Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Уфимский Государственный Нефтяной Технический Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

UMK1

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

17.03.2015

Размер:

2 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 126 7 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

Используя распределительный закон скалярного произведения, получим

ab = (x1 i + y1 j + z1 k)(x 2 i + y2 j + z 2 k)= x1x 2 ii + x1y2 i j + x1z 2 ik + + y1x 2 i j + y1y2 jj + y1z2 jk + z1x 2 ki + z1 y2 k j + z1z 2 kk =

= x1x 2 + y1 y 2 + z1z 2

Итак, если векторы

a и b заданы своими координатами, то

= x1x 2 + y1 y2 + z1z 2 .

(1.57)

ϕ = π , то

= 0 или

Следствие 1.

Если

x1x 2 + y1 y2 + z1z 2 = 0.

(1.58)

Условие (1.58) называется условием перпендикулярности двух

векторов,

Следствие 2. Так как

cos ϕ,то

2 + y1y2 + z1z 2

x1x

cos ϕ =

(1.59)

x12 + y12 + z12

x 2 2 + y2 2 + z 2 2

ПРИМЕР 1.25 Вычислить работу по перемещению материальной точки вдоль отрезка, из точки B(1;−2;3) в точку С(3;4;2) под действием постоянной

по величине и направлению силы F = {2;1;5}.

Решение. Из курса физики известно, что работа A , совершаемая при указанных в примере условиях, находится по формуле A = F S = F BC. Так

как BC ={2;6;−1}, F = {2;1;5}, то
A = FBC = 2 2 +1 6 + 5 (−1) = 5.	Ответ: 5.

ПРИМЕР 1.26 Даны вершины треугольника A(−1;−2;4), B(−4;−2;0) и C(3;−2;1) . Определить внутренний угол треугольника при вершине B (рис. 1.19).

Рис. 1.19

Решение. Построим векторы BA и BC . Имеем

BA = {3;0;4}, BC = {7;0;1} . Тогда

i × j = k .

3 7 + 0 0 + 4 1

BABC

cos ϕ = cos BA , BC

9 + 0 +16 49 + 0 +1

ϕ = π .

Ответ: π.

Из приведенных примеров следует, что скалярное произведение векторов широко применяется в геометрии при поиске величин углов, в физике - при определении работы.

1.6.8 Векторное произведение векторов

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.37 Векторным произведением вектора a на вектор

bназывается вектор c , удовлетворяющий условиям:

1)длина вектора c численно равна площади параллелограмма,

построенного на векторах a и b как на сторонах, т.е.

sin a , b ;

2)вектор c перпендикулярен обоим векторам a и b ;

3)вектор c направлен в ту сторону, что если смотреть из его конца вдоль вектора, то кратчайший поворот вектора а к вектору b виден совершающимся против движения часовой стрелки. Векторное произведение вектора a на

вектор b обозначаемся символом a × b .

Введем декартовую систему координат и рассмотрим векторные произведения единичных векторов i, j, k . Покажем, что

Действительно, если c = i × j, то по определению векторного произведения:

1) c = i j sin i

	= sin	π	= 1	=
					k	;
, j
		2

2)c i, c j. Но и k i, k j.

3)если смотреть с конца вектора c или k , то кратчайший поворот

вектора i к вектору j виден происходящим против движения часовой стрелки (рис. 1.20).

Рис. 1.20

Итак, c = k . Следовательно, i × j = k.
Аналогично доказывается, что
j×i = −k, j× k = i, k ×i = j, i × k = − j,
i ×i = 0, j× j = 0, k × k = 0	(1.60)

Повторив вышеприведенные рассуждения для произвольных векторов a

иb можно убедиться, что векторное произведение обладает свойствами:

1)a × b = −(b × a);

2)λ(a × b)= (λa )× b = a × (λb) для λ R;

3)a × a = 0;

4)a × b = 0 , если a = λb или хотя бы один из векторов есть нулевой

вектор;

5) a × (b + c)= a × b + a × c.

Найдем выражение для векторного произведения векторов, заданных своими координатами. Пусть a = {x1; y1; z1}, b = {x 2 ; y2 ; z 2 }.Тогда, согласно

свойствам 2,3,4 и равенствам (1.60), получим

a × b = (x1 i + y1 j + z1 k)× (x 2 i + y2 j + z 2 k) = x1x 2 i × i + x1y2 i × j +

+ x1z 2 i × k + x 2 y1 j× i + y1y2 j× j + y1z 2 j× k + x 2 z1 k × i + y2 z1 k × j + + z1z 2 k × k = x1y2 k − x1z 2 j − x 2 y1 k + y1z 2 i + x 2 z1 j − y2 z1 i =

= (y1z 2 − y2 z1 )i − (x1z 2 − x 2 z1 )j + (x1y2 − x 2 y1 )k =

−

j +

z 2

x 2

z 2

x 2

z 2

Итак, если a = {x1; y1; z1}, b = {x 2 ; y2 ; z 2 }, то

(1.61)

x 2

z 2

= {3;2;−4} приложена к точке M(2;−1;1) .

ПРИМЕР

1.27

Сила

Определить момент силы относительно начала координат.

Решение. Пусть точка A есть некоторая точка R 3 . Моментом силы F,

приложенной к точке M , относительно точки A называется вектор AM × F .

По условию

= {2;−1;1},

= {3;2;−4}.

Тогда, согласно формуле

(1.61), получим

−1

Ответ:{2;11;7}.

= 2i

+11j + 7k .

− 4

ПРИМЕР 1.28

Даны вершины треугольника A(1;2;0), B(3;0;−3) и

C(5;2;6). Вычислить площадь этого треугольника.

Решение. Найдем векторы AB, AC (рис. 1.21). Имеем:

Рис. 1.21

= {2;−2;−3},

= {4;0;6}.

равен площади параллелограмма ABCD , то

Так

как

площадь S треугольника ABC найдется по формуле

S =

− 2

− 3

−12i

− 24

j + 8k

122 + (−24)2 + 82

= 14.

874

Ответ: 14

a × b = d , затем -

Из приведенных примеров следует, что векторное произведение в геометрии применяется при определении площадей многоугольников, в механике - при вычислении моментов.

1.6.9 Смешанное произведение векторов

Пусть даны три вектора a, b, c . Так как для векторов введены два вида произведений - скалярное и векторное, то для трех векторов относительно операции умножения существуют следующие виды произведений:

1)двойное векторное произведение, т.е. произведение, в котором вначале находится векторное произведение двух из заданных векторов, затем векторное произведение полученного вектора на третий из данных векторов.

Например, вначале находится векторное произведение a × b = d , затем -

векторное произведение d × c = (a × b) × c ;

2)смешанное произведение, т.е. произведение, в котором вначале находится векторное произведение двух из заданных векторов, затем скалярное произведение полученного вектора на третий из данных векторов.

Например, вначале находится векторное произведение скалярное произведение d c = (a × b) c .

Двойное векторное произведение обозначается в форме (a × b) × c или в

форме a × b × c.

Ясно, что результатом двойного векторного произведения является вектор.

Смешанное или иначе векторно-скалярное произведение обозначается символом (a × b) c или символом abc . Результатом смешанного произведения является число.

Пусть требуется определить смешанное произведение векторов, если известны координаты этих векторов

a = {x1; y1; z1}, b = {x 2 ; y2 ; z 2 }, c = {x 3 ; y3 ; z3 }.

Вычислим предварительно

d. Имеем

−

j +

x 2

z 2

x 2

z 2

x 2

Воспользовавшись формулой (1.57), найдем

x 3 −

y3 +

z3 .

= (a

z 2

x 2

z 2

x 2

Полученное равенство, согласно теореме о разложении определителя по элементам строки, можно переписать в форме

(				)			x1		y1	z1
(	a	×	b	)	c	=	x	2	y2	z 2	(1.62)
							x	3	y3	z3

Формула (1.62) дает выражение для смешанного произведения в координатной форме. Заметим, что в этой формуле координаты векторов

a, b, c записаны соответственно в первой, второй и третьей строках определителя.

Покажем, что для смешанного произведения векторов справедливы равенства

(

)

= (

)

= (

)

= −(

)

= −(

)

= −(

)

(1.63)

Проверим, например, справедливость равенства (

)

= −(

)

Согласно

формуле (1.62) имеем

(

)

x 2

z 2

x 3

Как известно, при перестановке двух определителя меняется на противоположный. предыдущего равенства на (−1) , получим

− (

)

x 2

z 2

= −

x 2

x 3

Итак, (a × b)c = −(b × a)c.

срок определителя знак Тогда, умножая обе части

z 2 = (a × b)c. z3

Формулы (1.63) проще всего запомнить с помощью правила круговой перестановки векторов, сущность которого пояснена на рис.1.22 и 1.23.

Рис .1.22

Рис .1.23

Рис. 1.25

Рис. 1.26

Выясним геометрический

смысл смешанного произведения векторов

(a × b)c . Отложим векторы a, b, c от общего начала и построим на этих векторах, как на ребрах, параллелепипед (рис.1.24).

Рис. 1.24 Рис. 1.27

Пусть a × b = d . Тогда, согласно определения векторного произведения

векторов, модуль вектора d равен площади S параллелограмма, построенного на векторах a, b как на сторонах. Следовательно,

(a × b)c =

cos ϕ = S

cos ϕ, где ϕ = d , c

Обозначим через h высоту параллелепипеда, опущенную из конца

вектора c на рассматриваемый параллелограмм, и выясним смысл

cos ϕ.

произведения

Вектор

перпендикулярен

плоскости

параллелограмма, тогда

cos ϕ = h, если 0 ≤ ϕ < π

cos ϕ = −h , если

π ≤ ϕ < π.

Следовательно, если V есть объем параллелепипеда, то

(

)

cos ϕ = S h = V , если

0 ≤ ϕ < π и

(

)

cos ϕ = S(−h) = −V ,если π ≤ ϕ < π.

(

)

Итак, (

)

= ±V или

= V

(1.64)

Равенство (1.64) означает, что модуль смешанного произведения трех векторов равен объему параллелепипеда, построенного на этих векторах как на ребрах.

Следствие (условие компланарности трех векторов). Для того, чтобы три вектора a, b, c были компланарны, необходимо и достаточно, чтобы их смешанное произведение равнялось нулю, т.е. (a × b)c = 0 или в координатной

форме

x1	y1	z1
x 2	y2	z 2	= 0	(1.65)
x 3	y3	z3

Необходимость. Пусть

векторы

a, b, c компланарны. Тогда

вектор

перпендикулярен

плоскости,

в которой расположены

данные

векторы, следовательно, перпендикулярен вектору c. Поэтому

cos π = 0. Следовательно, (

)

= 0.

Достаточность. Пусть векторы

a, b, c таковы, что (a × b)c = 0.

Если предположить, что векторы не компланарны, то на них можно построить параллелепипед с объемом V ≠ 0. Но, согласно формуле (1.64)

V =						(						×			)					. Следовательно,													(			×		)			≠ 0 или,					(		×		)			≠ 0 , что противоречит

								a					b				c																	a			b			c							a		b			c
исходному утверждению.
							ПРИМЕР 1.29																			Вычислить объем треугольной пирамиды с вершинами в
точках A(2;−1;1), B(5;5;4), C(3;2;−1), D(4;1;3).
							Решение. Построим три вектора
				= {3;6;3},																					= {1;3;−2},										= {2;2;2}с общим началом точкойA . На этих
	AB			= {3;6;3},																		AC			= {1;3;−2},						AD				= {2;2;2}с общим началом точкойA . На этих
векторах,															как на											ребрах,						построим											параллелепипед. Его объем равен
	(								×					)									. Объем пирамиды																		V
	(	AB							×	AC				)		AD							. Объем пирамиды																		V		составляет									шестую				долю объема

параллелепипеда. Следовательно,
										(														)						3		6							3					1	2	1								1	2	1
																														3		6							3					1	2	1								1	2	1
V =							1											×									=	1	\|	1 3 − 2												\|=\|		1 3 − 2							\|=\|			1 3 − 2			\|=
							1				AB										AC				AD			1
											AB										AC				AD
					6																						6			2		2							2					1	1	1								0	−1 0
					6																						6

=\|			1		1							\|=							−3				= 3.																Ответ: 3


			1					−2
			1					−2

Из геометрического смысла смешанного произведения векторов и рассмотренного примера следует, что оно широко используется при вычислении объемов любых многогранников.

УЧЕБНО - МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС

РАЗДЕЛ 1 «ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА»

2. МЕТОДИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ

2.1 АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ НАД МАТРИЦАМИ

3		5	7		1		2	4
		-1
ПРИМЕР 2.1 Даны матрицы A = 2		-1	0	и	B = 2		3	- 2
	4	3	2			-1 0		1
	4	3	2			-1 0		1

Найти: а) A + 3 × B , б) 2 × B - AT , в)					A × B
Решение.
		3 + 3 ×1	5 + 3 × 2			7 + 3 × 4		6	11 19

а) A + 3 × B = 2 + 3 × 2			(-1) + 3 ×3 0 + 3 ×(- 2) =					8	8 - 6 ;
	4	+ 3 ×(-1)	3 + 3 × 0			2 +		1
	4	+ 3 ×(-1)	3 + 3 × 0			2 +	3 ×1	1	3 5
		2 ×1	2 × 2	2 × 4		3 2 4
б) 2 × B - AT =			2 ×3				-1 3	=
б) 2 × B - AT =	2 × 2		2 ×3	2 ×(- 2)		- 5	-1 3	=
		2 ×(-1)	2 × 0	2 ×1
		2 ×(-1)	2 × 0	2 ×1		7 0 2

2 - 3		4 - 2	8 - 4	-1 2			4
		6 - (-1)			-1
= 4 - 5			- 4 - 3	=		7	- 7 ;
	- 2 - 7	0 - 0	2 - 2		- 9	0	0

в) A3×3 × B3×3 =
	3 ×1 + 5 × 2 + 7 ×(-1)			3 × 2 + 5 ×3 + 7 × 0	3 × 4 + 5 × (- 2) + 7 ×1
	×1 + (-1)× 2 + 0 × (-1)			2 × 2 + (-1)×3 + 0 ×		=
= 2	×1 + (-1)× 2 + 0 × (-1)			2 × 2 + (-1)×3 + 0 ×	0 2 × 4 + (-1)×(- 2)+ 0 ×1	=
	4 ×1 + 3 × 2 + 2 × (-1)			4 × 2 + 3 ×3 + 2 × 0
	4 ×1 + 3 × 2 + 2 × (-1)			4 × 2 + 3 ×3 + 2 × 0	4 × 4 + 3 × (- 2) + 2 ×1
6	21	9

= 0	1	10	.
	17	12
8	17	12

3	5	2	3
ПРИМЕР 2.2 Даны матрицы A =		и B =		. Проверить
			- 2
4	1	1	- 2

справедливость свойства (A × B ¹ B × A).
		Решение.								3 × 2 + 5 ×1 3 ×3 + 5 ×(- 2)				-1
A		× B			3 5		2	3		3 × 2 + 5 ×1 3 ×3 + 5 ×(- 2)			11	-1
A	2×2	× B	2×2	=			×			=			=
	2×2		2×2					-
					4 1		1	-	2	4 × 2 +1×1	4 ×3 +1×(- 2)		9	10
B		2 3				3	5		2 ×3 + 3 × 4		2 ×5 + 3 ×1		18 13
B	× A =					×		=				=		.

		1		- 2		4	1	1×3 + (- 2)× 4 1×5 + (- 2)×1					- 5 3

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 126 7 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
15.11.2019705.02 Кб17Uchebnoe_posobie_ET_chast_1.doc
#
17.03.20153.41 Mб286Uchebnoe_posobie_GIS_elektrichesky_karotazh.pdf
#
26.09.201936.66 Mб67Uch_posobie_Nurutdinova_R_G.doc
#
17.03.20152.89 Mб92Uch_posobie_Nurutdinova_R_G.pdf
#
17.03.201534.76 Mб643Uch_pos_GiK_Nov (2).doc
#
17.03.20152 Mб26UMK1.pdf
#
17.03.2015308.74 Кб16UMK_Ist_Ros_dlya_neftyanogo.doc
#
23.11.201932.4 Mб8UMP_dlya_ES09_UGNTU_2011.doc
#
17.03.2015449.54 Кб14UMP_po_grammatike_Chast_1 англ.doc
#
17.03.2015586.24 Кб17UMP_po_grammatike_Chast_2англ.doc
#
17.03.2015954.88 Кб438UMP_po_kach_kislotno_osnovnomu_analizu2008.doc