Выполнение работы

1. Импортируем данные из файла Эконометрика Практика 11 пример (для выполнения).xls. Данные следует интерпретировать как временной ряд. Для этого: Структура данных – Временные ряды – Частота временных рядов: Другая – В качестве номера первого наблюдения указать 1 – Подтвердить структуру данных

2. Модель стационарного временного ряда.

В файле Эконометрика Практика 11 пример (для выполнения).xls. содержатся 300 наблюдений временного ряда X, порожденного стационарным случайным процессом. Для моделирования будет использоваться модель ARMA(p, q) с константой.

2.1. Для построения графика временного ряда: выделить переменную X – правой кнопкой мыши вызвать меню – График временного ряда:

Получаем график:

Анализируя график временного ряда, можно предположить, что ряд порожден стационарным процессом с ненулевым математическим ожиданием. Проверим правильность наших предположений, проведя ADF-тест.

2.2. Проведем расширенный тест Дики-Фуллера (ADF-тест) для первых разностей временного ряда. Для этого: выделить переменную X – Переменная – Тесты единичного корня – Расширенный тест Дики-Фуллера (ADF-тест)

Рассмотрим вариант с константой, а также вариант с константой и линейным трендом:

(тест проводится для первых разностей временного ряда)

Сначала используется модель с константой:

Поскольку в модель включаются лаги разностей, объем выборки n меньше 300.

Значения d₀, d₁, d₂ выбираются из таблицы:

Модель с константой
Уровень значимости α	d0	d1	d2
0,1	-3,4336	-5,999	-29,25
0,05	-2,8621	-2,738	-8,36
0,01	-2,5671	-1,438	-4,48

Нулевая гипотеза H₀ отвергается.

Нулевая гипотеза H₀ отвергается.

Процесс первых разностей – интегрируемый нулевого порядка. Поскольку этот результат получен при проведении теста с константой (без тренда), процесс является стационарным (а не тренд-стационарным).

Использовать модель с трендом в данном случае необязательно, однако все же приведем результаты ADF-теста для такой модели:

Поскольку в модель включаются лаги разностей, объем выборки n меньше 300.

Значения d₀, d₁, d₂ выбираются из таблицы:

Модель с линейным трендом
Уровень значимости α	d0	d1	d2
0,1	-3,9638	-8,353	-47,44
0,05	-3,4126	-4,039	-17,83
0,01	-3,1279	-2,418	-7,58

Нулевая гипотеза H₀ отвергается.

Нулевая гипотеза H₀ отвергается.

Процесс первых разностей – интегрируемый нулевого порядка.

По результатам теста для модели с трендом можно утверждать лишь, что процесс первых разностей – стационарный или тренд-стационарный.

Видим, что коэффициент при переменной time не является значимым, т.е. линейного тренда на самом деле нет, процесс первых разностей является стационарным (без тренда).

По результатам ADF-теста для первых разностей ΔX_t можно сделать вывод, что исходный процесс X_t является интегрируемым порядка не выше первого: X~I(k), k≤1.

2.3. Проведем расширенный тест Дики-Фуллера (ADF-тест) для исходного временного ряда. Для этого: выделить переменную X – Переменная – Тесты единичного корня - Расширенный тест Дики-Фуллера (ADF-тест)

Рассмотрим вариант с константой, а также вариант с константой и линейным трендом:

(тест проводится для исходного временного ряда)

Сначала используется модель с константой:

Поскольку в модель включаются лаги разностей, объем выборки n меньше 300.

Значения d₀, d₁, d₂ выбираются из таблицы:

Модель с константой
Уровень значимости α	d0	d1	d2
0,1	-3,4336	-5,999	-29,25
0,05	-2,8621	-2,738	-8,36
0,01	-2,5671	-1,438	-4,48

Нулевая гипотеза H₀ отвергается.

Нулевая гипотеза H₀ отвергается.

Исследуемый процесс – интегрируемый нулевого порядка. Поскольку этот результат получен при проведении теста с константой (без тренда), процесс является стационарным (а не тренд-стационарным).

Использовать модель с трендом в данном случае необязательно, однако все же приведем результаты ADF-теста для такой модели:

Поскольку в модель включаются лаги разностей, объем выборки n меньше 300.

Значения d₀, d₁, d₂ выбираются из таблицы:

Модель с линейным трендом
Уровень значимости α	d0	d1	d2
0,1	-3,9638	-8,353	-47,44
0,05	-3,4126	-4,039	-17,83
0,01	-3,1279	-2,418	-7,58

Нулевая гипотеза H₀ отвергается.

Нулевая гипотеза H₀ отвергается.

Исследуемый процесс – интегрируемый нулевого порядка.

По результатам теста для модели с трендом можно утверждать лишь, что исследуемый процесс – стационарный или тренд-стационарный.

Видим, что коэффициент при переменной time не является значимым, т.е. линейного тренда на самом деле нет, исследуемый процесс является стационарным (без тренда).

2.4. Поскольку X_t – стационарный, в качестве его модели будем рассматривать ARMA(p, q). Для идентификации модели построим кореллограмму: выделить переменную X – Переменная – Коррелограмма:

Графики ACF и PACF:

Выберем следующие значения: p=2, q=2.

Замечание: сказанное выше является лишь предположением. Исследователь не обязан сразу угадать p и q.

2.5. Оценим параметры модели ARMA(2, 2). Для этого: Модель – Одномерные временные ряды (Univariate time series) – ARIMA

Указываем зависимую переменную (исследуемый ряд X), а также порядок авторегрессии p и скользящего среднего q. Порядок интегрируемости указывается равным нулю (т.к. мы установили, что X~I(0)).

Получаем модель:

Модель записывается в виде:

Процесс является стационарным и обратимым, поскольку корни характеристических уравнений лежат вне единичного круга на комплексной плоскости (модули корней строго больше 1):

Построим коррелограмму остатков: Графики – Коррелограмма остатков.

Проводим тест Льюнга-Бокса:

Нулевая гипотеза H₀ не отвергается, процесс остатков неотличим от белого шума.

Проведем тест на нормальное распределение остатков. Для этого сохраним остатки: Сохранить – Остатки. Затем выделим созданную переменную – Переменная – Тест на нормальное распределение:

Проводим тесты:

Во всех случаях нельзя отвергнуть нулевую гипотезу о нормальном распределении остатков. Итак, процесс остатков является гауссовским белым шумом.

2.6. Проверяя значимость коэффициентов модели с помощью z-теста, приходим к выводам (α=0,05):

Коэффициент	Вывод
const	Значим
φ1	Нет
φ2	Значим
θ1	Нет
θ2	Нет

Наибольшее p-value получено для θ₁. Понизим порядок MA и построим модель с p=0.

Модель ARMA(2, 0) имеет вид:

Все коэффициенты модели значимы. Анализируя остатки, приходим к выводу, что процесс остатков является гауссовским белым шумом. Значения всех трех информационных критериев понизились, следовательно, эта модель и является наилучшей.

2.7. Закроем окно с моделью. Теперь добавим наблюдения: правой кнопкой мыши по названию переменной X вызываем меню – изменить значения.

Добавим 10 наблюдений. Не забудьте нажать кнопку «Применить»:

Снова построим модель, которая была признана наилучшей (т.е. ARMA(2, 0)). Теперь получим прогноз на 10 периодов вперед: Анализ – Прогнозы – Указываем горизонт прогнозирования

Нажав ОК, получим прогноз: