1.4. Заново загрузим данные в Gretl. Не будем задавать предельное значение.
Шаг 1. Рассчитаем значения вспомогательных переменных wt и yt по формулам:
Для этого сначала добавим 2 лага переменной x: Выделить переменную x – Добавить – Лаги для выделенных переменных:
Выбираем 2 лага.
Теперь рассчитываем значения w:
w=0.5*ln(x/x_2)
и значения y:
y=ln(w)
Теперь оценим коэффициенты линейной регрессионной модели:
Для этого: Модель – Ordinary Least Squares – Указываем переменные.
Теперь нажимаем кнопку «Лаги…» и указываем только 1-й лаг для переменной t:
Нажимаем OK и строим модель:
Теперь рассчитаем оценки параметров b и c модели Гомперца:
Шаг 2.
Рассчитаем значения вспомогательной переменной z по формуле:
Для этого добавляем новую переменную по формуле:
z=ln(x)+1.019922*exp(-0.0192425*t)
(обратите внимание, что разделителем десятичных знаков является точка, а не запятая)
Находим среднее значение:
Тогда оценка параметра a модели Гомперца:
В нашем случае получаем следующие оценки коэффициентов:
a |
b |
c |
520,773 |
1,019922 |
0,0192425 |
Построенная модель Гомперца:
Рассчитаем значения по этой формуле. Для этого добавим новую переменную:
model=520.773*exp(-1.019922*exp(-0.0192425*t))
(обратите внимание, что разделителем десятичных знаков является точка, а не запятая)
Сопоставим график исследуемого временного ряда с кривой Гомперца:
2.5. Нелинейный метод наименьших квадратов.
Заново загрузим данные в Gretl. Сразу выбираем: Модель – Nonlinear Least Squares.
В открывшемся окне сначала задаем начальные значения коэффициентов a, b, c. Затем записываем модель, параметры которой мы собираемся оценить:
а также производные функции Гомперца по коэффициентам:
Важное примечание. Методы нелинейной оптимизации чувствительны к выбору начального приближения. Поэтому имеет смысл выбрать начальное значение коэффициентов как можно ближе к их предполагаемым значениям.
Переходим: Модель – Nonlinear Least Squares
Вводим:
scalar a = 500
scalar b = 1
scalar c = 0
x = a*exp(-b*exp(-c*t))
deriv a = exp(-b*exp(-c*t))
deriv b = -a*exp(-c*t-b*exp(-c*t))
deriv c = a*b*t*exp(-c*t-b*exp(-c*t))
В нашем случае получаем следующие оценки коэффициентов:
a |
b |
c |
523,167 |
1,02163 |
0,0190068 |
Построенная модель Гомперца:
Рассчитаем значения по этой формуле. Для этого просто сохраним расчетные значения по модели: Сохранить – Расчетные значения:
Сопоставим график исследуемого временного ряда с кривой Гомперца:
Во всех трех случаях построенная модель Гомперца хорошо описывает динамику переменной x(t).
3. Производственная функция Кобба-Дугласа. Выполнение в Gretl
3.2. При загрузке данных в Gretl их следует интерпретировать как временной ряд. В данной задаче также не принципиально, что данные ежегодные, поэтому наблюдения можно просто упорядочить от 1 до 100.
Построим график временного ряда:
Далее следует щелкнуть правой кнопкой мыши по области графика, выбрать пункт Правка, перейти на вкладку Линии и указать, что значениям L соответствует вспомогательная ось (правая).
3.3. Добавим логарифмы:
Для этого: Выделить названия переменных – Добавить – Логарифмы:
Теперь можно построить модель множественной линейной регрессии:
Для этого: Модель – Ordinary Least Squares – в качестве переменных выбираем созданные логарифмы:
Теперь найдем оценки технологического коэффициента A и коэффициентов эластичности α и β по формулам:
Оценки коэффициентов:
A |
α |
β |
4,06016 |
0,380104 |
0,630139 |
В итоге получаем модель:
Рассчитаем значения по этой формуле: Добавить – Новую переменную:
model = 4.06016*(L^0.380104)*(K^0.630139)
(обратите внимание, что разделителем десятичных знаков является точка, а не запятая)
Сопоставим значения временного ряда ВВП Y с расчетными значениями по модели:
3.4. Теперь оценим параметры однородной модели. Для этого в окне модели, построенной в предыдущем пункте, выбираем: Тесты – Линейные ограничения
и вводим интересующее нас ограничение α+β=1:
Модель с ограничениями и тест на линейные ограничения:
Проводится тест на линейные ограничения:
Нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу H0. Функция Кобба-Дугласа может считаться однородной.
Помимо теста, приводятся коэффициенты модели с линейным ограничением, откуда находим A, α, β по тем же формулам:
Оценки коэффициентов:
A |
α |
β |
3,993474 |
0,349354 |
0,650646 |
В итоге получаем модель:
Рассчитаем значения по этой формуле: Добавить – Новую переменную:
model_restr= 3.993474*(L^0.349354)*(K^0.650646)
(обратите внимание, что разделителем десятичных знаков является точка, а не запятая)
Сопоставим значения временного ряда ВВП Y с расчетными значениями по модели:
3.5. Теперь используем нелинейный метод наименьших квадратов.
Первая модель имеет вид:
ее частные производные по коэффициентам A, α, β:
Переходим: Модель – Nonlinear Least Squares
Вводим:
scalar A = 0
scalar a = 0
scalar b = 0
Y = A*(L^a)*(K^b)
deriv A = (L^a)*(K^b)
deriv a = A*(L^a)*(K^b)*ln(L)
deriv b = A*(L^a)*(K^b)*ln(K)
Получаем следующий результат:
Построенная модель имеет вид:
Рассчитаем значения по этой формуле и сопоставим их с наблюдаемыми: Графики – График наблюдаемых и расчетных значений – В зависимости от времени:
Можно сразу оценивать коэффициенты однородной функции:
ее частные производные по коэффициентам A, α:
Переходим: Модель – Nonlinear Least Squares
Вводим:
scalar A = 0
scalar a = 0
Y = A*(L^a)*(K^(1-a))
deriv A = (L^a)*(K^(1-a))
deriv a = A*(L^a)*(K^(1-a))*ln(L)- A*(L^a)*(K^(1-a))*ln(K)
Получаем следующий результат:
Построенная модель имеет вид:
Рассчитаем значения по этой формуле и сопоставим их с наблюдаемыми: Графики – График наблюдаемых и расчетных значений – В зависимости от времени:
Как можно видеть, обе модели хорошо описывают изучаемую зависимость.