1. Выявление и коррекция гетероскедастичности остатков.

1.1. Для того, чтобы оценки коэффициентов линейной регрессии, полученные с помощью МНК, были состоятельными, несмещенными и эффективными требуется выполнение предпосылок теоремы Гаусса-Маркова. К сожалению, нет способов проверить их выполнение до оценки параметров модели, поэтому в эконометрике используется следующий подход: сначала оцениваются параметры линейной регрессии, рассчитываются значения остатков, а затем проверяется выполнение предпосылок об остатках и, если они нарушаются, модель перестраивается (корректируется).

В первой части работы используются данные файла Эконометрика Практика 6 пример (для выполнения) Гетероскедастичность.xls: y – зависимая переменная, x – количественный фактор.

Построим диаграмму рассеяния: Вид – График – Разброс X-Y

Оценим параметры линейной регрессии: Модель – Ordinary Least Squares

Получаем:

Видим, что дисперсия y увеличивается с ростом значений фактора x. Это и означает гетероскедастичность остатков (дисперсия остатков не является общей для всех наблюдений константой). Убедимся в том, что это так.

Сохраним остатки модели. Для этого: Сохранить – Остатки.

1.2. Для этого построим графики зависимости остатков от фактора модели (x) и зависимости квадратов остатков от фактора модели (x).

Для построения первого графика: Графики – График остатков – в зависимости от x.

Для построения второго графика: Выделить переменную остатков – Добавить – Квадраты выделенных переменных – Вид – График – Разброс X-Y

На графике отчетливо видна зависимость дисперсии остатков от значений фактора (зависимость нелинейная, квадратичная в данном случае). Итак, визуально обнаружена гетероскедастичность. Проведем формальные тесты.

1.3. Для проведения тестов: Тесты – Гетероскедастичность – Тест Уайта или тест Бройша-Пагана.

Тест Уайта проводится по следующей схеме:

1) Выбирается уровень значимости α.

2) Нулевая гипотеза H₀: гомоскедастичность остатков. Альтернативная гипотеза H₁: гетероскедастичность остатков.

3) Рассчитывается наблюдаемое значение тестовой статистики nR².

4) Для наблюдаемого значения nR² определяется p-value. Если p-value<α, нулевая гипотеза H₀ отвергается. Обнаружена гетероскедастичность, модель нуждается в коррекции.

В данном случае:

Нулевая гипотеза отвергается. Обнаружена гетероскедастичность остатков, модель нуждается в коррекции.

Тест Бройша-Пагана проводится по следующей схеме:

1) Выбирается уровень значимости α.

2) Нулевая гипотеза h0: гомоскедастичность остатков. Альтернативная гипотеза h1: гетероскедастичность остатков.

3) Рассчитывается наблюдаемое значение тестовой статистики: LM=ESS/2.

4) Для наблюдаемого значения LM определяется p-value. Если p-value<α, нулевая гипотеза H₀ отвергается. Обнаружена гетероскедастичность, модель нуждается в коррекции.

В данном случае:

Нулевая гипотеза отвергается. Обнаружена гетероскедастичность остатков, модель нуждается в коррекции.

1.4. Для коррекции гетероскедастичности применяется взвешенный метод наименьших квадратов. В Gretl предполагается использование следующей модели зависимости остатков:

Тогда остаток можно записать в виде:

Тогда остатки в уравнении регрессии с преобразованными переменными:

.

Являются гомоскедастичными.

В нашем случае есть основания полагать, что с.к.о. остатков зависит от значений фактора x, а их дисперсия – от x², т.е.

Тогда оценив параметры B₀ и B₁ модели:

перейдем к коэффициентам исходной модели по формулам:

Создадим новые переменные Y=y/x и X=1/x, для этого: Добавить – Добавить новую переменную – записываем формулы:

Теперь оцениваем параметры новой модели: Модель – Ordinary Least Squares

Модель имеет вид:

Обратите внимание, что остатки новой модели гомоскедастичны (см. результаты теста Уайта и теста Бройша-Пагана).

Тогда модель зависимости y от x:

Тот же результат можно получить автоматически. Для этого предварительно рассчитываются веса по формуле:

Чтобы это сделать: Добавить – Добавить новую переменную – вводим формулу:

Затем применяется взвешенный метод наименьших квадратов (WLS), где в качестве веса указываются w_i: Модель – Другие линейные модели – Weighted Least Squres:

Тогда модель зависимости y от x:

Можно применить встроенную процедуру коррекции гетероскедастичности. Для этого: Модель – Другие линейные модели – Heteroskedasticity corrected

Указываем переменные модели:

Во вспомогательную регрессию

Могут включаться (при установленном флажке) или не включаться квадраты факторов.

Нажав ОК, получим модель:

В итоге получена следующую модель зависимости y от x: