UMK1
.pdf
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
"УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЯНОЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ" (УГНТУ)
Кафедра математики
УЧЕБНО – МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС
дисциплины «Математика»
________________________________________________________________________________
РАЗДЕЛ 1 «ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА»
Теоретические основы Методические указания для студентов Материалы для самостоятельной работы студентов
Уфа 2010
ИНФОРМАЦИЯ ОБ АВТОРАХ ИНФОРМАЦИЯ О РЕЦЕНЗЕНТАХ АННОТАЦИЯ 1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ 1.1. Матрицы
1.1.1. Определение матрицы
1.1.2. Виды матриц
1.1.3. Равенство матриц
1.1.4. Сложение матриц 1.1.5. Умножение матриц на число 1.1.6. Умножение матриц
1.2. Определители 1.2.1. Определители второго порядка и их свойства
1.2.2. Определители третьего порядка 1.2.3. Определители n-го порядка
1.3. Обратная матрица
1.4. Ранг матрицы
1.5. Системы линейных уравнений
1.5.1. Основные понятия 1.5.2. Решение систем линейных уравнений. Теорема Кронекера –
Капелли 1.5.3. Формулы Крамера. Матричный способ решения систем
линейных уравнений 1.5.4. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса
1.6. Элементы векторной алгебры 1.6.1. Скалярные и векторные величины
1.6.2. Линейные операции над векторами 1.6.3. Угол между векторами. Проекция вектора на ось 1.6.4. Линейная комбинация векторов. Базис
1.6.5. Прямоугольная декартова система координат 1.6.6. Линейные операции над векторами, заданными в
координатной форме 1.6.7. Скалярное произведение векторов
1.6.8. Векторное произведение векторов
1.6.9. Смешанное произведение векторов
2. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ДЛЯ СТУДЕНТОВ
2.1. Алгебраические операции над матрицами
2.2. Вычисление определителей второго, третьего и n-го порядка 2.3. Обратная матрица. Ранг матрицы 2.4. Решение систем линейных алгебраических уравнений по формулам Крамера и матричным способом
2.5. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса (методом исключения неизвестных)
2.6. Векторы и действия над ними
2.7. Скалярное произведение векторов
2.8. Векторное произведение векторов 2.9. Смешанное произведение векторов
3. МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ СТУДЕНТОВ
3.1. Контрольные вопросы 3.2. Задачи и упражнения для самостоятельной работы 3.3. Расчетные задания 3.4. Лабораторная работа 3.5. Литература
АВТОРЫ:
Бахтизин Р.Н., Шамшович В.Ф., Ковалева Э.А., АкмадиеваТ.Р., Аносова Е.П., Байрамгулова Р.С., Галиуллин М.М., Галиева Л.М., Галиакбарова Э.В., Гимаев Р.Г., Гудкова Е.В., Егорова Р.А., Жданова Т.Г., Зарипов Э.М., Зарипов Р.М., Исламгулова Г.Ф., Майский Р.А., Мухаметзянов И.З., Нагаева З.М., Савлучинская Н.М., Сахарова Л.А., Степанова М.Ф., Сокова И.А., Сулейманов И.Н., Умергалина Т.В., Фаткуллин Н.Ю., Хайбуллин Р.Я., Хакимов Д.К., Хакимова З.Р., Чернятьева М.Р., Юлдыбаев Л.Х., Якубова Д.Ф., Якупов В.М., Янчушка А.П., Яфаров Ш.А.
8 – (347)2428715
E-mail: kafedra-matematiki@rambler.ru
РЕЦЕНЗЕНТЫ:
Кафедра программирования и вычислительной математики Башкирского государственного педагогического университета.
Заведующий кафедрой д. ф.-м. наук, профессор Р.М. Асадуллин. Кафедра вычислительной математики Башкирского государственного
университета.
Заведующий кафедрой д. ф.-м. наук, профессор Н.Д. Морозкин.
АННОТАЦИЯ
Учебно-методический комплекс дисциплины «Математика». Раздел 1 «Линейная и векторная алгебра». Теоретические основы. Методические указания для студентов. Материалы для самостоятельной работы студентов.
В разделе «Теоретические основы» и «Методические указания для студентов» содержатся необходимые для изучения дисциплины «Математика», в объеме, предусмотренном ГОС для технических вузов, теоретический материал, способы и методы решения практических задач.
Раздел «Материалы для самостоятельной работы студентов» включает в себя: контрольные вопросы, задачи и упражнения для самостоятельной работы, расчетные задания, лабораторные работы, литературу.
Представлен перечень контрольных вопросов для контроля знаний, полученных студентами при изучении теоретических и методических основ дисциплины. Задачи и упражнения для самостоятельной работы студентов позволяют учащимся индивидуально во внеурочное время контролировать уровень усвоения материала по данной дисциплине.
Расчетные задания содержат задания для студентов, позволяющих отработать навыки решения задач практического содержания.
В разделе «Лабораторная работа» представлен теоретический материал, последовательность проведения лабораторной работы и данные для проведения лабораторной работы по вариантам.
При изучении дисциплины обеспечивается фундаментальная подготовка студента в области применения математики, происходит знакомство со стержневыми проблемами прикладной математики, базовыми приложениями, навыками и понятиями, обязательными для прочного усвоения последующих дисциплин и практического использования полученных знаний в решении конкретных задач, которые ставятся перед инженером.
Учебно-методический комплекс разработан для студентов, обучающихся по всем формам обучения по направлениям подготовки и специальностям, реализуемым в ГОУ ВПО УГНТУ.
© Уфимский государственный нефтяной технический университет, 2010
УЧЕБНО – МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС
РАЗДЕЛ 1 «ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА»
1. Теоретические основы
1.1МАТРИЦЫ
1.1.1Определение матрицы
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.1 Прямоугольная таблица, составленная из m × n чисел, называется матрицей из m строк и n столбцов размера m ´ n . Для обозначения матрицы применяются круглые скобки и прописные буквы А, В,
С.....
a |
11 |
a |
12 |
K a |
1n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
a |
21 |
a 22 |
K a 2n |
|
(1.1) |
|||
Например, A = |
K |
K |
K K |
|
||||
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
a m2 |
|
|
|
|
|
a m1 |
K a mn |
|
||||||
есть общий вид записи матрицы из m × n чисел.
Числа a11 , a12 ,K, a mn , составляющие матрицу, называются ее элементами.
Горизонтальные ряды матрицы называются строками матрицы, вертикальные - столбцами.
Индексы i и j у элемента a ij , где i = 1,2,...m; |
j = 1,2,..., n, |
означают, что этот элемент расположен в i-й строке и j-м столбце.
Например, элемент a 23 расположен во второй строке, в третьем
столбце.
Наряду с обозначением (1.1) матрица обозначается также в форме
A = (a |
ij |
) , где i = 1,2,K, m, j = 1,2,K, n |
(1.2) |
|
m×n |
|
1.1.2 Виды матриц
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.2 Матрица, у которой число строк равно числу ее столбцов называется квадратной матрицей. При этом число ее строк (столбцов) называется порядком матрицы.
1 |
3 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
Например, матрица A = 2 |
0 |
5 |
есть квадратная матрица третьего |
|
|
1 |
− 3 |
7 |
|
|
|
|||
порядка.
Квадратная матрица n-го порядка записывается в виде
a |
11 |
a |
12 |
K |
a |
1n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
a |
21 |
a 22 |
K |
a 2n |
|
(1.3) |
|||
A = |
K |
K |
K K |
|
|||||
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
a n 2 |
|
|
|
|
|
|
a n1 |
K |
a nn |
|
||||||
В квадратной матрице (1.3) числа |
a11 , a 22 ,K, a nn образуют главную |
||||||||
диагональ матрицы, а числа a n1 , a (n−1)2 ,K, a1n − побочную диагональ. |
|
||||||||
Квадратная матрица, у которой |
|
все числа, не стоящие на главной |
|||||||
диагонали, равны нулю, называется диагональной матрицей. |
|
||||||||
Например, матрица |
|
|
1 |
0 |
есть диагональная матрица |
второго |
|||
A = |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
5 |
|
|
|
порядка.
Диагональная матрица, у которой все элементы главной диагонали равны единице, называется единичной матрицей. Единичную матрицу обозначают прописной буквой Е.
1 |
0 |
Например, матрица E = |
есть единичная матрица второго |
|
|
0 |
1 |
порядка. |
|
Матрица, состоящая только из одной строки, называется матрицей- строкой, состоящая только из одного столбца матрицей - столбцом.
Например, матрица А=(2 0 5 4) есть матрица - строка.
Матрица AT называется транспонированной |
по отношению к |
||||||||
матрице А, если столбцы (строки) матрицы |
A являются |
||||||||
соответствующими строчками (столбцами) матрицы |
AТ . |
||||||||
Например, если матрица |
A равна |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
5 |
4 |
|
|
2 |
|
1 |
||
A |
Т = |
|
5 |
|
|
|
|||
A = |
|
, то |
|
0 . |
|||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
3 |
|
|
|
4 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1.1.3 Равенство матриц
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.3 Две матрицы А и В называются равными (A=B),
если они имеют одинаковые размеры и равные соответствующие элементы. Например, если
1 |
2 |
|
b |
|
b |
|
|
|
A = B , то |
b = 1, b |
|
= 2, |
A = |
|
, B = |
11 |
|
12 |
|
и |
12 |
||||
|
4 |
|
|
|
b |
|
|
|
|
11 |
|
|
3 |
|
b21 |
22 |
|
|
|
|
|
||||
b21 = 3, b22 = 4.
1.1.4 Сложение матриц
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.4 Пусть даны матрицы A = (a ij ) и B = (bij ),
имеющие одинаковые размеры m × n .
Суммой матриц А и В называется матрица С = A+B тех же размеров m × n , что и заданные матрицы, элементы которой cij определяются правилом
cij = a ij + bij для всех i = 1,2,K, m, j = 1,2,K, n .
1 |
0 |
3 |
4 |
4 |
Например, если A = |
, B = |
, то |
C = A + B = |
|
|
|
|
|
|
5 |
4 |
-1 |
2 |
4 |
4
6
Нетрудно проверить, что сумма матриц подчиняется переместительному и сочетательному законам, т.е. A + B = B + A и (A + B) + C = A + (B + C)
1.1.5 Умножение матриц на число
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.5 Произведением матрицы A = (a ij ) размеров m × n на число λ называется матрица B = (bij ) тех же размеров, что и матрица А, элементы, которой определяются правилом bij = λ a ij для всех i = 1,2,K, m; j = 1,2,K, n
2 |
− 5 |
|
λ = 3, то |
6 |
Например, если A = |
|
и |
B = λA = |
|
|
1 |
|
|
|
4 |
|
|
12 |
− 15
3
Умножение матрицы на число подчиняется закону λ(μA) = (λμ)A , где λ и μ − числа.
1.1.6 Умножение матриц
Пусть заданы матрица А размеров m × n и матрица В размеров n × p , т.е. такие, что число столбцов первой равно числу строк второй матрицы. Выберем строку с номером i из матрицы А и столбец с номером j из матрицы В.
Умножим каждый элемент |
a i1 , a i2 ,K, a in |
выбранной |
строки на |
соответствующий элемент |
b1j , b 2 j ,K, b nj выбранного столбца |
и сложим |
|
полученные произведения, т.е. составим сумму |
|
|
|
n
cij = a i1b1j + a i2 b 2 j + K + a in b nj = ∑ a ik b kj (1.4) k=1
Вычислим такие суммы для всех i = 1,2,K, m, и всех j = 1,2,K, p и из
полученных m × p чисел составим матрицу C = (cij ).
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.6 Произведением матрицы А размеров m × n на матрицу В размеров n × p называется матрица C = A × B размеров m × p ,
элементы cij которой определяются по формуле (1.4) для всех i = 1,2,K, m, и
всех j = 1,2,K, p .
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
a |
|
|
|
|
b |
|
b |
|
|||||
ПРИМЕР 1.1 Даны A = |
|
|
11 |
|
|
|
|
12 |
и B |
= |
|
11 |
|
12 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a 21 |
|
a 22 |
|
|
b21 |
22 |
||||||||||
Так как число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В, то |
||||||||||||||||||||||||
произведение A × B определено и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
a |
11 |
b |
11 |
+ a |
12 |
b |
21 |
|
|
a |
11 |
b |
12 |
+ a |
12 |
b |
|
|
|
|
|
|||
A × B = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
22 . |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
21b12 + a 22 b |
|
|
|
|
|
|||||||
a 21b11 + a 22 b21 |
|
|
22 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
2 |
|
|
|
2 |
1 |
3 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
A = |
|
4 |
|
|
|
B = |
|
|||||||||||
ПРИМЕР 1.2 |
|
Даны |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
1 , |
|
|
|
. |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
|
|
|
|
4 |
0 |
1 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Решение. Матрица А имеет два столбца, В - две строки; следовательно, |
||||||||||||||||||||||||
A × B определено. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 × 2 + 2 × 4 3 ×1 + 2 × 0 |
|
|
3 ×3 + 2 ×1 |
|
14 |
3 11 |
||||||||||||||||||
|
× 2 |
|
+1× 4 4 ×1 +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
A × B = 4 |
|
× 0 4 × 3 +1×1 |
= 12 |
4 13 |
||||||||||||||||||||
|
|
|
+ 0 × 4 1×1 + 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
1× 2 |
× 0 1× 3 + 0 ×1 |
|
|
2 1 3 |
||||||||||||||||||||
ПРИМЕР 1.3 |
|
Даны квадратная матрица А порядка n и матрица - столбец |
||||||||||||||||||||||
В размеров n ´1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение.
a |
11 |
|
|
|
|
a |
21 |
|
A × B = |
K |
|
a n1
a12 |
K a1n |
|
a 22 |
K a 2n |
|
K K |
K |
|
a n 2 |
K |
a nn |
b |
11 |
|
a |
11 |
b |
11 |
+ a |
12 |
b |
21 |
+K + a |
1n |
b |
n1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
b |
21 |
|
a |
21b11 + a 22 b21 + K + a 2n bn1 |
|
|||||||||||
× |
K |
|
= |
KKKKKKKKKK |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
+ a n 2 b21 |
+K + a nn bn1 |
|
||||||
bn1 |
|
a n1b11 |
|
|||||||||||||
Из примера следует, что произведение квадратной матрицы на матрицу-
столбец есть матрица-столбец. |
Аналогично проверяется, что произведение |
|
матрицы-строки размеров |
1´ n |
на квадратную матрицу порядка n есть |
строчная матрица размеров |
1´ n . |
|