Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Уфимский Государственный Нефтяной Технический Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

UMK1

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

17.03.2015

Размер:

2 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 122 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

ПРИМЕР 1.4					1	2		1	0
ПРИМЕР 1.4		Даны A =					,	E =		.
					3	4			1
					3	4		0	1
1	2	1	0		1×1 + 2 × 0 1× 0 + 2 ×1						1	2	= A и
A × E =		×		=							=		= A и

3	4	0	1		3 ×1 + 4 × 0 3 × 0 + 4 ×1						3	4

1×1 + 0 × 3		1× 2 + 0 × 4	1	2	= A.
E × A =			=		= A.
	×1 +1× 3
0	×1 +1× 3	0 × 2 +1× 4	3	4

Итак, если Е	единичная		матрица		и	А - квадратная, то
A × E = E × A = A , т.е.	единичная матрица играет роль единицы в действиях
над матрицами.	-1			0
	-1	2		0	1
ПРИМЕР 1.5 Даны A =			,	B =		.
		4
	3	4		2	3

Очевидно, что определены произведения			A × B и		B × A
(-1)× 0 + 2 × 2	(-1)×1 + 2 × 3		4	5
A × B =		=			,
				15
3 × 0 + 4 × 2	3 ×1 + 4 × 3		8	15

0 × (-1) +1× 3		0 × 2 +1× 4	3	4
B × A =			=
	× (-1) + 3 × 3
2	× (-1) + 3 × 3	2 × 2 + 3 × 4	7	16

Этот пример показывает, что произведение двух матриц не подчиняется переместительному закону, т.е. A × B ¹ B × A . Однако можно проверить, что умножение матриц подчиняется сочетательному и распределительному законам, т.е. A(BC) = (AB)C и (A + B)C = AC + BC .

1.2ОПРЕДЕЛИТЕЛИ

1.2.1Определители второго порядка и их свойства

Определитель – это число, которое по специальным правилам вычисляется для каждой квадратной матрицы.

Пусть дана квадратная матрица второго порядка

a	11	a	12
A =	11		12	.
		a 22
a 21		a 22

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.7 Определителем второго порядка,

соответствующим заданной матрице А, называется число равное

a11a 22 − a 21a12 .

Для обозначения определителя используются вертикальные черточки и прописная буква D . Например,

D =	a11	a12	= a11a 22 - a12 a 21	(1.5)
	a 21	a 22

есть общий вид определителя второго порядка.

Числа a11 , a12 , a 21 , a 22 называются элементами определителя. Как и у


матрицы второго порядка,		элементы	a11 , a12 образуют первую строку
определителя;	a 21 , a 22 −	вторую строку;		a11 , a 21 −	- первый	столбец;
a12 , a 22 −	второй столбец; a11 , a 22 −			образуют	главную	диагональ
определителя;	a 21 , a12 −	побочную	диагональ.		Используя	данную

терминологию, можно сказать, что определитель второго порядка есть число, равное разности произведений элементов, расположенных на главной и побочной его диагоналях.

ПРИМЕР 1.6	2	3	= 2 × 5 - 4 × 3 = 10 - 12 = -2
	4	5

Рассмотрим простейшие свойства определителя второго порядка. Свойство 1.2.1 Определитель не изменится, если его строки поменять

местами с соответствующими столбцами, т.е.

a11

a12

a11

a 21

(1.6)

a 21

a 22

a12

a 22

Действительно, согласно (1.5) получим

a11

a12

= a11a 22 - a 21a12 и

a11

a 21

= a11a 22 - a12 a 21.

a 21

a 22

a12

a 22

Из свойства 1.2.1 следует, что свойства, установленные для строк определителя, справедливы и для его столбцов.

Свойство 1.2.2 При перестановке местами двух строк (столбцов) определитель меняет свой знак на противоположный.

Действительно, если D1 =

a11

a12

D2 =

a 21

a 22

, то

a 21

a 22

a11

a12

D1 = a11a 22 - a 21a12 = -(a 21a12 - a11a 22 )= -D2

Свойство

1.2.3

Определитель,

имеющий две

одинаковые

строки

(столбца), равен нулю.

Например,

a11

a12

= a11a12 - a11a12

= 0.

a11

a12

Свойство

1.2.4

Если все элементы

какой-либо строки

(столбца)

определителя умножить на одно и то же число, то определитель умножится на это число.

Пусть D1	=	a11	a12	,	D2	=	ka11	ka12	, где k − число.
		a 21	a 22				a 21	a 22
Тогда D2	= ka11a 22 - ka12 a 21 = k(a11a 22 - a12 a 21 )= k × D1.

Свойство 1.2.4 означает, что общий множитель всех элементов строки

(столбца) можно вынести за знак определителя.

Свойство 1.2.5	Определитель, у которого элементы двух его строк
(столбцов) пропорциональны, равен нулю.
Действительно,	a11	a12	= ka11a12 - ka11a12 = 0 при любом k.

	ka11	ka12

Свойство 1.2.6 Если каждый элемент какой-либо строки (столбца) определителя есть сумма двух слагаемых, то определитель равен сумме двух определителей, у одного из них элементами соответствующей строки являются первые слагаемые, у другого - вторые. Оставшиеся элементы этих определителей те же, что и у данного.

+ a

D2 =

a11

a12

D3 =

Пусть

+ a 21

a 22

a 21

a 22

a 21

a 22

Тогда

D1 = (a

11 + a11

)a 22 - (a 21 + a 21 )a12

= (a11a 22 - a 21a12 ) +

+ (a11a 22 - a 21a12 )= D2 + D3 .

Свойство 1.2.7 Определитель не изменится, если к элементам какой-либо его строки (столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на одно и то же число.

Действительно, пусть

D =

a11

a12

, D1

11 + ka12

a12

a 21

a 22

21 + ka 22

a 22

Тогда, согласно свойствам 1.2.5 и 1.2.6, получим

D1 =

a11

a12

ka12

a12

= D + k ×

a12

= D + 0 = D

a 21

a 22

ka 22

a 22

1.2.2 Определители третьего порядка

Пусть дана квадратная матрица третьего порядка

A =

a 22

a 32

a 31

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.8 Определителем третьего порядка,

соответствующим данной квадратной матрице А, называется число

D = a11

a 23

- a12

a 23

+ a13

a 22

(1.7)

a 33

a 32

= a11a 22 a 33 − a11a 32 a 23 − a12 a 21a 33 + a12 a 31a 23 + a13a 21a 32 − a13a 31a 22 .

Определитель третьего порядка обозначается символом

=	a11		a12	a13
=	a	21	a 22	a 23	,	(1.8)
	a	31	a 32	a 33
где числа a11 , a12 ,K, a 33						называются его элементами.

Индексы i = 1,2,3 и j = 1,2,3 у элемента a ij показывают номера строки и столбца, на пересечении которых записан этот элемент.

Например, элемент	a 23 расположен на	пересечении второй строки
(i = 2) и третьего столбца	(j = 3).
Элементы a11 , a 22 , a 33 образуют главную		диагональ определителя, а
элементы a 31 , a 22 , a13 − побочную диагональ.

Определение имеет сложный по форме вид, поэтому для нахождения определителя третьего порядка предложены более простые правила. Так, согласно правилу треугольников необходимо:

1)вычислить с собственными знаками произведения элементов, лежащих на главной диагонали и в вершинах двух равнобедренных треугольников, основания которых параллельны этой диагонали ;

2)найти произведения элементов, лежащих на побочной диагонали и в вершинах двух равнобедренных треугольников, основания которых параллельны побочной диагонали, и взять их с противоположными знаками;

3)найти общую сумму всех произведений.

2 3 −4

ПРИМЕР 1.7 1 2 0 = 4 + 0 − 16 + 24 + 0 − 3 = 9

3 4 1

Все свойства определителей второго порядка справедливы и для определителей третьего порядка. Доказательства этих свойств основаны на вычислении определителя третьего порядка по формуле (1.7).

Например, покажем, что определитель, у которого элементы двух его строк пропорциональны, равен нулю. Действительно,

=	a11	a12	a13	= ka11a12 a 33 + ka12 a13a 31 + ka11a 32 a13 −
=	ka11	ka12	ka13	= ka11a12 a 33 + ka12 a13a 31 + ka11a 32 a13 −
	a 31	a 32	a 33
			−	ka 31a12 a13 − ka11a12 a 33 − ka11a13a 32 = 0.

Аналогично проверяется справедливость и других свойств. Пусть дан определитель (1.8) третьего порядка.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.9 Минором Mij элемента a ij , где i, j = 1,2,3

определителя третьего порядка, называется определитель второго порядка, полученный из данного вычеркиванием i −й строки и j −го столбца. Так,

например, минор M 23			элемента a 23 есть определитель
M 23 =	a11	a12	, а минор элемента a11 есть M11	=	a 22	a 23
M 23 =	a11	a12	, а минор элемента a11 есть M11	=	a 22	a 23
	a 31	a 32			a 32	a 33
С помощью миноров определитель (1.7) можно записать в виде
= a11M11			− a12 M12 + a13M13			(1.9)
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.10 Алгебраическим дополнением						Aij элемента

a ij , где i, j =1,2,3, называется минор Mij					этого элемента,		взятый со знаком
(-1)i+j . По определению 1.9 имеем
Aij = (-1)i+j × Mij , где			i, j =1,2,3.				(1.10)
Например,
A12 = (-1)1+2 × M12	= (-1)×		a 21	a 23		= a 31a 23 - a 21a 33 ,
A12 = (-1)1+2 × M12	= (-1)×		a 21	a 23		= a 31a 23 - a 21a 33 ,
			a 31	a 33
A31 = (-1)3+1 × M31	=	a12	a13	= a12 a 23 - a 22 a13 и т.д.
A31 = (-1)3+1 × M31	=	a12	a13	= a12 a 23 - a 22 a13 и т.д.
		a 22	a 23

Теорема 1.1 (Разложение определителя по элементам строки или столбца)

Определитель третьего порядка равен сумме произведений элементов любой его строки (столбца) на их алгебраические дополнения. Иными словами, имеют место шесть равенств:

= a11A11 + a12 A12 + a13A13 = a 21A 21 + a 22 A 22 + a 23 A 23	= K
K = a13 A13 + a 23 A 23 + a 33 A 33 .	(1.11)
Проверим, например, справедливость равенства
= a11A11 + a12 A12 + a13 A13 .

Согласно определениям минора и алгебраического дополнения получим

a11A11 + a12 A12 + a13A13 = a11 (-1)1+1 × M11 + a12 (-1)1+2 × M12 +

(

)1+3

× M13 =

− a

+ a

+ a13 -

= a11

a 22

a 23

- a12

a 23

+ a13

a 21

a 22

a 32

a 33

a 31

a 32

= a11a 22 a 33 − a11a 23a 32 − a12 a 21a 33 + a

12a 23a 31 + a13a

21a 32 − a13a 22a 31 =

Теорема 1.2. Сумма произведений элементов какойлибо строки (столбца) определителя на алгебраические дополнения элементов любой другой

его строки (столбца) равна нулю.

Для определенности выберем элементы

a11 , a12 , a13 первой

строки и

алгебраические

дополнения

A 21

, A 22 , A 23

элементов

второй строки

определителя. Составим сумму произведений a11A 21 + a12 A 22 + a13 A 23

покажем, что эта сумма равна нулю.

Действительно,

+ a

= −a

a12

a13

+ a

a11

a13

− a

a11

a12

a 32

a 33

a 31

a 33

a 31

a 32

= −a11a12 a 33 + a11a13a 32 + a12 a11a 33 − a12 a13a 31 − a13a11a 32 + a13a12a 31 = 0

Аналогично проверяется равенство нулю и всех других подобных сумм. В заключение рассмотрим схему использования свойств определителя и

теоремы разложения при вычислении определителя.

	2	4	5
ПРИМЕР 1.8 Вычислить определитель =	3	1	−1.
	2	0	0

Решение. Разложим определитель по элементам третьей строки.

	= a 31A31 + a 32 A32 + a 33 A33						= a 31M31 − a 32 M32 + a 33 M33						=
= 2M31 + 0M32				+ 0M33 = 2		4	5	= 2(− 4 − 5)= −18.
= 2M31 + 0M32				+ 0M33 = 2		4	5	= 2(− 4 − 5)= −18.
						1	−1
ПРИМЕР 1.9 Вычислить определитель =									1	3	7
									1	3	7
									8	26	56	.
									3	−4	6
Решение. Прибавляя ко второй строке первую, умноженную на													- 8,
	=	1	3	7
		1	3	7
получим		0	2	0	. Раскладывая этот определитель по элементам
		3	−4	5

второй его строки, найдем
	3	7	+ 2	1	7	− 0	1	3	= 2(5 − 21) = −32.
= −0	3	7	+ 2	1	7	− 0	1	3	= 2(5 − 21) = −32.
	−4	5		3	5		3	−4

1.2.3 Определители n − го	порядка
Пусть дана квадратная матрица А n − го	порядка

a			a		K a
		11		12		1n
a 21			a 22		K a 2n
A =	K		K		K K

			a n 2
a n1			a n 2		K a nn

Определитель n − го порядка, соответствующий квадратной матрице А, обозначается символом

	a11	a12	K a1n
=	a 21	a 22	K a 2n		(1.12)
=	K	K	K K		(1.12)
	K	K	K K
	a n1	a n 2	K a nn
и определяется как число
= a11M11 − a12 M12 + K + (− 1)1+n a1n M1n ,					(1.13)
где M11 , M12 ,K, M1n есть				миноры соответствующих	элементов
a11 , a12 ,K, a1n ,, т.е. определители				(n −1) − го порядка, полученные из

данного вычеркиванием его первой строки и соответственно первого, второго,.

. . , n − го его столбцов.


		a	22	a 23	K a		2n
Например, M11	=	a	32	a 33	K a		3n	.
		K		K	K	K
		a n 2		a n3	K	a nn

Так как каждый минор M1k , где	k = 1,2,..., n есть определитель
(n −1) − го порядка, то согласно (1.13)	вычисление определителя n − го
порядка сводится к вычислению n определителей (n −1) − го порядка.

	4	0	2	0
ПРИМЕР 1.10 Вычислить определитель =	1	3	−1	2	.
	0	1	0	5
	2	4	3	1

Решение. Согласно (1.13) получим
= 4	3 −1 2			− 0	1	−1 2		+ 2	1	3 2		− 0	1	3 −1		=
	3 −1 2				1	−1 2			1	3 2			1	3 −1
	1	0	5		0	0	5		0	1	5		0	1	0
	4	3	1		2	3	1		2	4	1		2	4	3

= 4(6 − 20 + 1 − 45) + 2(1 + 30 − 4 − 20) = −232 + 14 = −218.

Определители n − го порядка имеют те же свойства, что и определители третьего порядка. Их справедливость проверяется с помощью соотношения

(1.10).

Выберем в определителе	элемент a ij , где	i, j = 1,2,..., n.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.11	Минором Mij	элемента a ij определителя

n − го порядка называется определитель (n − 1) − го порядка, полученный из вычеркиванием его i − й строки и j − го столбца.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.12 Алгебраическим дополнением A ij элемента a ij

называется минор Mij этого элемента, взятый с дополнительным знаком

(− 1)i+ j , т.е.
Aij = (− 1)i+ j Mij , где i, j = 1,2,..., n.	(1.14)

Для определителей n − го порядка также остается справедливой теорема разложения, т.е. определитель n − го порядка равен сумме произведений элементов любой его строки (столбца) на алгебраические дополнения этих элементов

= a11A11 + a12 A12 + K + a1n A1n = a 21A 21 + a 22 A 22 + K + a 2n A 2n =

= K = a1n A1n + a 2n A 2n + K + a nn A nn

(1.15)

Равенство (1.15) содержат 2n формул, по каждой из которых можно произвести вычисление определителя.

На практике полезно перед применением теоремы разложения преобразовать определитель с помощью его свойств так, чтобы в одной из его строк (столбцов) образовалось максимальное число нулевых элементов.

ПРИМЕР 1.11 Вычислить определитель

1 2 3 4

= 5 6 7 8 . 9 10 11 12

13 14 15 16

Решение. Вычитая из второго столбца первый, а из четвертого столбца

	1	1	3	1
третий, найдем	= 5	1	7	1 = 0,
	9	1	11	1

13 1 15 1

так как образовавшийся определитель содержит два одинаковых столбца.

				1.3 ОБРАТНАЯ МАТРИЦА
Пусть дана квадратная матрица						A порядка n .
a		a		K a
	11		12		1n
a 21		a 22		K a 2n
A = K		K		K K		.

		a n 2		K a nn
a n1		a n 2		K a nn

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.13 Квадратная матрица A −1 порядка n называется

обратной матрицей для данной матрицы

A , если

A × A −1 = A −1 × A = E, где E − единичная матрица

(1.16)

Обозначим через

определитель матрицы A и вычислим его. Тогда,

если D ¹ 0, то матрицу A

называют неособенной (невырожденной)

матрицей, если же

= 0, то особенной (вырожденной) матрицей.

Теорема 1.3. Всякая неособенная матрица A имеет обратную матрицу

A−1 , определяемую формулой

K A

A −1 =

A12

A 22

K A n 2

(1.17)

A 2n

A1n

K A nn

где

A11 , A12 ,K, A nn есть алгебраические

дополнения

соответствующих

элементов a11 , a12 ,K, a nn

матрицы

A .

Доказательство. Покажем, что

A × A −1 = E. Действительно,

K a

K A

A × A −1 =

a 21

a 22

K a 2n

× A12

A 22

K A n 2

K K K K

A 2n

a n1

a n 2 K a nn A1n

K A nn

a A +K+ a

a A

+K+ a

K a A

+K+ a

11 11

11 n1

21A11 +K+ a 2n A1n

a 21A21 +K+ a 2n A2n

K a 21An1 +K+ a 2n Ann

KKK

+K+ a nn A1n

a n1A21 +K+ a nn A2n

a n1A11

a n1An1 +K+ a nn Ann

Согласно обобщению теоремы 1.1 о разложении определителя по элементам любой строки все элементы, расположенные на главной диагонали предыдущей матрицы, равны , а оставшиеся элементы, согласно обобщению теоремы 1.2, равны нулю. Тогда

			0 K 0		1 0				K 0

A × A −1 =	1	0	D K 0		0 1				K 0
					=						= E
	D				=						= E
	D	K K K K			K K K K

		0	0 K D		0 0				K 1
Аналогично доказывается, что				A −1 × A = E.			1			0
							1		2	0
				A −1 , если		A =
ПРИМЕР 1.12 Найти матрицу								0	3
ПРИМЕР 1.12 Найти матрицу								0	3	1 .
								0	1
								0	1	2
Решение. Выясним, является ли матрица						A невырожденной

D =	1		2								0			= 1×			3 1			- 0 ×						2 0					+ 0 ×				2 0				=				3 1					= 5.
	1		2								0
	0 3 1
	0		1								2						1		2							1			2						3		1						1	2
Так	0		1								2
Так	как определитель D = 5 ¹ 0, то матрица																																				A невырожденная и имеет
обратную матрицу													A −1 .
									A					11		A		21			A
A −1 =			1					×						11				21					31
			1								A					A					A					, где
											A			12		A		22			A					, где
				D
																						32
									A13							A 23					A33
A11 =		3 1										= 5, A 21 = -											2 0					= -4, A31									=			2 0					= 2,
A11 =		3 1										= 5, A 21 = -											2 0					= -4, A31									=			2 0					= 2,
		1							2														1			2														3				1
A12 = -							0 1								= 0, A 22						=			1 0					= 2, A32								= -				1 0					= -1,
A12 = -							0 1								= 0, A 22						=			1 0					= 2, A32								= -				1 0					= -1,
							0				2													0			2														0			1
A13 =					0 3								= 0, A 23 = -												1 2					= -1, A33								=				1 2					= 3.
A13 =					0 3								= 0, A 23 = -												1 2					= -1, A33								=				1 2					= 3.
					0						1														0		1															0		3
Подставляя найденные числа в формулу для																																					A −1 , получим
																											-		4				2
														- 4									1
																							1						5			5
										5								2											5			5
A −1 =				1																			0					2						1		.
				1		×			0 2									-1			=							2				-		1
						×			0 2									-1			=						5					-
			5											-1													5					5
										0				-1				3									-		1			3
																							0
																							0						5
																													5				5

<<< < Предыдущая 12 / 122 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
15.11.2019705.02 Кб17Uchebnoe_posobie_ET_chast_1.doc
#
17.03.20153.41 Mб286Uchebnoe_posobie_GIS_elektrichesky_karotazh.pdf
#
26.09.201936.66 Mб67Uch_posobie_Nurutdinova_R_G.doc
#
17.03.20152.89 Mб92Uch_posobie_Nurutdinova_R_G.pdf
#
17.03.201534.76 Mб643Uch_pos_GiK_Nov (2).doc
#
17.03.20152 Mб26UMK1.pdf
#
17.03.2015308.74 Кб16UMK_Ist_Ros_dlya_neftyanogo.doc
#
23.11.201932.4 Mб8UMP_dlya_ES09_UGNTU_2011.doc
#
17.03.2015449.54 Кб14UMP_po_grammatike_Chast_1 англ.doc
#
17.03.2015586.24 Кб17UMP_po_grammatike_Chast_2англ.doc
#
17.03.2015954.88 Кб438UMP_po_kach_kislotno_osnovnomu_analizu2008.doc