Уравнение теплопроводности

Для вывода классической формы уравнения теплопроводности рассмотрим гомогенную однородную среду объемом , ограниченную замкнутой поверхностью .

Ввиду отсутствия конвекции, в среде нет движения молярных объемов вещества, и, следовательно, не происходит изменения механической энергии системы и не может выполняться работа. Таким образом, необходимо рассмотреть изменения только внутренней энергии системы.

С этой целью выделим в среде произвольный контрольный объем V, ограниченный замкнутой поверхностью . Потребуем, чтобы поверхность контрольного объема не имела общих точек с внешней поверхностью среды , т.е. контрольный объем не является граничным. Применим к выбранному контрольному объему первый закон термодинамики в интегральном виде (2.12):

(2.12)

где - количество энергии, вытекающее из контрольного объема за единицу времени [Вт]; - количество энергии, образующееся в контрольном объеме за единицу времени [Вт] (энергия может генерироваться за счет химических, ядерных реакций и пр.); – изменение внутренней энергии контрольного объема в единицу времени. Рассмотрим каждое слагаемое уравнения (2.1) по отдельности.

Уравнение теплопроводности

Член утечки энергии из объема может быть определен как количество энергии, проходящее через внешнюю поверхность контрольного объема в единицу времени в направлении внешней нормали к поверхности (2.13):

(2.13)

где - вектор плотности теплового потока.

Член внутреннего источника энергии может быть представлен в виде (2.14):

(2.14)

где - объемная плотность внутренних источников тепловыделения [Вт/м3].

Изменение внутренней энергии контрольного объема в единицу времени , может быть записано, принимая во внимание постоянство давления в контрольном объеме (2.15):

(2.15)

Уравнение теплопроводности

где – массовая плотность [кг/м3]; - удельная изобарная теплоемкость [Дж/(кг*К)]; – температура [К].

Подставляя (2.13)-(2.15) в уравнение первого начала термодинамики (2.12), получим (2.16):

(2.16)

Интеграл по замкнутой поверхности в правой части выражения (2.16) может быть преобразован в интеграл по объему согласно теореме Гаусса-Остроградского (2.17):

(2.17)

Подставляя выражение (2.17) в уравнение (2.16) и принимая во внимание, что операция интегрирования линейна, можем записать все слагаемые уравнения (2.16) под один интеграл (2.18):

(2.18)

Уравнение теплопроводности

Поскольку контрольный объем был выбран произвольно, интеграл (2.18) будет тождественно равен нулю, только в случае равенства нулю подынтегрального выражения. Таким образом, получим дифференциальную форму уравнения теплопроводности (2.19):

(2.19)

Применяя закон Фурье и перенося 2-е и 3-е слагаемые в правую часть, окончательно получим классическое уравнение теплопроводности (2.20):

(2.20)

Частные виды уравнения теплопроводности

Вобщем случае, коэффициент теплопроводности является некоторой функцией температуры

идавления. Однако, во множестве практических случаев коэффициент теплопроводности изменяется незначительно в рамках исследуемой задачи, что позволяет принять его постоянным

иравным среднему значению (2.21):

(2.21)

где и - границы исследуемых диапазонов температур.

В этом случае, коэффициент теплопроводности может быть заменен на свое среднее значение и вынесен за знак дивергенции в уравнении (2.20), в результате чего после деления на ненулевой множитель уравнение теплопроводности примет вид (2.22):

(2.22)

где – коэффициент температуропроводности [м2/с]. По своему физическому смыслу, коэффициент температуропроводности характеризует отношение временного изменения распределения температур к пространственному. В уравнении (2.22) - дифференциальный оператор Лапласа.

Частные виды уравнения теплопроводности

Если в рассматриваемой среде нет внутренних источников тепловыделения, то плотность внутренних источников тепловыделения равна нулю Вт/м3, и уравнение теплопроводности

принимает вид (2.23):

(2.23)

В общем случае, стационарное уравнение теплопроводности имеет вид (2.24):

(2.24)

В случае, если коэффициент теплопроводности можно считать постоянным, уравнение (2.24) принимает вид (2.25):

(2.25)

Наконец, если в теле отсутствуют внутренние источники тепловыделения, то уравнение (2.25) принимает наиболее простой вид (2.26):

(2.26)

Уравнение (2.26) не зависит от конкретной координатной системы. Виды оператора Лапласа и градиента для наиболее часто употребительных систем координат (декартова, сферическая и цилиндрическая) представлены в приложении.

Граничное условие 1-го рода

При решении задач теплопроводности наиболее часто встречаются 4 типа граничных условий.

Граничное условие 1-го рода

Граничное условие 1-го рода соответствует заданному на поверхности распределению

Однако, как правило, на внешней поверхности поддерживается постоянная температура , в результате чего граничное условие (2.27) упрощается:

(2.28)

Граничное условие 1-го рода также иногда называется условием Дирихле.

Граничное условие 2-го рода

Граничное условие 2-го рода

Граничное условие 2-го рода соответствует заданной на поверхности тела плотности теплового потока , которая, в общем случае, может изменяться со временем. Заданный на поверхности тепловой поток можно поставить в соответствие градиенту температур на

В выражении (2.29) обозначает дифференцирование по нормали к внешней поверхности . В случае, если заданная на поверхности плотность теплового потока постоянна , граничное условие упрощается:

(2.30)

Особый случай данного типа граничного условия реализуется при тепловой изоляции внешней поверхности среды (2.31):

(2.31)

Граничные условия вида (2.30)-(2.31) также называются условиями Неймана.

Граничное условие 3-го рода

Граничное условие 3-го рода

Граничное условие 3-го рода соответствует конвективному нагреву или охлаждению поверхности тела потоком жидкости (газа) с температурой . В этом случае, граничное условие формулируется на основе закона Фурье и закона охлаждения Ньютона-Рихмана:

(2.32)

где - коэффициент теплоотдачи [Вт/(м2*К)], который может зависеть от времени и координаты на поверхности тела. В большинстве практических случаев, температура охлаждающей (нагревающей) жидкости и коэффициент теплоотдачи на поверхности тела принимаются постоянными, что приводит к упрощению (2.32).

(2.33)

Сопряженный теплообмен

Ещё одним распространенным типом граничных условиях является сопряженный теплообмен, который также иногда называют граничным условием 4-го рода. Такой тип граничного условия возникает на поверхности контакта двух сред с различными теплофизическими свойствами.

Существуют два подтипа сопряженного теплообмена:

1.Сопряженный теплообмен при идеальном контакте. В этом случае, температуры сред на поверхности контакта считаются равными. Из закона сохранения энергии следует равенство тепловых потоков в двух средах на поверхности контакта. В результате граничное условие описывается следующей системой:

(2.34а)

(2.34б)

Индексы 1 и 2 в (2.34) указывают на первую и вторую среду соответственно.