1) Выбирается уровень значимости α.

2) Нулевая гипотеза H₀: автокорреляции остатков нет

Альтернативная гипотеза Н₁: автокорреляция есть

3) Рассчитывается наблюдаемое значение статистики nR².

4) Для наблюдаемого значения nR² определяется p-value. Если p-value<α, нулевая гипотеза H₀ отвергается и делается вывод о том, что наблюдается автокорреляция остатков.

Для проведения теста: Тесты – Автокорреляция – Выбираем максимальный порядок лагов (в нашем случае достаточно 5).

Проводим тест:

Нулевая гипотеза отвергается. Обнаружена автокорреляция остатков. Заметим, что значимым является только коэффициент при первом лаге остатков, т.е. остатки порождены процессом AR(1).

2.4. Если обнаружена автокорреляция, то для следует применить процедуру Кохрана-Оркатта. В нашем примере все указывает на автокорреляцию 1-го порядка, поэтому выбираем: Модель – Univariate time series – AR errors (GLS) – AR(1)

Тогда модель зависимости y от t:

При этом остатки u_t являются независимыми, коэффициент автокорреляции 0,071997 (указан в отчете как «Параметр rho»).

Существуют различные модификации этой процедуры, отличающиеся способами оценки коэффициента автокорреляции (например, метод Хилдрета-Лу) и поправкой в связи с потерей 1-го наблюдения (поправка Прайса-Уинстена). Эти методы позволят получить немного другие оценки параметров (самостоятельно сравните результаты, получаемые разными методами).

3. Проверка предпосылки о нормальном распределении остатков. Бутстреп.

3.1. В третьей части работы используются данные файла Эконометрика Практика 6 пример (для выполнения) Бутстреп.xls: y – зависимая переменная, x – независимая переменная (количественный фактор). Данные являются перекрестными.

Вначале оценим модель, используя обыкновенный МНК: Модель – Ordinary Least Squares – указываем зависимую переменную и регрессоры:

3.2. Построим коробчатую диаграмму остатков. Для этого: Графики – График остатков – Коробчатая диаграмма

Получаем коробчатую диаграмму:

Если распределение остатков является нормальным, то медиана проходит через середину «коробки», «усы» имеют одинаковую длину, а выше и ниже концов «усов» попадают примерно 0,7% наблюдений.

В данном случае распределение остатков симметричное, но имеет «тяжелые хвосты» (слишком много точек лежат выше и ниже концов «усов»), поэтому можно предположить, что распределение остатков отличается от нормального.

3.3. Построим график «квантиль-квантиль»: Графики – Q-Q график остатков:

Получаем график «квантиль-квантиль»:

Если распределение остатков нормальное, то все точки располагаются вдоль прямой, проходящей через начало координат (изображена на графике). В нашем случае это не так, поэтому можно предположить, что распределение остатков отличается от нормального.

3.4. Проведем статистические тесты на нормальное распределение остатков.

Сохраним остатки модели: Сохранить – Остатки:

После этого: Выделяем переменную, в которую сохранены остатки – Переменная – Тест на нормальное распределение:

Gretl проводит 4 теста:

Проводим тесты:

Нулевая гипотеза отвергается, распределение остатков нельзя считать нормальным.

3.5. Получим ядерную оценку плотности, чтобы получить более полное представление о распределении остатков и его отличиях от нормального.

Для этого: Выделить переменную остатков – Переменная – График ядерной оценки плотности:

Выбираем вид ядерного оценщика плотности (доказано, что ядро Епанечникова обладает оптимальными свойствами, однако в большинстве случаев разница между ним и гауссовским ядром незаметна) и фактор коррекции ширины окна (чем больше, тем более гладким получится график):

График ядерной оценки плотности напоминает колоколообразную кривую нормального распределения, но отличается от нее в «хвостах».

3.6. Поскольку распределение остатков нельзя считать нормальным, то нельзя обычным образом строить доверительные интервалы для коэффиициентов и проверять гипотезы.

Используем бутстреп, чтобы получить доверительный интервал для коэффициента b₀ (константа): Анализ – Бутстреп

Выбираем коэффициент модели (пока что это константа b₀) и указываем, что мы хотим получить (пока что нас интересует доверительный интервал). Выбирается метод, можно выбрать любой (на лекции 4 был рассмотрен метод ресэмплинга пар наблюдений; сравните результаты, получаемые разными методами). Указывается количество наблюдений (чем больше, тем точнее, но медленнее):

Получаем 95%-ный доверительный интервал для b₀:

(поскольку бутстреп предполагает получение случайных повторных выборок, результаты каждый раз будет получаться разными, хотя и близкими друг к другу)

Теперь используем бутстреп, чтобы проверить значимость коэффициента b₀ (константа). Выбираем коэффициент модели (пока что это константа b₀) и указываем, что мы хотим получить (теперь это p-value). Выбирается метод, можно выбрать любой (на лекции 4 был рассмотрен метод ресэмплинга остатков; сравните результаты, получаемые разными методами). Указывается количество наблюдений (чем больше, тем точнее, но медленнее):

Проверяем значимость коэффициента b₀:

Нулевая гипотеза отвергается. Коэффициент b₀ статистически значим.

Аналогично получаем доверительный интервал для b₁ (старшего коэффициента модели):

и проверяем его значимость:

Нулевая гипотеза отвергается. Коэффициент b₁ статистически значим.

Теперь проведем тест на линейные ограничения. Константа и старший коэффициент модели принимают значения, близкие к 200 и 0,8. Проверим, можно ли считать их равными этим числам: Тест – Линейные ограничения – Вводим ограничения – Устанавливаем флажок «Использовать бутстреп» - ОК

Выбираем метод и количество повторений:

Нулевая гипотеза не отвергается. Можно считать, что одновременно b₀=200 и b₁=0,8.