Эконометрика Практическое занятие 5. Нелинейные модели. Выполнение в Gretl

1.2. При загрузке данных в Gretl их следует интерпретировать как временной ряд, а не перекрестные данные:

Выбираем нужную нам структуру данных:

В данной задаче периодичность данных не принципиальна. Просто упорядочиваем наблюдения от 1 до 100:

Затем нажимаем «Вперед» и подтверждаем структуру временного ряда.

Теперь можно построить график временного ряда. Для этого левой кнопкой мыши выделяем переменную x, правой кнопкой вызываем меню и выбираем: График временного ряда:

Получаем:

1.3. По графику временного ряда можно предположить, что предельное значение составляет 50, поэтому коэффициент a=50.

Рассчитаем значения новой переменной y(t) по формуле:

Для этого: Добавить – Добавить новую переменную:

Записываем формулу:

y=ln(50/x-1)

Теперь оцениваем параметры линейной регрессионной модели : Модель – Ordinary Least Squares – Указываем переменные:

Получив оценки коэффициентов перейдем к коэффициентам логистической модели:

(вычисления можно выполнить в Excel)

В нашем случае получаем:

a	b	c
50	0,674673	0,030028

Построенная логистическая модель:

Рассчитаем значения по этой формуле. Для этого добавим новую переменную:

model=50/(1+0.674673*exp(-0.030028*t))

(обратите внимание, что разделителем десятичных знаков является точка, а не запятая)

Сопоставим график исследуемого временного ряда с логистической кривой:

1.4. Заново загрузим данные в Gretl. Не будем задавать предельное значение.

Шаг 1. Рассчитаем значения вспомогательной переменной y_t по формуле:

Для этого сначала добавим 2 лага переменной x: Выделить переменную x – Добавить – Лаги для выделенных переменных:

Выбираем 2 лага.

Теперь рассчитываем значения y: добавить – Добавить новую переменную – записываем формулу:

y=0.5*ln(x/x_2)

Теперь оценим коэффициенты линейной регрессионной модели:

Для этого: Модель – Ordinary Least Squares – Указываем переменные.

Теперь нажимаем кнопку «Лаги…» и указываем только 1-й лаг для переменной x:

Нажимаем OK и строим модель:

Рассчитываем оценки параметров a и c логистической модели по формулам:

Шаг 2.

Рассчитаем значения вспомогательной переменной z по формуле:

Для этого добавляем новую переменную по формуле:

z=ln(49.59979/x-1)+0.032196*t

(обратите внимание, что разделителем десятичных знаков является точка, а не запятая)

Находим среднее значение:

и получаем оценку параметра b логистической модели:

В нашем случае получаем следующие оценки коэффициентов:

a	b	c
49,59979	0,687046	0,032196

Построенная логистическая модель:

Рассчитаем значения по этой формуле. Для этого добавим новую переменную:

model=49.59979/(1+0.687046*exp(-0.032196*t))

(обратите внимание, что разделителем десятичных знаков является точка, а не запятая)

Сопоставим график исследуемого временного ряда с логистической кривой:

1.5. Нелинейный метод наименьших квадратов.

Заново загрузим данные в Gretl. Сразу переходим: Модель – Nonlinear Least Squares.

В открывшемся окне сначала задаем начальные значения коэффициентов a, b, c. Затем записываем модель, параметры которой мы собираемся оценить:

а также производные логистической функции по коэффициентам:

Важное примечание. Методы нелинейной оптимизации чувствительны к выбору начального приближения. Поэтому имеет смысл выбрать начальные значения коэффициентов как можно ближе к их предполагаемым значениям (в нашем случае они известны из предыдущих пунктов).

Вводим:

scalar a = 50

scalar b = 0

scalar c = 0

x = a/(1+b*exp(-c*t))

deriv a = 1/(1+b*exp(-c*t))

deriv b = -(a*exp(-c*t))/(1+b*exp(-c*t))^2

deriv c = (a*b*t*exp(-c*t))/(1+b*exp(-c*t))^2

В нашем случае получаем следующие оценки коэффициентов:

a	b	c
50,0750	0,673505	0,0296553

Построенная логистическая модель:

Рассчитаем значения по этой формуле. Для этого сохраним расчетные значения по модели: Сохранить – Расчетные значения:

Или проще: Графики – График наблюдаемых и расчетных значений – В зависимости от времени.

Сопоставим график исследуемого временного ряда с логистической кривой:

Во всех трех случаях построенная логистическая модель хорошо описывает динамику переменной x(t).