Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Уфимский Государственный Нефтяной Технический Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

UMK1

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

17.03.2015

Размер:

2 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 128 9 10 11 12 > Следующая >>>

1 - 4			1	x				3
					1
A = 2		1	- 2 ,	X = x	2	,	B =	- 2 .
	3	- 2	-1					1
	3	- 2	-1	x	3			1

Определитель D этой системы (см. пример 2.9) равен 4. Так как D = 4 ¹ 0 , то существует обратная матрица A −1 , равная:

		1	A		A		A			1	- 5		- 6	7
	−1 =			11		21		31
A			× A12		A 22		A32		=		×	- 4	- 4	4	, где Aij - алгебраические
		D								4
					A 23							- 7	-10 9
			A13				A33

дополнения элементов a ij определителя																			:
A11		=			1 − 2				= -5 ,		A12		= -		2 − 2							= -4 ,		A13 =			2 1					= -7 ,
A11		=			1 − 2				= -5 ,		A12		= -		2 − 2							= -4 ,		A13 =			2 1					= -7 ,
				- 2			-1								3				-1								3		- 2
A 21		= -				− 4 1				= -6 , A 22			=	1 1						= -4 ,				A 23 = -		1 − 4					= -10 ,
A 21		= -				− 4 1				= -6 , A 22			=	1 1						= -4 ,				A 23 = -		1 − 4					= -10 ,
					−	- 2 -1								3				-1									3		- 2
A31		=				4 1				= 7 ,	A32		= -				1		1				= 4 ,	A33	=			1 − 4					= 9 .
A31		=				4 1				= 7 ,	A32		= -				1		1				= 4 ,	A33	=			1 − 4					= 9 .
					1		- 2										2		- 2									2		1
Тогда, согласно формуле X = A −1 × B матричное решение запишется в виде
x			1			- 5		- 6			7		3					1	-15 +12 + 7								1			4			1
	1		1															1									1
x	2	=				×	- 4	- 4			4 ×	- 2				=			×		-12 +			8 + 4	=				×	0			= 0	.
x	2	=				×	- 4	- 4			4 ×	- 2				=		4	×		-12 +			8 + 4	=		4		×	0			= 0	.
					4		- 7	-10										4									4
x	3						- 7	-10			9		1								- 21 + 20 + 9									8			2

Из условия равенства двух матриц, найдем искомое решение x1 = 1, x 2 = 0 , x 3 = 2 .

В конце решения системы (любым способом) рекомендуется сделать проверку, подставив найденные значения в исходные уравнения системы, и убедиться в том, что они обращаются в верные равенства.

2.5 РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ МЕТОДОМ ГАУССА

(МЕТОДОМ ИСКЛЮЧЕНИЯ НЕИЗВЕСТНЫХ)

ПРИМЕР 2.13 Решить систему уравнений методом Гаусса

x	1 + 2 × x 2 - x 3 + x 4 = 2,
	× x1 - x 2		+ 3 × x 3 - x 4	= 3,
2
		+ 2	× x 2 - 4 × x 3	+ 6 × x 4 = 5,
- 3 × x1
		+ x 3 + 2 × x 4 = 6.
x1 - x 2

		Решение. Построим расширенную матрицу системы
		1		2	-1		1			2
		1		2	-1		1			2
		2	-1		3		-1							Исключая			с	помощью первой строки
		2	-1		3		-1			3				неизвестное				x1	из оставшихся строк,
B =		- 3		2	- 4		6			5				неизвестное				x1	из оставшихся строк,
B =														получим:
														получим:
		1	-1		1		2			6
		1	-1		1		2			6
1			2		-1		1	2
1			2		-1		1	2
														Исключая неизвестное x 2 с помощью
0			- 5		5		- 3			-1				Исключая неизвестное x 2 с помощью
0			- 5		5		- 3			-1				второй строки из последующих строк,
B ~	0		8		- 7		9	11						второй строки из последующих строк,
	0		8		- 7		9	11						получим:
	0		- 3		2		1	4
	0		- 3		2		1	4
1			2		-1		1		2
1			2		-1		1		2
			- 5		5		- 3		-		1			Исключая			с	помощью третьей строки
0			- 5		5		- 3		-		1			неизвестное x 3 из четвертой строки,
B ~	0		0		1		21 5		47 5					неизвестное x 3 из четвертой строки,
	0		0		1		21 5		47 5					получим:
	0		0		-1	14 5			23 5
	0		0		-1	14 5			23 5
1			2		-1		1		2					Матрица, а следовательно, и система
1			2		-1		1		2
			- 5				- 3		-
0			- 5		5		- 3		-		1			уравнений, приведена к треугольному
B ~	0		0		1		21 5		47 5					виду.

	0		0		0		7		14
	0		0		0		7		14
				x1 + 2 × x 2				- x 3 + x 4						= 2,					x		= 1,
						- 5 × x 2		+ 5 × x 3 - 3 × x 4 = -1,											x	1	= 1,
						- 5 × x 2		+ 5 × x 3 - 3 × x 4 = -1,												1	= 0,
												21				47		Û	x	2	= 0,
										x 3 +		21		× x 4	=	47		Û			= 1,
																	,		x 3
												5				5	,		x 3
												5				5					= 2.

													7 × x 4		= 14,				x 4
													7 × x 4		= 14,
			1 + 2 × 0 - 1 + 2 = 2,
				2 × 1 - 0 + 3 × 1 - 2 = 3,													Ответ {1; 0;1; 2}.
Проверка																	Ответ {1; 0;1; 2}.
			- 3 × 1 + 2 × 0					- 4 × 1 + 6 × 2 = 5,

1 - 0 + 1 + 2 × 2 = 6.

ПРИМЕР 2.14 Решить систему уравнений методом Гаусса

- x1 + 2 × x 2 - x 3 + x 4 = 1,2 × x1 - x 2 + x 3 - 3 × x 4 = -1,2 × x1 + 4 × x 2 - 2 × x 3 = 4,

x1 + 3 × x 2 - 2 × x 3 + 2 × x 4 = 4.

Решение. Вновь составим расширенную матрицу данной системы и выполняя элементарные преобразования над ней, получим

	-1		2 -1 1					1		-1 2		-1 1			1
	-1		2 -1 1					1		-1 2		-1 1			1
			-1 1 - 3									-1 -1
	2		-1 1 - 3					-1		0 3		-1 -1			1
B =			4 - 2 0					4		~	0 8	- 4 2		6		~
		2	4 - 2 0					4			0 8	- 4 2		6

	1		3 - 2 2					4		0 5		- 3 3			5
-1 2			-1		1			1		-1 2		-1 1			1
-1 2			-1		1			1		-1 2		-1 1			1
			-1		-1							-1 -1
0 3			-1		-1			1		0 3		-1 -1			1
~	0	0	- 4 3 14 3				10 3		~		0 0	- 4 14			10 ~

0		0	- 4 3 14 3				10 3			0 0		0	0		0
-1 2			-1	1		1
-1 2			-1	1		1
			-1 -1
~ 0		3	-1 -1			1 .
	0	0	- 2	7		5
	0	0	- 2	7		5

Матрица B ,					следовательно, и система уравнений, приведена к трапециевидной
форме.																7 × x 4 - 5						3 × x4	-1
- x 1 + 2 × x 2 - x 3 + x 4 = 1,														Тогда x 3 =		7 × x 4 - 5			, x2 =			3 × x4	-1
																								,
			3 × x 2 - x 3 - x 4 = 1,														2					2		,
			3 × x 2 - x 3 - x 4 = 1,														2	x4	+1			2
				- 2 × x 3 + 7 × x 4 = 5.												x1	=	x4	+1
																				.
																		2		.
																		2
Следовательно, общее решение системы запишется в виде
x	4	+1 3 × x				4	-1 7 × x				4	- 5
	4			,		4			,		4		, x 4	Î R
	2			,	2				,	2			, x 4	Î R
	2				2					2
Полагая, например, x 4										=1, найдем одно из частных решений {1;1;1;1}.
		ПРИМЕР 2.15 Методом Гаусса решить систему уравнений
x	1 + 2 × x 2 - x 3 = 7,
	× x1 - 3 × x 2 + x 3 = 3, .
2	× x1 - 3 × x 2 + x 3 = 3, .
	× x1 + x 2 - x 3 = 16
4	× x1 + x 2 - x 3 = 16
		Решение. Преобразуем расширенную матрицу системы
1		2 - 1						7		1 2				- 1	7	1 2			- 1		7
1		2 - 1						7		1 2				- 1	7	1 2			- 1		7
		-										- 7					- 7
2		-	3 1					3 ~ 0				- 7		3	- 11 ~ 0		- 7		3			- 11 .
		1 - 1										- 7		3					0
4		1 - 1						16		0		- 7		3	- 12	0 0			0			- 1

Итак, уравнение, соответствующее третьей строке последней матрицы, противоречиво – оно привелось к неверному равенству 0 = −1, следовательно, данная система несовместна.

2.6 ВЕКТОРЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ

ПРИМЕР 2.16 Доказать, что OA + OB + OC = O , если точка O есть центр

тяжести ABC (рис. 2.3).

Решение. Центр тяжести т. O

ABC находится в точке пересечения его

медиан. Пусть точка P есть середина отрезка AC.

Тогда по свойству медианы

= -

Построим на векторах

параллелограмм

AOCД.

Тогда

. Следовательно,

OД

OА

ОР

ОД

= 2 ×

= -

= O

ОД

ОВ

ОР

ОВ

Что и требовалось доказать.

ПРИМЕР 2.17 Вектора a и

b образуют угол

Рис. 2.3

j = 60o , причем

= 5,

= 8 . Определить

a + b

a - b

Решение. Вектора

- b

a + b

совпадают с диагоналями AC и ВД параллелограмма (рис. 2.4). Тогда по теореме косинусов

ВД2 = АВ2 + АД2 - 2 × АВ× АД× cos j

- 2

× cos j

= 52

- b

Рис. 2.4

89 -

80 ×

a - b

= 7.

AC2 + ВД2 = 2 × (АВ2 + АД2 ),

Так

как

параллелограмме

то

= 2 × (82 + 52 )- 49 =129

129.

+ b

= 7 .

Ответ.

129 и

+ b

a - b

−1},

ПРИМЕР

2.18

Доказать,

что

вектора

= {1; 2;5}, a 2 = {3; 2;

a3 = {2; −1;3} образуют базис в пространстве R3 .

Решение.

Вектора

, a 2

, a3 образуют

базис,

если определитель

третьего порядка, составленный из координат данных векторов, отличен от нуля.

D =

3 2 -1

= 6 - 4 -15 - 20 -1 -18 = -52 ¹ 0 .

-1

= {3;1;8} в

ПРИМЕР

2.19 Найти координаты

вектора

a 4

базисе

= {2; -1;3}.

a1 = {1; 2;5},

a 2

= {3; 2; -1}, a 2

Решение.

Из

примера

2.16

следует,

что

, a 2

, a3

образуют

базис в

пространстве R3 . Тогда вектор a 4 является линейной комбинацией базисных

векторов, т.е.

a 4

= l1 × a1

+ l2 ×a 2

+ l3 × a3

l1 ×{1; 2; 5}+ l2 ×{3; 2; -1}+ l3 ×{2; -1; 3} = {3;1;8}

Приравнивая одноименные

координаты

векторов, получим

систему трех линейных уравнений с тремя

l1 + 3 × l2 + 2 × l

3 = 3,

× l1

+ 2 × l2 - l

3 = 1,

неизвестными l1, l2 , l3 : 2

× l1

- l2 + 3 × l3 = 8.

Решим эту систему методом Гаусса

	1		3	2			3	1	3		2
	1		3	2			3	1	3		2
				-1					- 4		- 5
B = 2 2				-1		1 ~ 0			- 4		- 5
		-1 3							-16		- 7
	5	-1 3					8	0	-16		- 7
l + 3 × l				+ 2 × l			= 3,		l =1
	1		2		3					1
	4 × l2			+ 5 × l3 = 5, Û l						2 = 0,
				l3 = 1.							= 1.
				l3 = 1.					l3		= 1.

3	1	3	2		3

							Û
- 5 ~ 0		4	5		5
- 7		0	13		13
	0
	r		r		r	= {1; 0;1}.
Ответ. a		4 = a1		+ a3

ПРИМЕР 2.20 Дан прямоугольный треугольник ABC, у которого длина катета AB = 3, длина катета

AC = 4. На стороне AB взят вектор i , на стороне

AC - вектор j . Выразить вектор MC через векторы i и j , если точка M - середина стороны BC .

Рис. 2.5

Решение.

	1		1		1	r	r		r	r
MC =		× BC =		× (AC - AB)=		× (4 × j - 3	× i )= -	3	× i	+ 2 × j

2		2		2			2

r		Прямоугольная декартова система координат

	= OM = x × i + y			× j		+ z × k , то
Если a	= OM = x × i + y			× j		+ z × k , то
			r
					=		x2 + y2 + z2 .	(2.1)

			a

Если α,β, γ - углы между вектором a

и осями координат, то направляющие

косинусы радиуса-вектора a точки M(x; y; z) вычисляются по формулам

cos α =

, cos β =

, cos γ =

(2.2)

+ y2 + z2

x 2

+ y2

+ z2

x 2

+ y2

+ z2

Расстояние d между двумя точками M1 (x1; y1; z1 ) и M2 (x2 ; y2 ; z2 )

находится по формуле

d =

(x2 - x1 )2 + (y2 - y1 )2 + (z2 - z1 )2

M1M2

(2.3)

Если точка M0 (x0 ; y0 ; z0 )

делит

отрезок

[M1M2 ], где

M2 (x2 ; y2 ; z2 ) в отношении λ ,

= l ×

, то

т.е.

M1M0

M0 M2

находятся по формулам

x0 =

x1 + l × x2

, y0

y1 + l × y2

, z0 =

z1 + l × z2

1 + l

В частности, при λ = 1 точка M0

делит отрезок пополам, а

x0 =

x1 + x2

, y0 =

y1 + y2

, z0 =

z1 + z2

M1 (x1; y1; z1 ),

ее координаты

. (2.4)

(2.5)

ПРИМЕР 2.21 Найти длину медианы AD треугольника ABC с

вершинами A(2;1;4), B(1;7;6), C(5;3;2).(рис. 2.5)

Решение. Точка D делит отрезок BC пополам, тогда

xB + xC

1 + 5

= 3, yD =

yB + yC

7 + 3

= 5,

zB + zC

6 + 2

= 4 . Следовательно, D(3;5;4). Согласно формуле (2.3)

d =

(xD - xA )2 + (yD - yA )2 + (zD - zA )2

M1M2

(3 - 2)2 + (5 -1)2 + (4 - 4)2

Ответ:

17 .

ПРИМЕР

2.22 Вектор

координатами своих концов:

a = AB задан

A(2;1;-4) и B(1;3;2). Найти проекции вектора a = AB на координатные оси и

его направляющие косинусы.

= AB на

координатные оси:

Решение. Находим проекции вектора a

a x = xB - xA = 1 - 2 = -1,

a y = yB - yA = 3 -1 = 2,

a z = zB - zA =

= 2 - (- 4) = 6 , а модуль вектора в этом случае определяется по формуле (2.3)

(-1)2 + 22 + 62

41. Направляющие косинусы вычислим, используя

формулы (2.2) cos a =

−1

; cosb =

; cos g =

2.7 СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

× b векторов a и b

2.11 Скалярным произведением a

называется число, равное произведению модулей этих векторов на косинус угла

× cos j, где 0 ≤ ϕ ≤ π .

между ними, т.е. a × b =

Так как

× cos j = прar b ,

× cos j = прbr a

(см.

рис.2.6),

то

× b =

× прar b =

прbr a .

(2.6)

Свойства скалярного произведения:

Рис.2.6

: a × b = b × a ;

20 .

× b

= 0,

^ b или хотя бы один из векторов есть

нулевой вектор;

если a

;

30 . a

× a =

× b) для

λ R ;

40 . (l × a )× b

= a

× (l × b)= l × (a

× b

50 . a

× (b + c)

= a

+ a

× c .

; y1; z1 ),

b = (x2 ; y2 ; z2 ), то

Если a = (x1

= x1 × x2

+ y1 × y2 + z1 × z2 .

a × b

(2.7)

× b

= x1 × x2 + y1 × y2 + z1 × z2 = 0 .

Если a ^ b , то a

(2.8)

Угол между векторами a и b вычисляется по формуле

× b

x1 × x

2 + y1 × y2 + z1 × z2

cos j =

(2.9)

x12

+ y12 + z12 ×

x22 + y22 + z22

A(5; 6;5),

B(2; 6;1),

ПРИМЕР

2.23

Даны

вершины

C(9; 6; 2)треугольника ABC.

Определить внутренний угол треугольника при

вершине B .

выходящие из вершины B

Решение. Построим вектора

ABC.

Имеем

= {3; 0; 4},

= {7; 0;1}.

треугольника

Тогда по формуле

(2.9), получим

cos(

3 × 7 + 0 × 0 + 4 ×1

BA,

32 + 02 + 42 × 72 + 02 +12

внутренний угол треугольника при вершине B равен .

ПРИМЕР 2.24 Вычислить работу по перемещению материальной точки

вдоль

отрезка

ВC из

точки B(2; 4;3)

точку

C(6;5;8) под действием

постоянной по величине и направлению силы F = {3; 4; - 2}.

Решение. Так как работа

вычисляется

по

формуле

A = F ×S и

S = BC = {4;1;5}, то A = F ×S = 3 × 4 +1× 4 - 2 ×5 = 6 .

Ответ: A = 6 .

= {2;−1;3}, b = {1;-3;2},

= {3;2;−4}.

ПРИМЕР 2.25 Даны три вектора

= {x1; x2 ; x3}, удовлетворяющий условиям: a × x =

Найти вектор x

9 , b × x = 3

и c ^ x .

Решение. Из условия векторов (2.8) и формулы (2.7) имеем

= 9,

2 × x1 - x2 + 3 × x3 = 9,

× x

= 3,

- 3

× x2

+ 2 × x3 = 3,

× x

+ 2 × x

- 4 × x

= 0.

^ x.

3 × x

Решая систему уравнений методом Гаусса, получим

2 -1 3

- 3 2

-1

5 -1

B = 1 - 3

3 ~ 0

3 ~

3 2 - 4

11 -10

1 - 8

-15

- 9

- 3 2

x1 - 3 × x2 + 2 × x3 = 3,

- 8

x2 - 8 × x3 = -15,

~ 0

-15 . Тогда,

получим систему

39 × x3 = 78.

x1 = 3 × x2 - 2 × x3 + 3,

x1 = 2,

x2 = 8 × x3 -15,

=1,

= {2;1;2}.

Ответ:

x3 = 2.

= 2.

= {5;2;5} на направление

ПРИМЕР 2.26 Вычислить проекцию вектора a

вектора b = {2;-1;2}.

× b

Решение.

Согласно формуле (2.6)

прbr a

. Воспользуемся (2.7) и

(-1)+ 5

× 2 =10 - 2 +10 = 18 ,

22 + (-1)2 + 22 = 3

(2.1): a × b = 5 × 2 + 2 ×

		r	× b		18
r	=	a	× b	=	18	= 6 .	r	= 6 .
Следовательно, прbr a			r				Ответ: прbr a
					3

			b

2.8 ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.12 Векторным произведением a ´ b вектора a на

вектор b называется вектор c , удовлетворяющий условиям:

1) длина вектора c численно равна площади параллелограмма построенного

на векторах a и b как на сторонах,

т.е.

×sin j, где ϕ - угол

между векторами a и b ;

^ b ;

c a , c

вектор c направлен в ту сторону, что, если смотреть из его конца вдоль

вектора c , то кратчайший поворот вектора a к вектору b виден

совершающимся против движения часовой стрелки.

Векторное произведение обладает свойствами:

. a

´ b = -(b ´ a ).

20 . a ×a = 0 .

. a

´ b = 0 , если a = l × b или хотя бы один из векторов есть нулевой вектор.

´ (l × b)для λ R .

40 . l × (a ´ b)= (l × a )

´ b = a

. a

´ (b + c)= a ´ b + a ´ c .

; z1 ), b = (x2 ; y2 ; z2 ) заданы своими координатами, то

Если a = (x1; y1

´ b =

(2.10)

ПРИМЕР

2.27

Сила

F = {1;5;2}

приложена к точке M(3;1;−4).

Определить момент этой силы относительно точки N(5;2;−1).

Решение. Моментом силы F, приложенной к точке M , относительно

точки N называется вектор

´ F .

= {- 2;-1;-3}. Тогда

По условию

согласно формуле (2.10)

- 2

-1

- 3

Ответ: {13;1; −9}.

NM ´ F

= 13× i

+ j - 9 × k .

ПРИМЕР

2.28

Даны

вершины

A(2;3;1),

B(4;1;−2), C(6;3;7) треугольника ABC (рис. 2.7).

Вычислить площадь S этого треугольника.

(рис.2.7).

Решение. Найдем векторы

Имеем

= {2;-2;-3},

= {4;0;6}. Тогда

Рис. 2.7

AB´ AC =

2 - 2 - 3

= -12 × i - 24

× j + 8

× k .

Так как площадь параллелограмма ABCД равна

, то

=14 .

(-12)2 + (- 24)2 + 82

874

ПРИМЕР 2.29 Вычислить площадь параллелограмма S, построенного на

векторах m + 3 × n и 2 × n + m , если

=1,

(m, n)= 45o .

Решение Найдем векторное произведение данных векторов, используя его

свойства: (m +

3 × n)´ (2

× n

+ m)= 2

× m ´ n

+ 6 × n ´ n + m ´ m +

+ 3 × n ´ m = -2 × n ´ m + 3 × n ´ m = n ´ m.

Вычислим модуль полученного вектора:

n ´ m

×sin 45

2 ×1×

= 1.

Итак,

S =1 кв.ед.

2.9 СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.13 Смешанным (a ´ b)× c или векторно-скалярным

число, равное

произведением

трех

называется

векторному

векторов a, b, c

произведению векторов a ´ b умноженному скалярно на вектор c .

= 0 , если векторы компланарны.

Свойства: 10 . (a

´ b)× c

r r

. (a

´ b)× c =

(b ´ c)× a

= (c ´ a)× b = -(a ´ c)× b

= -(c ´ b)× a = -(b ´ a )× c .

= (x1; y1; z1 ),

b = (x2 ; y2 ; z2 )

Если a

, c = (x3 ; y3; z3 ), то

´ b)× c

(2.11)

С геометрической позиции, модуль смешанного произведения численно

r r

равен объему V (рис. 2.8) параллелепипеда построенного на векторах a, b, c как на ребрах, т.е.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 128 9 10 11 12 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
15.11.2019705.02 Кб17Uchebnoe_posobie_ET_chast_1.doc
#
17.03.20153.41 Mб286Uchebnoe_posobie_GIS_elektrichesky_karotazh.pdf
#
26.09.201936.66 Mб67Uch_posobie_Nurutdinova_R_G.doc
#
17.03.20152.89 Mб92Uch_posobie_Nurutdinova_R_G.pdf
#
17.03.201534.76 Mб643Uch_pos_GiK_Nov (2).doc
#
17.03.20152 Mб26UMK1.pdf
#
17.03.2015308.74 Кб16UMK_Ist_Ros_dlya_neftyanogo.doc
#
23.11.201932.4 Mб8UMP_dlya_ES09_UGNTU_2011.doc
#
17.03.2015449.54 Кб14UMP_po_grammatike_Chast_1 англ.doc
#
17.03.2015586.24 Кб17UMP_po_grammatike_Chast_2англ.doc
#
17.03.2015954.88 Кб438UMP_po_kach_kislotno_osnovnomu_analizu2008.doc