переменную Z – Переменная – Тесты единичного корня – Расширенный тест Дики-Фуллера (ADF-тест). Рассмотрим вариант с константой, а также вариант с константой и линейным трендом:
(тест проводится для исходного временного ряда)
Сначала используется модель с константой:
Поскольку в модель включаются лаги разностей, объем выборки n меньше 300.
Значения d0, d1, d2 выбираются из таблицы:
Модель с константой |
|||
Уровень значимости α |
d0 |
d1 |
d2 |
0,1 |
-3,4336 |
-5,999 |
-29,25 |
0,05 |
-2,8621 |
-2,738 |
-8,36 |
0,01 |
-2,5671 |
-1,438 |
-4,48 |
Нулевая гипотеза H0 не может быть отвергнута.
Нулевая гипотеза H0 не может быть отвергнута.
Нулевая гипотеза о наличии единичного корня не может быть отвергнута. Продолжаем исследование. Необходимо рассмотреть модель с трендом:
Поскольку в модель включаются лаги разностей, объем выборки n меньше 300.
Значения d0, d1, d2 выбираются из таблицы:
Модель с линейным трендом |
|||
Уровень значимости α |
d0 |
d1 |
d2 |
0,1 |
-3,9638 |
-8,353 |
-47,44 |
0,05 |
-3,4126 |
-4,039 |
-17,83 |
0,01 |
-3,1279 |
-2,418 |
-7,58 |
Нулевая гипотеза H0 не может быть отвергнута.
Нулевая гипотеза H0 не может быть отвергнута.
Гипотеза о наличии единичного корня не может быть отвергнута. Порядок интегрируемости процесса Z не ниже первого. Однако при проведении ADF-теста для первых разностей ΔZ было установлено, что порядок интегрируемости процесса Z не выше первого. Следовательно, Z – DS-процесс 1-го порядка интегрируемости (Z~I(1)).
4.4. Получим первые разности временного ряда. Для этого: выделить переменную Z – Добавить – Первые разности для выделенных переменных:
Теперь построим коррелограмму для ряда первых разностей: Выделить новую переменную - Переменная – Коррелограмма:
Идентификацию модели ARIMA(p, k, q) проводим по построенной коррелограмме:
ACF обрывается на 2-м лаге, а PACF затухает с колебаниями. Можно предположить, что порядок авторегрессии p=0, а порядок скользящего среднего q=2. Впрочем, не исключено, что p>0 и q=2.
Выберем следующие значения: p=1, q=1.
При этом, как было установлено в п. 4.3, порядок интегрируемости k=1.
4.5. Оценим параметры модели ARIMA(2, 1, 2). Для этого: Модель – Одномерные временные ряды (Univariate time series) – ARIMA.
Указываем зависимую переменную (исследуемый ряд Z), а также порядок авторегрессии p и скользящего среднего q. Порядок интегрируемости указывается равным 1 (т.к. мы установили, что Z~I(1)).
Получаем модель:
Модель записывается в виде:
Построим коррелограмму остатков: Графики – Коррелограмма остатков.
Проводим тест Льюнга-Бокса:
Нулевая гипотеза H0 не отвергается, процесс остатков неотличим от белого шума.
Проведем тест на нормальное распределение остатков. Для этого сохраним остатки: Сохранить – Остатки. Затем выделим созданную переменную – Переменная – Тест на нормальное распределение:
Проводим тесты:
В большинстве случаев нельзя отвергнуть нулевую гипотезу о нормальном распределении остатков. Итак, процесс остатков является гауссовским белым шумом.
4.6. Проверяя значимость коэффициентов модели с помощью z-теста, приходим к выводам (α=0,05):
Коэффициент |
Вывод |
const |
Значим |
φ1 |
Нет |
φ 2 |
Нет |
θ1 |
Нет |
θ 2 |
Нет |
Проверим совместное равенство нулю коэффициентов φ1 и φ2, проведя тест на линейные ограничения: Тесты – Линейные ограничения.
Нулевая гипотеза H0 отклоняется. Можно считать, что оба коэффициента не равны 0.
Уберем лишние лаги из модели, оценив параметры модели ARIMA(1, 1, 1):
Модель записывается в виде:
Все коэффициенты модели значимы. Анализируя остатки, приходим к выводу, что процесс остатков можно считать гауссовским белым шумом. Значения всех трех информационных критериев понизились, следовательно, эта модель лучше предыдущей.
4.7. Поскольку новые наблюдения уже были созданы в пункте 2.7, повторно создавать их не нужно.
Сразу получаем прогноз на 10 периодов вперед: Анализ – Прогнозы – Указываем горизонт прогнозирования – ОК.
Получаем прогноз:
