МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ

ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

«НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ЯДЕРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ «МИФИ»

ИНСТИТУТ ЯДЕРНОЙ ФИЗИКИ И ТЕХНОЛОГИЙ КАФЕДРА «ТЕПЛОФИЗИКИ»

Курс лекций «Основы теории тепломассообмена»

Лекция №2. Процесс стационарной теплопроводности

Москва 2026

Курс лекций «Основы теории тепломассообмена».

Уравнение Фурье

Тепловые процессы в окружающем пространстве сопровождаются переносом энергии. Это означает, что данный процесс можно описать, причем как качественно, так и количественно.

Для вывода закона, описывающего перенос тепла, вспомним некоторые положения молекулярно-кинетической теории.

Локальная температура тела T связана с локальной средней скоростью движения частиц в теле v (2.1):

(2

где m – масса частицы, k – постоянная Больцмана.

Пусть в некотором объеме вещества содержится N молекул, а их объемная концентрация при этом – n.Тогда можно записать, что полная внутренняя энергия этих частиц может быть записана как (2.2):

(2

где M = Nm – суммарная масса частиц, а - энергия единицы массы вещества.

Уравнение Фурье

Поток тепла – количество теплоты, переносимое в единицу времени через единичную поверхность, помещенную в данную точку вещества.

Возьмем некоторый объем вещества и выделим в нем плоскую площадку единичной величины, перпендикулярную оси х:

Частицы, движущиеся вдоль оси х, пересекают ее справа налево и слева направо с равной вероятностью. Однако если температуры частиц (а, следовательно, и их кинетические энергии) разную по правую и левую стороны площадки, то в единицу времени через нее справа и слева переносятся разные энергии. Разность этих энергий и формирует поток тепла вдоль оси х.

Уравнение Фурье

Выделим области, отстоящие на расстоянии = v от площадки справа и слева ( - длина свободного пробега частиц). Из частиц, находящихся в правой области, примерно 1/6 часть движется налево, так как все шесть направлений (вверх – вниз, вперед – назад, направо – налево) равновероятны. За время эта часть частицы, пересекающие площадку слева направо и справа налево перенесут энергию, равную, соответственно (2.3):

(2.

где vл, vп - скорости частиц в левой и правой областях (величины n и считаются в первом приближении равными по обе стороны площадки).

Уравнение Фурье

Разность этих энергий дает величину потока энергии через площадку х0 (2.4):

(2.4

Пусть удельная внутренняя энергия в точке x0 равна . Тогда удельную энергию слева и справа от площадки можно выразить (2.5):

(2.5

Уравнение Фурье

В предыдущем выражении с – удельная теплоемкость вещества, равная (2.6):

(2

В итоге, выражение для теплового потока получается выражение (2.7):

(2.7)

Уравнение Фурье

Учитывая, что плотность вещества может быть выражена как ρ = mn, получаем (2.8):

(2

где = ρс v/3 – коэффициент теплопроводности.

Учитывая, что по другим направлениям поток записывается аналогично, получаем запись

закона Фурье (2.9):

(2.9)

Уравнение Фурье

Закон Фурье количественно описывает механизм переноса тепла в веществе. Совместно со вторым началом термодинамики постулируется и направление передачи тепла – от более нагретых областей вещества – к менее нагретым.

Аналогичный вид имеет ряд других законов переноса.

Закон передачи импульса

При течении жидкости течёт в направлении x параллельно твёрдой поверхности, жидкость имеет направленный по x импульс, а его концентрация равна ρvx . Путем случайной диффузии

молекул происходит обмен молекулами в z-направлении. Следовательно, импульс, направленный по оси x, был передан в направлении оси z от более быстро движущегося слоя к более медленному слою. Уравнение переноса импульса — это закон вязкости Ньютона, записанный следующим образом (2.10):

(2.

где - кинематическая вязкость жидкости, а = ρ – динамическая вязкость.

Уравнение Фурье

Уравнение диффузии вещества

В системе, содержащей два или более компонента, концентрация которых варьируется от точки к точке, наблюдается тенденция к переносу массы, сводя к минимуму любую разницу концентраций внутри системы. Массоперенос в системе регулируется Первым законом Фика (2.11): «Диффузионный поток от более высокой концентрации к более низкой концентрации пропорционален градиенту концентрации вещества и коэффициенту диффузии вещества в среде». Перенос массы может происходить за счёт разных сил:

Масса может передаваться под действием градиента давления (диффузия давления). Принудительная диффузия происходит из-за действия некоторой внешней силы Диффузия может быть вызвана температурными градиентами (термодиффузия). Диффузия может быть вызвана различиями в химическом потенциале.

(2.

где D – коэффициент диффузии.

Уравнение теплопроводности

Главной задачей теории теплопроводности является определение поля температур в вещественной среде с учетом условий заданных на внешних границах среды.

Получим уравнение, позволяющее определить распределение температур в теле при заданных граничных и начальных условиях. Это уравнение называется уравнением теплопроводности. При выводе уравнения теплопроводности предполагается, что единственным механизмом переноса тепла в рассматриваемой среде является теплопроводность.

Также, будут получены обобщения уравнения теплопроводности для быстропротекающих процессов и анизотропной среды.

В дополнение к найденному уравнению будут рассмотрены наиболее типичные виды граничных и начальных условий.