2. Модель Гомперца. Выполнение в Excel
2.2. График временного ряда в Excel строится следующим образом: Вставка – Точечная – Точечная с гладкими кривыми. Затем следует щелкнуть правой кнопкой мыши по области диаграммы: Выбрать данные – Добавить.
В качестве значений X указывается время t, а в качестве значений Y указывается исследуемый показатель x(t):
2.3. По графику временного ряда можно предположить, что рост еще некоторое время продолжится, а предельное значение составляет около 500, поэтому коэффициент a=500.
Рассчитаем значения новой переменной y(t) по формуле:
после чего оценим параметры линейной регрессионной модели:
Используя инструмент «Регрессия» надстройки «Анализ данных»:
Получив оценки коэффициентов перейдем к коэффициентам модели Гомперца:
В нашем случае получаем:
a |
b |
c |
500 |
1,0187002 |
0,0218729 |
Построенная модель Гомперца:
Рассчитав значения по этой формуле, можем сопоставить график исследуемого временного ряда с кривой Гомперца:
1.4. Теперь не будем задавать предельное значение.
Шаг 1. Рассчитаем значения вспомогательных переменных wt и yt по формулам:
Теперь оценим коэффициенты линейной регрессионной модели:
Теперь рассчитаем оценки параметров b и c модели Гомперца:
Шаг 2.
Рассчитаем значения вспомогательной переменной z по формуле:
Находим среднее значение по формуле =СРЗНАЧ(), которое и является оценкой параметра a модели Гомперца:
В нашем случае получаем следующие оценки коэффициентов:
a |
b |
c |
520,773 |
1,019922 |
0,0192425 |
Построенная логистическая модель:
Рассчитав значения по этой формуле, можем сопоставить график исследуемого временного ряда с кривой Гомперца:
Выполнение в Gretl
2.2. При загрузке данных в Gretl их следует интерпретировать как временной ряд. В данной задаче также не принципиально, что данные еженедельные, поэтому наблюдения можно просто упорядочить от 1 до 100.
Построим график временного ряда:
2.3. По графику временного ряда можно предположить, что предельное значение составляет 500, поэтому коэффициент a=500.
Рассчитаем значения новой переменной y(t) по формуле:
для этого добавляем переменную:
y=ln(ln(500/x))
Теперь оцениваем параметры линейной регрессионной модели : Модель – Ordinary Least Squares – Указываем переменные:
Получив оценки коэффициентов перейдем к коэффициентам модели Гомперца:
В нашем случае получаем:
a |
b |
c |
500 |
1,0187002 |
0,0218729 |
Построенная модель Гомперца:
Рассчитаем значения по этой формуле. Для этого добавим новую переменную:
model=500*exp(-1.0187002*exp(-0.0218729*t))
(обратите внимание, что разделителем десятичных знаков является точка, а не запятая)
Сопоставим график исследуемого временного ряда с кривой Гомперца:
