UMK1

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Уфимский Государственный Нефтяной Технический Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

ПРИМЕР 2.5 Вычислить определитель D =

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

17.03.2015

Размер:

2 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 127 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

11	-1		18	13	= B × A.
Итак, A × B =		¹			= B × A.
			- 5
9	10		- 5	3

ПРИМЕР 2.3 Вычислить матрицу D = A × B - C2 , где
	3 4 2			2		0				1		0
	3 4 2									1		0
A =		,	B = 1 3				, C		=
	1 0 5			0		5				0		4
				0		5
			3		4 2			2		0		1	3 1			3
			3		4 2						-	1	3 1			3	=
Решение. D =								× 1		3	-				×		=
			1		0 5			0		5		0	4		0	4
								0		5
3 × 2 + 4 ×1 + 2 × 0				3 × 0 + 4 ×3 + 2 ×5							1×1 + 3 × 0					1×3 + 3 × 4		=
=										-								=
1× 2 + 0 ×1 + 5 × 0 1× 0 + 0							×3 + 5 ×5				0 ×1		+ 4 × 0 0 ×3 + 4 × 4
10	22	1 15			10 -1				22 -15				9 7
=	-			=								=			.
2	25	0 16			2 - 0				25 -16				2 9
						1	1 n
ПРИМЕР 2.4 Найти:

						0	1					1 1 n − 2
			1 1 n		=	1 1				1 1		1 1 n − 2				=
Решение.					=			×				×				=

			0 1			0 1				0 1 0 1
1×1 +1× 0		1×1 + 1×1 1 1 n − 2									1 2		1 1 n − 2
=						×				=				×			=
	1 +1× 0 0 ×1 +1×
0 ×	1 +1× 0 0 ×1 +1×				1 0 1						0 1		0 1
1	2 1 1 1 1 n −3							1		3 1 1 n −3							1 n
=	×		×				=			×					= ... =		.

0	1 0 1 0 1							0		1 0 1							0 1

2.2 ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ ВТОРОГО, ТРЕТЬЕГО И N-ГО ПОРЯДКА

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.1 Определителем второго порядка,

соответствующим квадратной матрице второго порядка, называется число

		D =		a11	a12	= a11 × a 22 - a12 × a 21
				a 21	a 22
Например, D =	2	− 3	= 2 × 4 -1× (- 3) = 11
Например, D =	2	− 3	= 2 × 4 -1× (- 3) = 11
	1	4

Определитель обладает свойствами:

1)При замене строк соответствующими столбцами величина определителя не изменяется.

2)При перестановке двух строк (столбцов) определитель меняет знак на противоположный.

3)Определитель, у которого элементы строк (столбцов) пропорциональны (или равны), равен нулю.

4)Общий множитель строки (столбца) можно вынести за знак определителя.

5)Определитель не изменится, если к элементам его строки (столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца),

предварительно умноженные на любое число.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

2.2

Определителем

третьего

порядка,

соответствующим квадратной матрице третьего порядка, называется число

D =

a11

a12

a13

= a11 ×

a 22

a 23

- a12

a 21

a 23

+ a13 ×

a 21

a 22

a 21

a 22

a 23

a 31

a 32

a 33

a 32

a 33

a 31

a 33

a 31

a 32

= a11 ×a 22 ×a 33 - a11 ×a 23 ×a 32 - a12 ×a 21 ×a 33 + a12 ×a 23 ×a 31 +

+ a13 ×a 21 ×a 32 - a13 ×a 22 ×a 31 .

Определитель третьего порядка обладает всеми свойствами определителя второго порядка.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.3 Минором Mij элемента aij , где i, j =1, 2, 3

определителя третьего порядка, называется определитель второго порядка, полученный из данного вычеркиванием его i -й строки и j- го столбца.

Например, вычеркивая вторую строку и первый столбец, найдем минор

M21	элемента a 21 , т.е. M21 =	a12	a13	= a12 × a33 - a13 × a32 .
		a32	a33
	ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.4 Алгебраическим Aij дополнением элемента aij , где
i, j =1, 2, 3 называется минор Mij			этого элемента, взятый со знаком (-1)i + j ,

т.е.

Aij = (-1)i + j Mij , где i, j =1, 2, 3.

Теорема 2.1 (теорема разложения). Определитель третьего порядка равен сумме произведений элементов любой его строки (столбца) на их алгебраические дополнения, т.е.

D = a11 × A11 + a12 × A12 + a13 × A13 = a 21 × A 21 + a 22 × A 22 + a 23 × A 23 = ... = = a13 × A13 + a 23 × A 23 + a 33 × A33 .

Решение. Рассмотрим различные схемы вычисления данного определителя.

1) Метод треугольников. Согласно этому методу необходимо найти суммы произведений элементов, записанных на главной диагонали, и двух равнобедренных треугольников (рис. 2.1) со стороной основания, параллельной этой диагонали, и вычесть сумму произведения элементов, записанных на побочной диагонали, и двух равнобедренных треугольников со стороной основания, параллельной побочной диагонали (рис. 2.2).

Рис. 2.1

Рис. 2.2

Тогда

D = 1×5 × 2 + (- 3)×3 ×3 + (- 4)× 2 ×1 - (- 3)×(- 4)×5 - 2 ×3 × 2 -1×1×3 =

=10 - 27 - 8 - 60 -12 - 3 = -100.

2)Метод разложения. По теореме 2.1, раскладывая определитель по элементам, например, первой строки, получим

D = 1×(-1)1+1 ×	5	3	+ 3 ×(-1)1+2 ×	2	3	+ (- 4)×(-1)1+3 ×	2	5	=
	1	2		- 3 2			- 3 1

=1× (10 - 3)- 3 ×(4 + 9)- 4 × (2 +15)= 7 - 39 - 68 = -100.

Аналогично, если определитель разложить по элементам, например, второго столбца, получим тот же результат:

D = 3 ×(-1)1+2 ×	2 3	+ 5 ×(-1)2 +2 ×	1 − 4	+1×(-1)3+2 ×	1	− 4	=
	2 3		1 − 4		1	− 4
	- 3 2		- 3 2		2	3
= -3 ×(4 + 9)+ 5 ×(2 -12)-1× (3 + 8)= -39 - 50 -11 = -100.

3) Метод предварительного получения нулей.. Теорема разложения наиболее

Выберем в качестве базовой строки первую строку и умножив ее на (–2), прибавим ко второй строке. Тогда:

	1	3	- 4	Умножая базовую строку на 3 и прибавляя к третьей,
	1	3	- 4
D =	0	-1	11
D =	0	-1	11	получим
	- 3	1	2
	1	3	- 4	Так как в определителе первый столбец содержит два
	1	3	- 4	Так как в определителе первый столбец содержит два
D =	0	-1	11	нулевых элемента, то по теореме разложения раскладывая
			-10	по элементам первого столбца, получим
	0	10	-10
			D = 1×(-1)1+1 ×		−1	11	= 10 -110 = -100.
			D = 1×(-1)1+1 ×		−1	11	= 10 -110 = -100.
					10	-10

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.5 Определителем n-го порядка, соответствующим квадратной матрице n-го порядка, называется число

a		a		...	a
	11		12			1n
a	21	a 22		...	a 2n		1+1	× a	1+2	× a12 × M12 + ... +
D =		...		...	...		= (-1)	× a	11 × M11 + (-1)	× a12 × M12 + ... +
...		...		...	...
		a n 2		...
a n1		a n 2		...	a nn

+ (-1)1+n × a1n × M1n ,

где M11, M12 ,..., M1n есть определители (n–1)- го порядка, полученные из данного вычеркиванием его первой строки и соответственно первого, второго, … , n- го столбцов.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.6 Минором Mij элемента aij определителя n-го

порядка называется определитель (n–1)- го порядка, полученный из вычеркиванием его i-й строки и j-го столбца.

Определители n-го порядка обладают всеми свойствами определителей третьего порядка. Сохраняет свою силу и теорема разложения 2.1, т.е.

D = a11 × A11 + a12 × A12 + ... + a1n × A1n = ... = a1n × A1n + a 2n × A2n + ... + a nn × Ann .

Решение. Перед использованием теоремы 2.1 наиболее целесообразно преобразовать определитель так, чтобы все элементы какой– либо строки (или столбца), кроме одного, обратились в 0. Например, сделаем так, чтобы в 1-м столбце все элементы, кроме первого, были равны нулю. Для этого: 1) к элементам первой строки прибавим соответствующие элементы третьей строки; 2) умножив элементы первой строки на (–2), прибавим их к соответствующим элементам четвертой строки. Раскладывая далее полученный определитель по элементам первого столбца, найдем

	-1	2	0	1		-1	2	0	1
	-1	2	0	1		-1	2	0	1
D =	0	1	-1 - 3		=	0	1	-1 - 3		=
	1	-1	2	-1		0	1	2	0
	- 2	3	1	- 2		0	-1 1		- 4

= (-1)1+1 ×(-1)×	1	-1	- 3	= (-1)×[1× 2 ×(- 4)+ (-1)× 0 ×(-1)+
	1	-1	- 3
	1	2	0
	-1	1	- 4
+1×1× (- 3)- (-	3)× 2 ×(-1)-1× (-1)×(- 4)-1×1× 0] = -(- 21)= 21.
					1	5	9	13
					1	5	9	13
ПРИМЕР 2.7 Вычислить определитель D =					2	6	10	14	.
					3	7	11	15
					4	8	12	16

Решение. Вычитая из второго столбца первый, а из четвертого столбца третий, получим

	1	4	9	4	так как образовавшийся определитель содержит
	2	4	10	4	так как образовавшийся определитель содержит
D =	2	4	10	4	= 0, два одинаковых столбца (см. св.1.2.3)
	3	4	11	4
	4	4	12	4

2.3 ОБРАТНАЯ МАТРИЦА. РАНГ МАТРИЦЫ

	a		11	a12	...	a1n
				a 22		a 2n
Дана квадратная матрица A порядка n .	a		21	a 22	...	a 2n
Дана квадратная матрица A порядка n .	A =	...		... ... ...			.
		...		... ... ...

				a n 2	...
	a n1			a n 2	...	a nn

Пусть есть определитель этой матрицы.

	ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.7 Квадратная матрица A порядка n называется
неособенной (невырожденной) матрицей, если ее определитель																																			отличен от
нуля. Если						= 0, то – особенной (вырожденной) матрицей.
	ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.8 Квадратная матрица A −1 порядка n называется
обратной матрицей для данной матрицы A , если A × A −1 = A −1 × A = E , где
E —	единичная матрица.
	Всякая невырожденная матрица A имеет обратную матрицу A −1 ,
определяемую формулой
														A11						A 21 ...							A n1
									A −1 = 1 ×
									A −1 = 1 ×					A12						A 22 ...							A n 2		,
											D										... ... ...
											D			...							... ... ...
																				A 2n ...							A nn
														A1n						A 2n ...							A nn
где	A11 , A12 ,..., A nn									есть			алгебраические дополнения																		соответствующих
элементов a11 , a12 ,..., a nn матрицыA .
																											1		3	2
	ПРИМЕР 2.8 Найти матрицу A −1																		, если A =									0	2

																														3 .
																												1	4	2
																												1	4	2
	Решение. Выясним, существует ли обратная матрица A −1 . Вычислим
	1	3				2						2		3												3		2
							= (-1)1+1 ×1×					2		3		+ (-					1)3+1 ×1×					3		2	= 4 -12 + 9 - 4 = -3.
A = 0		2 3					= (-1)1+1 ×1×					4		2		+ (-					1)3+1 ×1×					2		3	= 4 -12 + 9 - 4 = -3.
		4										4		2												2		3
	1	4				2
Так	как		D = -3 ¹ 0 ,							то матрица										A −1 невырожденная. Следовательно,
существует A −1 . Найдем алгебраические дополнения:
	A11	=		2 3			= -8 ,						A12		= -			0 3						= 3,						A13	=		0 2				= -2,
	A11	=		2 3			= -8 ,						A12		= -			0 3						= 3,						A13	=		0 2				= -2,
				4		2												1				2											1		4
	A 21	= -				3 2			= 2 ,				A 22			=	1 2						= 0 ,							A 23	= -			1 3				= -1,
	A 21	= -				3 2			= 2 ,				A 22			=	1 2						= 0 ,							A 23	= -			1 3				= -1,
						4	2										1					2												1	4
	A31	=			3 2			= 5 ,					A32 = -							1 2					= -3,					A33	=	1 3				= 2.
	A31	=			3 2			= 5 ,					A32 = -							1 2					= -3,					A33	=	1 3				= 2.
					2	3														0		3										0			2

Вычислим обратную матрицу:

															8		2		5
			A		A		A				- 8	2	5			-		-
		1	A		A		A			1	- 8	2	5		3	-	3	-	3
	−1 =	1		11		21		31		1					3		3		3
A			× A12		A 22		A32		=		× 3	0	- 3	=	-1 0			1		.
A		D	× A12		A 22		A32		=	- 3	× 3	0	- 3	=	-1 0			1		.
		D								- 3					2	1			2
			A13		A 23		A33				- 2	-1 2						-
			A13		A 23		A33				- 2	-1 2			3	3		-	3
															3	3			3

Проверим правильность вычисления обратной матрицы A −1 , исходя из ее определения 2.8:

					8		2		5
						-		-		1		3		2
					3	-	3	-	3	1		3		2
					3		3		3
A −1 × A =					-1 0			1		× 0 2				3		=
					2	1		-	2
										1		4		2
					3	3			3	1		4		2
					3	3			3
	8			2		5		8			2		5			8						2				5
			×1 -		× 0 -		×1		× 3	-		× 2 -			× 4			× 2			-			× 3	-			× 2
		3	×1 -	3	× 0 -	3	×1		× 3	-	3	× 2 -	3		× 4			× 2			-	3		× 3	-	3		× 2
		3		3		3		3			3		3			3						3				3
=		-	1×1 + 0 × 0 +1				×1	-	1× 3 + 0 × 2 +1						× 4	-		1		× 2 +			0 × 3 +				1	× 2		=
		2		1		2		2			1		2			2						1				2
			×1 +		× 0 -		×1		× 3	+		× 2 -			× 4				× 2		+			× 3	-			× 2
		3	×1 +	3	× 0 -	3	×1		× 3	+	3	× 2 -	3		× 4	3			× 2		+	3		× 3	-	3		× 2
		3		3		3		3			3		3			3						3				3
																8							2				5
	1		0	0																	-				-
	1		0	0														3			-		3		-		3
=			1															3					3				3
=	0		1	0 = E							Итак,		A −1 =				-1					0				1			.
																		2				1			-		2
		0	0	1
		0	0	1														3				3					3
																		3				3					3

Ранг матрицы

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.9 Минором k -го порядка произвольной матрицы А называется определитель, составленный из элементов матрицы, расположенных на пересечении каких-либо k строк и k столбцов.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.10 Рангом матрицы А называется наибольший из порядков ее миноров, не равных нулю.

Обозначается: r(A), rang(A). Базисным минором называется любой из миноров

матрицы А, порядок которого равен r(A).

Для следующей матрицы А ее ранг равен 1:

3	− 2	2
A =			, r(A) = 1.
	0	0
0	0	0

Любой из миноров 2-го порядка матрицы А равен нулю, и существует хотя бы один минор 1-го порядка, не равный нулю, например, 3 = 3.

Теорема 2.2 При элементарных преобразованиях ранг матрицы не изменяется.

Теорема 2.3 Ранг ступенчатой матрицы равен количеству ее ненулевых строк.

Метод элементарных преобразований нахождения ранга матрицы заключается в том, что матрицу А приводят к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований; количество ненулевых строк полученной ступенчатой матрицы есть искомый ранг матрицы А.

Метод окаймляющих миноров нахождения ранга матрицы А состоит в следующем. Необходимо:

1) Найти какой-нибудь минор M1 первого порядка, отличный от нуля.

Если такого минора нет, то матрица нулевая и r(A) = 0.

2) вычислить миноры 2-го порядка, содержащие M1 (окаймляющие M1 )

до тех пор, пока не найдется минор М2 , отличный от нуля. Если такого минора нет, то r(A) = 1, если есть, то r(A) ³ 2. И т.д.

…

k)вычислить (если они существуют) миноры k-го порядка,

окаймляющие миноры M k−1	¹ 0 . Если таких миноров нет, или они все равны
нулю, то r(A) = k -1; если	есть хотя бы один такой минор M k ¹ 0 , то
r(A) ³ k , и процесс продолжается.
При нахождении ранга матрицы таким способом достаточно на каждом

шаге найти всего один ненулевой минор k-го порядка, причем искать его только среди миноров, содержащих минорM k−1 ¹ 0.

	ПРИМЕР		2.9	Найти			ранг	матрицы методом элементарных
			2	− 1	5	6

преобразований: 1				1	3	5 .
			1	− 5	1
			1	− 5	1	− 3
	Решение. Приведем матрицу к ступенчатому виду с помощью
элементарных преобразований:
2 − 1 5		6		2	− 1 5		6

1 1 3		5	≈	0	3	1	4
	− 5 1			0	− 9 − 3 − 12
1	− 5 1	− 3		0	− 9 − 3 − 12
Выполним:		2 × II - I и результат запишем второй строкой, 2 × III - I и результат

запишем третьей строкой преобразованной матрицы.

2 -1 5				6	2		− 1 5		6

0		3	1	4	≈ 0		3	1	4 .
	0	- 9	- 3	-12		0	0	0	0

Прибавляя к третьей строке вторую умноженную на 3, мы получим нулевую строку.

Полученная ступенчатая матрица содержит две ненулевые строки, значит ее ранг равен 2. Следовательно, ранг исходной матрицы также равен 2.

ПРИМЕР 2.10 Найти ранг матрицы методом окаймляющих миноров и

	1	3	3	4

указать один из базисных миноров: 0		0	1	2	.
	2	6	1	- 2
	2	6	1	- 2

Решение. Так как у матрицы А есть ненулевые элементы, то r(A) ³ 1. Найдем какой-либо ненулевой минор 2-го порядка (если он существует). Таким

минором является, например, М2					=	3	3	= 3 ¹ 0. Значит, r(A) ³ 2. Вычислим
						0	1
									M2 : M3(1) =	1	3		3	= 0 ;
										1	3		3
миноры			3-го	порядка,	окаймляющие					0	0		1
										2	6		1
M3(2) =	3	3	4	= 0.
	3	3	4
	0 1		2
	6	1	− 2
Все миноры 3-го порядка, окаймляющие M2 , равны нулю, следовательно,
r(A) < 3. Итак, r(A) = 2. Одним из базисных миноров является M2											=	3	3		.
											=	3	3		.
												0	1

2.4 РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ПО ФОРМУЛАМ КРАМЕРА И МАТРИЧНЫМ СПОСОБОМ

x	1 − 4x 2 + x 3 = 3,
				− 2x 3			= −2,
ПРИМЕР 2.11 Решить систему 2x1 + x 2
3x		1	− 2x	2	− x	3	= 1.

Решение. Система содержит одинаковое количество уравнений и
неизвестных. Вычислим определитель	этой системы.

- 4

D =

- 2

= -1 + 24 - 4 - 3 - 4 - 8 = 4 .

Так как D = 4 ¹ 0 , то

3 - 2 -1

система имеет единственное решение. Составим определители

x1 ,

x 2 ,

x3 .

Заменяя

определителе

первый столбец (т.е. коэффициенты при

неизвестном x1 ) на свободные члены, получим

- 4

Dx1 =

- 2 1 - 2

= -3 + 8 + 4 -1 -12 + 8 = 4 .

- 2

-1

Заменяя в определителе

D коэффициенты при неизвестном

x 2

(т.е.

второй

столбец) на свободные члены, найдем, что

Dx 2 =

2 - 2 - 2

= 2 -18 + 2 + 6 + 6 + 2 = 0 .

-1

Аналогично, заменяя в определителе D коэффициенты при x 3 , найдем, что

- 4

Dx 3 =

2 1 - 2

= 1 + 24 -12 - 9 - 4 + 8 = 8.

- 2

Тогда по формулам Крамера , получим

= 1, x

2 =

x 2

= 0, x

3 =

= 2.

Проверка: x1 = 1, x 2 = 0 ,

x 3 = 2

1 - 4 × 0 + 2 = 3,

×1

+ 0 - 2 × 2 = -2,

Ответ: x1 = 1,

x 2

= 0 ,

x 3 = 2 .

×1

- 2 × 0 - 2 = 1.

Решение систем линейных уравнений матричным способом

x1 - 4x 2 + x

3 = 3

+ x 2 - 2x 3

= -2

ПРИМЕР 2.12 Решить систему

2x1

- 2x 2 - x 3

= 1

3x1

матричным способом.

Решение. Система содержит одинаковое количество уравнений и неизвестных. Составим три матрицы:

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 127 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
15.11.2019705.02 Кб17Uchebnoe_posobie_ET_chast_1.doc
#
17.03.20153.41 Mб286Uchebnoe_posobie_GIS_elektrichesky_karotazh.pdf
#
26.09.201936.66 Mб67Uch_posobie_Nurutdinova_R_G.doc
#
17.03.20152.89 Mб92Uch_posobie_Nurutdinova_R_G.pdf
#
17.03.201534.76 Mб642Uch_pos_GiK_Nov (2).doc
#
17.03.20152 Mб26UMK1.pdf
#
17.03.2015308.74 Кб16UMK_Ist_Ros_dlya_neftyanogo.doc
#
23.11.201932.4 Mб8UMP_dlya_ES09_UGNTU_2011.doc
#
17.03.2015449.54 Кб14UMP_po_grammatike_Chast_1 англ.doc
#
17.03.2015586.24 Кб17UMP_po_grammatike_Chast_2англ.doc
#
17.03.2015954.88 Кб438UMP_po_kach_kislotno_osnovnomu_analizu2008.doc