3. Модель тренд-стационарного временного ряда.

В файле Эконометрика Практика 11 пример (для выполнения).xls. содержатся 300 наблюдений временного ряда Y, порожденного тренд-стационарным случайным процессом. Для моделирования будет использоваться модель ARMA(p, q) с линейным трендом.

3.1. Для построения графика временного ряда: выделить переменную Y – правой кнопкой мыши вызвать меню – График временного ряда. Получаем график:

Анализируя график временного ряда, можно предположить, что ряд порожден нестационарным процессом. Просматривается линейный тренд, так что ряд может быть порожден TS-процессом (впрочем, не исключено, что ряд порожден DS-процессом и тренд является стохастическим). Проверим правильность наших предположений, проведя ADF-тест.

3.2. Проведем расширенный тест Дики-Фуллера (ADF-тест) для первых разностей временного ряда. Для этого: выделить переменную Y – Переменная – Тесты единичного корня - Расширенный тест Дики-Фуллера (ADF-тест). Рассмотрим вариант с константой, а также вариант с константой и линейным трендом:

(тест проводится для первых разностей временного ряда)

Сначала используется модель с константой:

Поскольку в модель включаются лаги разностей, объем выборки n меньше 300.

Значения d₀, d₁, d₂ выбираются из таблицы:

Модель с константой
Уровень значимости α	d0	d1	d2
0,1	-3,4336	-5,999	-29,25
0,05	-2,8621	-2,738	-8,36
0,01	-2,5671	-1,438	-4,48

Нулевая гипотеза H₀ отвергается.

Нулевая гипотеза H₀ отвергается.

Процесс первых разностей – интегрируемый нулевого порядка. Поскольку этот результат получен при проведении теста с константой (без тренда), процесс является стационарным (а не тренд-стационарным).

Использовать модель с трендом в данном случае необязательно, однако все же приведем результаты ADF-теста для такой модели:

Поскольку в модель включаются лаги разностей, объем выборки n меньше 300.

Значения d₀, d₁, d₂ выбираются из таблицы:

Модель с линейным трендом
Уровень значимости α	d0	d1	d2
0,1	-3,9638	-8,353	-47,44
0,05	-3,4126	-4,039	-17,83
0,01	-3,1279	-2,418	-7,58

Нулевая гипотеза H₀ отвергается.

Нулевая гипотеза H₀ отвергается.

Процесс первых разностей – интегрируемый нулевого порядка.

По результатам теста для модели с трендом можно утверждать лишь, что процесс первых разностей – стационарный или тренд-стационарный. Но поскольку мы уже проводили тест для модели с константой и без тренда и отвергли нулевую гипотезу о наличии единичного корня, линейного тренда на самом деле нет, процесс первых разностей является стационарным (без тренда).

По результатам ADF-теста для первых разностей ΔY_t можно сделать вывод, что исходный процесс Y_t является интегрируемым порядка не выше первого: Y~I(k), k≤1.

3.3. Проведем расширенный тест Дики-Фуллера (ADF-тест) для исходного временного ряда. Для этого: выделить переменную Y – Переменная – Тесты единичного корня – Расширенный тест Дики-Фуллера (ADF-тест). Рассмотрим вариант с константой, а также вариант с константой и линейным трендом:

(тест проводится для исходного временного ряда)

Сначала используется модель с константой:

Поскольку в модель включаются лаги разностей, объем выборки n меньше 300.

Значения d₀, d₁, d₂ выбираются из таблицы:

Модель с константой
Уровень значимости α	d0	d1	d2
0,1	-3,4336	-5,999	-29,25
0,05	-2,8621	-2,738	-8,36
0,01	-2,5671	-1,438	-4,48

Нулевая гипотеза H₀ не может быть отвергнута.

Нулевая гипотеза H₀ не может быть отвергнута.

Нулевая гипотеза о наличии единичного корня не может быть отвергнута. Продолжаем исследование. Необходимо рассмотреть модель с трендом:

Поскольку в модель включаются лаги разностей, объем выборки n меньше 300.

Значения d₀, d₁, d₂ выбираются из таблицы:

Модель с линейным трендом
Уровень значимости α	d0	d1	d2
0,1	-3,9638	-8,353	-47,44
0,05	-3,4126	-4,039	-17,83
0,01	-3,1279	-2,418	-7,58

Нулевая гипотеза H₀ отвергается.

Нулевая гипотеза H₀ отвергается.

Гипотеза о наличии единичного корня в случае модели с трендом отвергается. Исследуемый процесс – интегрируемый нулевого порядка. При этом поскольку при проведении теста для модели с константой и без тренда H₀ не была отвергнута, делаем вывод, что Y_t – TS-процесс с линейным трендом.

3.4. Оценим модель линейного тренда. Для этого сначала добавим временную переменную: Добавить – Временной тренд:

Теперь можем построить модель тренда: Модель – Метод наименьших квадратов (Ordinary Least Squares)

Указываем зависимую переменную и регрессоры:

Построенная модель мало нас интересует из-за наличия автокорреляции в остатках. Нас интересуют только остатки, коррелограмму для которых мы и построим: Графики – Коррелограмма остатков:

Идентификацию модели ARMA(p, q) с линейным трендом проводим по построенной коррелограмме:

ACF затухает, можно предположить, что порядок авторегрессии p≥1.

PACF затухает, можно предположить, что порядок скользящего среднего q≥1. Знаки меняются через один, поэтому скорее всего q=2.

Выберем следующие значения: p=1, q=2.

3.5. Оценим параметры модели ARMA(1, 2). Для этого: Модель – Одномерные временные ряды (Univariate time series) – ARIMA.

Указываем зависимую переменную (исследуемый ряд Y), а также порядок авторегрессии p и скользящего среднего q. Порядок интегрируемости указывается равным нулю (т.к. мы установили, что Y~I(0)).

Поскольку мы установили, что процесс содержит линейный тренд, в качестве регрессора указываем временную переменную time:

Получаем модель:

Модель записывается в виде:

Процесс является стационарным и обратимым, поскольку корни характеристических уравнений лежат вне единичного круга на комплексной плоскости (модули корней строго больше 1):

Построим коррелограмму остатков: Графики – Коррелограмма остатков.

Проводим тест Льюнга-Бокса:

Нулевая гипотеза H₀ не отвергается, процесс остатков неотличим от белого шума.

Проведем тест на нормальное распределение остатков. Для этого сохраним остатки: Сохранить – Остатки. Затем выделим созданную переменную – Переменная – Тест на нормальное распределение:

Проводим тесты:

В большинстве случаев нельзя отвергнуть нулевую гипотезу о нормальном распределении остатков. Итак, процесс остатков является гауссовским белым шумом.

3.6. Проверяя значимость коэффициентов модели с помощью z-теста, приходим к выводам (α=0,05):

Коэффициент	Вывод
const	Значим
φ1	Значим
θ1	Нет

Не все коэффициенты модели значимы.

3.7. Сразу получаем прогноз на 10 периодов вперед: Анализ – Прогнозы – Указываем горизонт прогнозирования – ОК.

Получаем прогноз: