Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Уфимский Государственный Нефтяной Технический Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

UMK1

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

17.03.2015

Размер:

2 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 129 10 11 12 > Следующая >>>

V =

(2.12)

(a ´ b)× c

ПРИМЕР

2.30

Даны

векторы

= {1;2;−1},

b = {2;2;3},

= {0;1;4}.

Вычислить (a ´ b)× c .

Решение. По формуле (2.11), имеем

-1

= 8 - 2 -16 - 3 = -13.

2 2 3

´ b)× c =

Рис. 2.8

= -13.

Ответ: (a

´ b)× c

x R векторы

ПРИМЕР

2.31

При

каком

значении

a = {1;3;0},

b = {2;0;6},

= {x; 0;3} компланарны?

Решение. Векторы a, b, c компланарны, если (a

´ b)× c = 0 . Тогда

= 0 Û 18 × x -18 = 0 Û x =1.

Ответ: 1.

ПРИМЕР 2.32 Вычислить V параллелепипеда построенного на векторах

= {1; 4;3},

= {0; 2;5},

= {2;3;1}.

Решение Согласно формуле (2.12) V =

´ b)× c

2 + 40 -12 -15

=15.

Ответ: V = 15 куб.ед.

ПРИМЕР 2.33 Вычислить объем пирамиды ABCД и длину высоты,

проведенной

из

вершины

Д,

если A(2;3;1),

B(4;1; − 2),

C(6;3; 7),

Д(− 5; − 4;8).

Решение. Так как объем пирамиды V составляет шестую часть объема параллелепипеда, построенного на векторах AB, AC, АД, то

V= 1 × (AB´ AC)× АД , 6

= {2;-2;-3},

= {4;0;6},

= {- 7;-7;7}.

где

АД

Следовательно,

− 2

− 3

(

)×

= 308 .

Тогда, V =

308

154

AД

- 7

Для вычисления высоты h д

пирамиды воспользуемся формулой V =

× h × S ,

где S - площадь треугольника ABC . Имеем S =

. Тогда

- 24;8}.

AB ´ AC =

- 2

- 3

= -12 × i

- 24 × j +

8 × k = {-12;

= 28 и S =

× 28 = 14 .

Следовательно,

(-12)2

+ (- 24)2 + 82

154

× h д ×14

Û h

д = 11.

Итак,

Ответ: V = 154 3 куб.ед., h д = 11 ед.

УЧЕБНО - МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС

РАЗДЕЛ 1 «ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА»

3. МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ

3.1КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1.Матрицы. Виды матриц. Действия над матрицами.

2.Определители. Свойства определителей.

3.Алгебраические дополнения и миноры.

4.Вычисление определителей.

5.Невырожденная матрица. Обратная матрица. Нахождение обратной матрицы. Ранг матрицы.

6.Матричный метод решения систем линейных уравнений. Формулы Крамера.

7.Метод Гаусса решения систем алгебраических линейных уравнений.

8.Скалярные и векторные величины.

9.Действия над векторами.

10.Угол между векторами. Проекция вектора на ось.

11.Линейные комбинации векторов. Базис.

12.Прямоугольная декартова система координат.

13.Линейные операции над векторами, заданными в координатной форме.

14.Скалярное произведение векторов и его свойства. Приложения скалярного произведения.

15.Векторное произведение векторов и его свойства. Приложения векторного произведения.

16.Смешанное произведение векторов и его свойства. Приложения смешанного произведения.

3.2 ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ

1	2		4	− 2
3.2.1. Даны матрицы A =		,	B =		, C = (1 5 6),
	5			0
3	5		1	0

	2 1 0				3			5 1		2			1	3 4
D =			, M =						, N =				1	3 4
	3 4 1					4 0 2					4
	3 4 1					4 0 2					4	, P =	- 2	,
	-1 2 5					3	- 2 1				3		- 2	1 3
	-1 2 5					3	- 2 1				3
	3	1		1	0		0

K =	2	4 , E	= 0 1				0 .
	0	5		0	0		1
	0	5		0	0		1

	Найти
1)	A + B;	7)	D × M;
2)	2 A - 3 B;	8)	M × N;
3)	A + M;	9)	N × D;
4)	A × B;	10)		C × D;
5)	B × A;	11)		D × C;
6)	3 D;	12)		P × K;
	Ответы:

1)		5	0
1)				;
	4		5
2)	− 10			10
2)					;
		3		10
3)	Æ;
4)		6	− 2
4)			− 6		;
	17		− 6
5)	− 2			− 2
5)					;
		1		2

13)P × N;

14)C × N;

15)A 2 ;

16)(A + B)2 ;

17)A 2 + 2 AB + B2 ;

18)DT ;

		29

8)	14		;
		1
		1
9)	Æ;

10) (11 33 35);

11) Æ;

	9	33
12)		;
− 5		17

19)	M T ;	25)	M × E T ;
20)	DT + M T ;	26)	E × K;
21)	(D + M)T ;	27)	C × E.

22)D × E;

23)E × D;

24)E T ;

15)		7	12		22) D;
15)				;	22) D;
	18		31
16)		25	0		23) D;
16)				;	23) D;
	40		25
17)		33	0		24) E;
17)				;	24) E;
	56		17
		2	3	− 1

18)	5		0	- 2 ;	25) M;
		1	2	1
		1	2	1
		3	4	3

19)	5		0	- 2 ;	26) K;
		1	2	1
		1	2	1

	6	3	0				26
	9	12	3				26
6)	9	12	3	;		13)	;
	- 3	6	15				9
	- 3	6	15
	10	10	4
						14) (40);
7) 28		13	12		;	14) (40);
	20	-15	8
	20	-15	8

3.2.2. Умножить матрицы

		0	0	1			-1			-1
		1	1				-1			-1	4
1)		1	1	2		×			2	2	4
1)						×			2	2	×	;
		2	2
		2	2	3					1	1	1
			3						1	1
	3		3	4
	1		− 3		2				2	5	6
			- 4
3) 3			- 4		1			× 1		2	5 ;
		2	- 5		3					3
		2	- 5		3				1	3	2

Ответы:

	5	7	2

20) 6		4	0	;	27) C.
	1	3	6
	1	3	6
	5	6	1

21) 7		4	3	;
	2	0	6
	2	0	6

	5	0	2	3		6
						- 2

2) 4 1			5	3	×	7	;
	3	1	-1	2
						4

5		8	− 4	3		2	5

4) 6		9	- 5	× 4		-1 3 .
	4 7		- 3		9	6	5

					5				56			1 5		− 5			11 − 22			29
					15				56			1 5		− 5			11 − 22			29
					15														- 27
								2)			3)		3 10	0		4)		9
				1)	25	;		2)	69 ;		3)		3 10	0	;	4)		9		32 .
					25				17				2 9	- 7					-17
					35				17				2 9	- 7			13		-17	26
					35
	3.2.3.			Найти		значения				многочлена				2 × A 2 + 3 × A + 5 × E						при
	1	1	2		1		0	0

A = 1		3 1		и E = 0			1	0 .
	4	1	1				0	1
	4	1	1		0		0	1

	28	15	16

Ответ: 19		36	15	.
	30	19	28
	30	19	28

3.2.4. Вычислить определители методами:

1) треугольников; 2) по теореме разложения; 3) по теореме разложения с предварительным получением нулей

	1	3	5				2	4	-1			2	1	1
	1	3	5				2	4	-1			2	1	1
1)	0	2	1	;		2)	7	3	2	;	3)	3	2	1	;
	4	1	2				3	1	- 2			1	4	- 3
	2	4	-1				4	7	1
	2	4	-1				4	7	1
4)	- 4 2 1				;	5)	2	3	- 4	.
	3	1	5				8	1	3

				Ответы:
								1) – 25; 2) 66;						3) 0;			4) 120;				5) – 236.
		3.2.5. Вычислить определители
1)		− 1				2)			− 3			3)					4)
	2		1	0			2	3		4			8	7	2	0			1	2	3	4
	2		1	0			2	3		4			8	7	2	0			1	2	3	4
	0	1	2	-1	;		2	1	-1	2	;		- 8	2	7	10		;	5	6	7	8	.
	3	-1	2	3	;		6	2	1	0	;		4	4	4	5		;	9	10 11 12			.
	3	-1	2	3			6	2	1	0			4	4	4	5			9	10 11 12
	3	1	6	1			2	3	0	- 5			0	4	- 3 2				13 14 15 16

Ответы: 1) 0; 2) 48;

3) 1800;

4) 0.

3.2.6. Решить уравнения

- 4

4 5 -1

= 0;

-1 3

= 0;

-1

x + 10

3 x

− 1

;

x + 1 − 5

= 0;

2 x − 3

x − 1

4 sin x

= 0;

cos 8 x

- sin 5 x

= 0.

cos x

sin 8 x

cos 5 x

Ответы:

x1 = −10;

1) x = −3;

3) x = 12;

x2 = 2;

π n

x = (-1)n ×

5) x ;

6) x = 2;

12 2

n Î Z;

3)2 x − 4 = 0;

1 4

6)	x 2 - 4		-1	= 0;
	x	- 2	x + 2

4) x1	= -	1	, x	2	=	3	;

	6				2

8) x = π (2 n + 1), n Î Z. 6

3.2.7. Решить неравенства
	3	− 2				1								2		x + 2			− 1							1 sin x			2
	3	− 2				1								2		x + 2			− 1							1 sin x			2
1)	1		x - 2					< 0;					2)	1			1		- 2		> 0; 3)					0		1	- 2	³ 0.
	-1 2 -1													5 - 3						x						-1		0	- 2
Ответы:
1) x (4;+∞); 2) x (− 6;−4); 3) x [2 π k; (2 k + 1)π], k Z
3.2.8. Найти обратные матрицы
	2				2 − 3										1 2			− 3									1 0 0
												2) B =
1) A = 1					-1 0 ;							2) B =			0 1				2 ;			3) E =					0 1 0 ;
		-1			2		1									0 0			1
		-1			2		1									0 0			1								0 0 1
																						6)					3 − 5 7
		2		3											1		2						1				3 − 5 7
		2		3								5) D =
4) C =					;							5) D =				3 4 ;							0				1 2 - 3
	1			4																		K =							.
	1			4												5						K =					0	1	.
																5	6						0				0	1	2
																											0	0
																							0				0	0	1
Ответы:																1 − 2
		1 7 8 7									3 7					1 − 2				7				1			0 0

	1) 1 7 1 7										3 7 ; 2)					0 1				- 2 ;			3) 0				1 0 ;
			-1 7 6 7																	1					0
			-1 7 6 7								4 7					0 0				1					0		0 1
																									1		− 3	11	− 38
		4 5 - 3 5																									1 - 2
		4 5 - 3 5											5)			;							6)	0			1 - 2		7
	4)										;		5)			;							6)								.
			-1 5 2 5																						0		0	1	- 2
			-1 5 2 5																						0		0	1	- 2
																											0	0	1
																								0			0	0	1
3.2.9. Решить матричные уравнения
		1		2						3	5								2					2
1)		1		2	× C =					3	5		;				2)		2	1				2			1
1)					× C =								;				2)				× C =						;
	3			4					5		9							2 1					2 1
3) C ×				2 1			=		1		0						4)	3		-1			× C ×	5			6	14 16
3) C ×							=						;				4)			-			× C ×					=		.
				1 2					0		1							5		-		2		7			8	9	10
Ответы:
	-1				-	1							a			b				3)								1	2
	-1				-	1						- 2a 1					,			2 3			-1 3					1	2
1)						; 2)					2	- 2a 1				- 2b				2 3			-1 3					4)		.
																											;
	2				3						a, b Î R;																	3	4
											a, b Î R;									-1 3 2 3

3.2.10. Решить системы уравнений по формулам Крамера и матричным способом

2 x − 3 y + 5 z = −7,		2 x − y + z = −4,
			+ y − z = −1,
1) x + y + z = −4,		4) 3 x
5 x + 3 y − 4 z = 11.		4 x − 2 y + 3 z = −7.

2 x + 3 y − 4 z = −4,		2 x + z = 6,
	= 22,
2) 3 x + 2 y + 5 z		5) 2 y − z = 2,
x − y + z = 2.		3 x − 4 y = −2.
			1 + 3 x 2 + 11x 3 + 5 x 4 = 2,
x + 3 y − 3 z = 13,		2 x
			+ x 2 + 5 x 3 + 2 x 4 = 1,
	= −10,	x1
3) 2 x − 3 y + 3 z		6)
		2 x1 + x 2 + 3 x 3 + 2 x 4 = −3,
x + z = 0.			+ x 2 + 3 x 3 + 4 x 4 = −3.
		x1
Ответы:
1) x = 1, y = −2, z = −3;		3) x = 1, y = 3, z = −1;
2) x = 1, y = 2,	z = 3;	4) x = −1, y = 3, z = 1;
5) x = y = z = 2;		6) x1 = −2, x 2 = 0, x 3 = 1, x 4 = −1.

3.2.11. Решить системы уравнений методом Гаусса

2 x − 5 y + 4 z = 11,
	− 3 y − z = 17,
1) 7x

16 x − 11 y + 2 z = 20.

2 x + y − z = 11,
	+ 2 y − 4 z = 15,
3) 3 x
	+ 3y − 7z = 19.
4 x
x + 3 y − 4 z = 5,
	− 3 y + 6 z = 11, .
5) 2 x
8 x − 3 y + 10 z = 21
	1 + x 2 + x 3 = 2,
2 x
	+ 3 x 2 + x 3 = 5,
x1
7)	+ x 2 + 5 x 3 = −7,
x1
	1 + 3 x 2 − 3 x 3 = 14.
2 x

2 x − 3 y + 5 z = −7,

2) x + y + z = −4,

5 x + 3 y − 4 z = 11.

2 x + 3 y − 5 z = 4,
	+ 6 y − 10 z = 8,
4) 4 x
8 x + 12 y − 20 z = 16.
	+ 2 y + z = 5,

3 x
	+ 3 y + z = 1,
6) 2 x
	+ y + 3 z = 11.
2 x
x1 + x 2 − 3 x 3 = −1,
	1 + x 2 − 2 x 3 = 1,
2 x
8)	+ x 2 + x 3 = 3,
x1
	+ 2 x 2 − 3 x 3 = 1.
x1

x1 − 2 x 2 + 3 x 3 − 4 x 4 = 4,
	− x 3 + x 4 = −3,
x 2	− x 3 + x 4 = −3,
9)	+ 3 x 2 − 3 x 4 = 17,
x1	+ 3 x 2 − 3 x 4 = 17,

− 7 x 2 + 3 x 3 + x 4 = −3.
3 x		1 + x 2 − 2 x 3 + x 4 − x 5 = 1,
				+ 7 x 3 − 3 x 4				+ 5 x 5		= 2,
2 x1 − x 2				+ 7 x 3 − 3 x 4				+ 5 x 5		= 2,
11)		+ 3 x 2		− 2 x 3 + 5 x 4				− 7 x 5		= 3,
x1		+ 3 x 2		− 2 x 3 + 5 x 4				− 7 x 5		= 3,
3 x		1	− 2 x	2	+ 7 x	3	− 5 x	4	+ 8 x	5	= 3.
		1		2		3		4		5

x1 + 3 x 2 + 2 x 3 = 0,
	− x 2 + 3 x 3 = 0,
2 x1
10)	− 5 x 2 + 4 x 3 = 0,
3 x1


x1 + 17 x 2 + 4 x 3 = 0.
λ x + y + z = 1,
	+ λ y + z = λ,
12) x	+ λ y + z = λ,
	2
x	+ y + λ z = λ .

Ответы:

2) x = 1, y = −2, z = −3;

1) Система несовместна;

3) x = 7 − 2 z, y = −3 + 5 z, z R;

4) x = 2 −

y +

z, y R, z R;

5) Система несовместна;

6) x = 2, y = −2,

z = 3;

7) x1 = 1, x 2

= 2, x 3

= −2;

8) Система несовместна;

x1 = −8, x

2 = 3 + x

4 ,

= −

x 3 , x 2 = −

, x 3 R;

10) x1

x 3

x 3 = 6 + 2 x 4 , x 4 R;

11) Система несовместна;

(λ + 1)2

12) Если (l -1)× (l + 2) ¹ 0 , то

x = −

λ + 1

;

y =

z =

. Если

λ + 2

λ = 1, то система имеет решения зависящие от двух параметров. Если λ = −2 , то система несовместна.

3.2.12. Даны

= 13,

= 19,

= 24 . Вычислить

−

= 22 .

Ответ:

= 11,

= 23,

−

= 30 . Вычислить

3.2.13. Даны

= 20 .

Ответ:

3.2.14. Векторы

взаимно перпендикулярны. Вычислить

−

= 5,

= 12 .

, если

−

= 13 .

Ответ:

ϕ = 600 .

3.2.15. Векторы

образуют угол

Вычислить

−

= 5,

= 8.

, если

−

= 7 .

Ответ:

129,

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 129 10 11 12 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
15.11.2019705.02 Кб17Uchebnoe_posobie_ET_chast_1.doc
#
17.03.20153.41 Mб286Uchebnoe_posobie_GIS_elektrichesky_karotazh.pdf
#
26.09.201936.66 Mб67Uch_posobie_Nurutdinova_R_G.doc
#
17.03.20152.89 Mб92Uch_posobie_Nurutdinova_R_G.pdf
#
17.03.201534.76 Mб643Uch_pos_GiK_Nov (2).doc
#
17.03.20152 Mб26UMK1.pdf
#
17.03.2015308.74 Кб16UMK_Ist_Ros_dlya_neftyanogo.doc
#
23.11.201932.4 Mб8UMP_dlya_ES09_UGNTU_2011.doc
#
17.03.2015449.54 Кб14UMP_po_grammatike_Chast_1 англ.doc
#
17.03.2015586.24 Кб17UMP_po_grammatike_Chast_2англ.doc
#
17.03.2015954.88 Кб438UMP_po_kach_kislotno_osnovnomu_analizu2008.doc