Методичка для тех.спец. математика

Глава I. МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ

§ 1. Свойства определителей 2-го и 3-го порядков

Учебники: Ефимов Н.В., Приложение, §§ 1-6. Беклемишев Д.В., гл. V, §§ 1-5.

Ильин В.А., Позняк Э.Г., гл. 1, Дополнение.

Приняты обозначения:

I. − символ принадлежности. Так, например, если A − точечное множество, x − точка, то x A означает, что x есть элемент множества A .

II. − символ части. Например, запись A B следует читать так: подмножество A есть часть множества B, если A и B − точечные множества.

III. −следует, следствие. Так, запись A B означает, что из утверждения (предложения) A следует утверждение (предложение) B .

IV. : необходимо и достаточно; тогда и только тогда. A B : из A следует B и из B A ; утверждение A справедливо тогда и только тогда (необходимо и достаточно), когда справедливо утверждение B.

a

V. → символ соответствия. Так, например, если A и B множества, то

A → B означает, что каждому элементу из A ставится в соответствие некоторый элемент множества B.

VI. −квантор всеобщности, для любого, всех. Так, например, символx X следует понимать так: для произвольного элемента множества X ; для всех элементов множества X ; для любого элемента множества X .

VII. − квантор существования (существует).

VIII. R − множество действительных чисел.

где a ij − элементы матрицы A , a ij R, первый индекс i = 1, m указывает на номер строки, а второй − j =1, n на номер столбца, на пересечении которых на-

ходится элемент

2

Если m = n , то матрица (1) называется квадратной − n -го порядка.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Определителем 2-го порядка, соответствующим квадратной матрице (3), называется число, обозначаемое A (A a A ) и опре-

деляющееся по следующему правилу:

Обратим внимание читателя на то, что в случае «+» основания треугольников параллельны левой главной диагонали, на которой расположены элементы a11 , a 22 , a 33 , и параллельны правой главной диагонали с элементами a13 , a 22 , a 31 в случае « – ».

3

§ 2. Алгебраические дополнения и миноры

Возьмем для определенности определитель третьего порядка:

ирассмотрим, например, его элемент a 31 . Мысленно зачеркнем третью строку

ипервый столбец, на пересечении которых находится этот элемент. Тем самым из оставшихся элементов (1) образуем число

которое называется алгебраическим дополнением элемента a 31 . Определитель

a i j квадратной матрицы A , не забывая умножить минор Mi j на (− 1)i+ j

( i + j − сумма номера строки и номера столбца элемента a i j ).

Теорема 1. Определитель равен сумме произведений элементов какогонибудь его столбца (или какой-нибудь ее строки) на их соответствующие алгебраические дополнения. Например (см. 1), = a12 A12 + a 22 A 22 + a 32 A32 ;

= a 31A31 + a 32 A32 + a 33A33 .

Теорема 2. Сумма произведений элементов какого-нибудь столбца (или какой-нибудь строки) определителя на алгебраические дополнения соответствующих элементов другого столбца (или другой строки) равна нулю.

то есть, чтобы умножить матрицу на число, надо каждый элемент матрицы умножить на это число. Имеют место следующие свойства:

4

10 . A + B = B + A − коммутативное свойство;

A + (B + C) = (A + B) + C − ассоциативное свойство.

20 . (α + β)A = αA + βA − распределительное свойство относительно чи-

слового множителя; α(A + B) = αA + αB − распределительное свойство относительно множителя - матрицы.

30 . (αβ)A = α(βA) − ассоциативное свойство относительно числового множителя.

2 . Умножение матриц. Эту операцию поясним сначала на примере. AB выполнимо , когда A имеет размерность (m × p), B имеет размерность p × n (число столбцов 1-го множителя = числу строк 2-го множителя). Тогда

AB имеет размерность (m × n). Каждая строка 1-го множителя порождает соответствующую строку произведения, будучи умноженной на каждый столбец второго множителя “ скалярно”. Например,

Для произведения матриц справедливы следующие свойства:

10 . AB ¹ BA ;

20 . A(BC) = (AB)C − ассоциативное свойство;

30 . A(B + C) = AB + AC; (A + B)C = AC + BC − распределительные

свойства.

3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Квадратная матрица A называется невырож- денной (вырожденной), если ее определитель A ¹ 0 (A = 0).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Матрица B называется обратной к матрице A , если AB = BA = E , где E - единичная квадратная матрица, т.е. по левой главной диагонали стоят единицы, а остальные ее элементы равны нулю.

Например, единичная квадратная матрица третьего порядка

BA - n ´ n m = n = p . Таким образом, обе части матрицы в последнем определении должны быть квадратными одного и того же порядка.

6

ренной матрице B системы (1) последняя восстанавливается однозначно. В дальнейшем (§5) расширенную матрицу будем записывать так:

то есть отделяя столбец свободных членов вертикальной чертой. Введем вспомогательные определители

Чтобы проверить равенства (6) - (8) достаточно воспользоваться теоремой 1 § 2. Предполагая невырожденной матрицу A (A ¹ 0), можно показать,

Формулы (10-12) называются формулами Крамера.

Теорема. Если матрица (2) системы (1) не вырождена, то система (1) допускает решение, оно единственно и определяется по формуле (9).

7

§ 5. Метод Гаусса решения системы алгебраических линейных уравнений (метод исключения)

Элементарными преобразованиями матрицы называются следующие преобразования:

10 . Перестановка местами произвольных 2-х строк (столбцов).

20 . Умножение строки (столбца) матрицы на отличное от нуля число.

30 . Прибавление к элементам строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца), предварительно умноженных на одно и то же число.

Элементарным преобразованиям подвергаются (в случае алгебраических линейных систем) только строки расширенной матрицы B, что позволяет преобразовать исходную линейную систему уравнений в равносильную. С помощью элементарных преобразований строк можно привести матрицу B к виду, когда ниже левой главной диагонали все элементы равны нулю.

Далее условимся в следующем:

α(p) означает, что каждый элемент p − й строки (строки с номером p ) умножается на число α ;

α(p) + β(q) − к элементам строки q , предварительно умноженным на число β , прибавляются одноименные элементы строки p , предварительно ум-

| мы добились того, что в первом столбце все элементы равны нулю, кроме a11 = 1. Аналогичные преобразования проводим с остальными строками матрицы, начиная со второй, но так, чтобы a 22 = 1, а остальные элементы столбца становились равными нулю.|

8

Ответ: {45,40,45,39}.

Проверка. 40 − 48 + 45 − 39 = −2; 48 + 80 − 90 − 39 = −1; 96 − 40 −135 + 78 = 56 − 57 = 1; 48 + 80 + 135 − 273 = 263 − 273 = −10.

Все четыре равенства - верные равенства.

Замечание. В расширенной матрице, по которой однозначно восстанавливается алгебраическая линейная система, надо, в первую очередь, сделать такие элементарные преобразования:

10. Если a11 ¹ 1, то на первую строку поместить ту строку, первый элемент которой равняется единице.

20. Если нет строки с первым элементом, равным единице, то можно попытаться с помощью элементарных преобразований строк получить такую строку. Например, если a11 ¹ 0;1, то первую строку поделить на a11 .

ПРИМЕР 2. Сразу выписываем расширенную матрицу, т.к. по ней систе-