Крючкова паркика 12

В файле Эконометрика Практика 12-1.xls собраны данные о 100 предприятиях: зависимая переменная Y – выручка в 2023 году, тыс. руб., независимая переменная X – выручка в 2022 году, тыс. руб., качественный признак B – пол генерального директора (1 – женский, 0 – мужской).

Оценка максимального правдоподобия:

Как известно, эта оценка представляет собой относительную частоту ω, которую можно найти следующим образом: выделить переменную B – Переменная – Распределение частот…

Можно видеть, что относительная частота ω=1, результаты совпадают.

Теперь получим МП-оценки математического ожидания μ и с.к.о. σ, считая X реализациями независимых нормально распределенных с.в

Оценки максимального правдоподобия:

МП-оценка представляет собой выборочное среднее, поэтому результаты совпадают. МП-оценка представляет собой смещенное выборочное с.к.о., поэтому ее значение немного ниже несмещенной оценки.

Наконец, получим МП-оценки коэффициентов регрессии Y=b₀+b₁X+ε, считая, что случайные ошибки удовлетворяют условиям теоремы Гаусса-Маркова.

Оценки максимального правдоподобия:

Как можно видеть, максимум логарифмической функции правдоподобия (-706,35) был найден верно. МП-оценки коэффициентов регрессии теоретически равны МНК-оценкам, однако при численном решении результаты получаются немного различными. МП-оценка с.к.о. случайных ошибок является смещенной и потому она ниже оценки RSS/(n-2), приведенной в отчете о регрессионном анализе.

В файле Эконометрика Практика 12-2.xls собраны данные о 200 клиентах банка: зависимая переменная Account – сумма на 1-летнем срочном вкладе, тыс. руб., независимая переменная Wage –средняя заработная плата клиента в 2023 году, тыс. руб./мес.

Как можно видеть, модель парной линейной регрессии неадекватна. В данном случае следует использовать тобит-модель цензурированной регрессии, при этом нижней границей значений зависимой переменной является 0, а верхняя граница отсутствует.

Оценим параметры тобит-модели.

Оцененная тобит-модель имеет вид:

=

где ошибки ε_i ~ N(0, 132,625²).

Построим график наблюдаемых и расчетных значений.

Построенный график расчетных значений латентной переменной соответствует ненулевым значениям зависимой переменной.

Также при использовании ММП предполагалось, что случайные ошибки модели имеют нормальное распределение. Проверим это:

Нулевая гипотеза не отвергается, распределение ошибок можно считать нормальным.

График наблюдаемых и расчетных значений и результаты проверки нормальности ошибок свидетельствуют об адекватности тобит-модели в целом.

Проверим значимость коэффициентов модели.

Проверка значимости проводится по следующей схеме:

1) Выбирается уровень значимости α.

2) Нулевая гипотеза H₀: b_i=0,

Альтернативная гипотеза H₁: b_i≠0.

3) Рассчитывается наблюдаемое значение z-статистики. Если верна H₀, то z~N(0, 1).

4) Для наблюдаемого значения определяется p-value. Если p-value<α, нулевая гипотеза отвергается, делается вывод о значимости коэффициента b_i.

В нашем случае:

Фактор	Коэффициент	Вывод
Const	b0	Значим
Wage	b1	Значим

Все коэффициенты модели значимы.

Теперь используем построенную модель для прогнозирования. Добавим наблюдения. После этого следует заново построим тобит-модель и используем ее для прогнозирования.

Получим прогноз для двух клиентов банка:

1) Клиент с доходом 100 тыс. руб. в год. Рассчитываем ожидаемое ненаблюдаемое значение:

Тогда ожидаемое наблюдаемое значение:

2) Клиент с доходом 150 тыс. руб. в год. Рассчитываем ожидаемое ненаблюдаемое значение:

Тогда ожидаемое наблюдаемое значение:

В файле Эконометрика Практика 12-3.xls собраны данные о 200 работниках. Переменные основной регрессии: зависимая переменная Expenses – автомобильные расходы в 2023 году, тыс. руб., независимая переменная Distance – расстояние от дома до места работы, км. Регрессия выбора: зависимая переменная Car – бинарная переменная (1 – есть личный автомобиль, 0 – нет), независимая переменная Wage – средняя заработная плата в 2023 году, тыс.руб./мес.

Как можно видеть, модель парной линейной регрессии неадекватна. В данном случае следует использовать хекит-модель цензурированной регрессии.

Оценим параметры хекит-модели.

Уравнения для латентных переменных имеют вид:

(основная регрессия)

(регрессия выбора)

Стандартная ошибка основной регрессии 7,3, стандартная ошибка регрессии выбора равна 1 (по умолчанию), случайные ошибки регрессий связаны, выборочный коэффициент корреляции 0,788.

При этом наблюдаемые переменные:

Построим график наблюдаемых и расчетных значений.

Построенный график расчетных значений латентной переменной соответствует ненулевым значениям зависимой переменной и свидетельствует об адекватности хекит-модели в целом.

Проверим значимость коэффициентов модели.

Проверка значимости проводится по следующей схеме:

1) Выбирается уровень значимости α.

2) Нулевая гипотеза H₀: b_i=0,

Альтернативная гипотеза H₁: b_i≠0.

3) Рассчитывается наблюдаемое значение z-статистики. Если верна H₀, то z~N(0, 1).

4) Для наблюдаемого значения определяется p-value. Если p-value<α, нулевая гипотеза отвергается, делается вывод о значимости коэффициента b_i.

В нашем случае:

Основная регрессия

Фактор	Коэффициент	Вывод
Const	b10	Значим
Distance	b11	Значим

Регрессия выбора

Фактор	Коэффициент	Вывод
Const	b20	Значим
Wage	b21	Значим

Все коэффициенты обеих регрессий значимы. При этом коэффициент при также является значимым, т.е. ошибки основной регрессии и регрессии выбора являются зависимыми, оба уравнения следовало оценивать совместно.

Прогнозирование в EXCEL.

В нашем случае были получены следующие прогнозы:

1) Если 1-й работник проезжает 150 км до работы, имеет среднюю ЗП 50 тыс.руб/месяц, имеет личный автомобиль, то точечный прогноз его затрат 961,30107 тыс. руб.

2) Если 2-й работник проезжает 200 км до работы, имеет среднюю ЗП 100 тыс.руб/месяц, имеет личный автомобиль, то точечный прогноз его затрат 1227,7639 тыс. руб.