Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Уфимский Государственный Нефтяной Технический Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Методичка для тех.спец. математика

.PDF

Скачиваний:

Добавлен:

17.03.2015

Размер:

2 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 167 8 9 10 11 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

						59
В прямоугольной декартовой системе координат указанные окрестности
определяется соответственно условиями: (x − a )2 + (y − b)2 < δ2 ,										где M(a, b)
(x − a)2 + (y − b)2 + (z − c)2				< δ2 , где M(a, b, c).
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.					Точка	M T называется внутренней точкой
множества T, если δ − окрестность т. M , принадлежащая T.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3.				Множество T на плоскости (в пространстве) назы-
вается открытым, если т. M T ее δ − окрестность, входящая в множе-
ство T, то есть все точки T должны быть внутренними.
Множество T называется связным, если две точки этого множества
можно соединить непрерывной линией, состоящей из точек множества T.
Связное открытое множество называется областью.
2. ПРИМЕР 1. Найти область определения									y
функции z = ln(− x − y) и изобразить ее.									y
Решение.		− x − y > 0 ,			x + y < 0 . Рассмат-			− x		x
риваем прямую x + y = 0 , y = −x y < −x .								− x	0	x
Ответ: Множество точек плоскости,							нахо-	x		x + y = 0
дящихся ниже прямой y = −x (прямая, содержа-
щая биссектрисы 2-го и 4-го координатных уг-									Рис. 1
лов).									Рис. 1
лов).
ПРИМЕР		2.	Найти	область		определения			y
функции f(r,ϕ) = r			cos 2ϕ и изобразить ее.						y
функции f(r,ϕ) = r			cos 2ϕ и изобразить ее.
Решение.		cos2ϕ ≥ 0. Период функции ра-								0
	− π ≤ 2(ϕ + kπ) ≤ π ,									0
вен π .	− π ≤ 2(ϕ + kπ) ≤ π ,									x
	2		2
− π − kπ ≤ ϕ ≤ π − kπ .					В	силу	этого		Рис. 2
	4		4						Рис. 2
− π ≤ ϕ + kπ ≤ π , k Z .
4	4
Ответ: Множество точек, ограниченное прямыми y = x и y = −x и со-
держащее ось ox .										y
ПРИМЕР 3. Найти область определения										y
ПРИМЕР 3. Найти область определения
функции z = arcsin[2y + (1 + x 2 )−1] и изобразить ее.
Решение.										0
−1 ≤ 2y(1 + x 2 )−1 < 1, 0 ≤ 2y(1 + x 2 )≤ 2 ,										0
−1 ≤ 2y(1 + x 2 )−1 < 1, 0 ≤ 2y(1 + x 2 )≤ 2 ,										x
0 ≤ y ≤	1
0 ≤ y ≤	1 + x 2 .								Рис. 3
Ответ: Множество точек, ограниченное ли-

ниями y = 0	и y =	1	. (Рис. 3).
		1 + x2

§2. Частные производные и дифференциалы функций многих переменных. Касательная плоскость и нормаль поверхности

1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Если для функции
z = f (x, y)			(1)
точки M(x, y) и M* (x +	x, y +	y) D(z) − область определения функции
(1), то
z(x, y) = f (x +	x, y +	y) − f (x, y)	(2)

- полное приращение функции (1) в т. M(x, y) , которое соответствует прира-

щению

y независимых переменных x, y ;

x z(x, y) = f (x +

x, y) − f (x, y);

y z(x, y) = f (x, y +

y) − f (x, y)

(3)

- частные приращения соответственно по независимым переменным x и y ;

z′′(x, y) = lim

x z = lim

f (x + x, y) − f (x, y)

(4)

x→0

- частная производная функции (1) по x ;

z′′

(x, y) = lim

y z(x, y)

= lim

f (x, y +

x) − f (x, y)

(5)

x→0

y→0

- частная производная функции (1) по y . Вместо z′x (x, y)

употребляются обо-

∂z(x, y), ∂f (x, y) .

z′y

значения

′ (x, y),

То

же

самое

вместо

∂x

f ′ (x, y),

∂z(x, y), ∂f (x, y) . Из (4), (5) следует, чтобы найти частную производ-

∂y

ную z′x (zy′),

надо дифференцировать функцию f (x, y) по x , считая y(x) по-

стоянной.

x + y 2

x + y

Например, для z =

1 −

+ arcsin

x − y

x + y 2 ′

x + y

′

z′ =

−

x + y

1 −

x + y x + y ′

− 2

x + y 2

1 −

x + y ′
		=


	xy x

x + y x + y

′

x + y

−

x + y 2

xy xy

1 −

x + y

xy − (x + y)y

1 −

= −

( xy)

x + y 2

−

2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Функция (1) называется дифференцируемой в т. M0 (x 0 , y0 ), если ее полное приращение (в т. M 0 ) представимо в виде

z(x0 , y 0 ) = f (x0 + x0 , y 0 + y 0 ) − f (x0 , y 0 ) =						(6)
= A(x0 , y 0 ) x0 + B(x0 , y 0 ) y 0 +				0( ρ),

где
ρ =		; lim	0(	ρ)	= 0 ,
	( x0 )2 + ( y 0 )2					(7)

		p→0		ρ
то есть в виде двух слагаемых:
I = A(x0 , y 0 ) x + B(x0 , y 0 ) y 0 ;				II = 0( ρ),		(8)
где первое слагаемое I линейно относительно приращений x 0 ,						y0 независи-

мых временных x и y в т. M 0 , а второе слагаемое II - БМ величина более высокого порядка малости, чем Δρ.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3. Если функция (1) дифференцируема в т. M0 (x 0 , y0 ), то I слагаемое - главная часть полного приращения и функции -

называется дифференциалом (полным дифференциалом) функции	(1) в	т.
M0 (x 0 , y0 ) и обозначается одним из символов dz(x 0 , y0 ), df (x 0 , y0 ).
Итак, по определению,
dz(x0 , y 0 ) = A(x0 , y 0 ) x0 + B(x0 , y 0 ) y 0 .	(9)
Справедливы равенства
A(x0 , y 0 ) = fx′ (x0 , y 0 ) = fx′ (M 0 );	(10)
B(x0 , y 0 ) = fy′′(x0 , y 0 ) = fy′′(M 0 ).	(10)
B(x0 , y 0 ) = fy′′(x0 , y 0 ) = fy′′(M 0 ).
Из (9), (10) следует
dz(x0 , y 0 ) = df (x0 , y 0 ) = fx′ (x0 , y 0 ) x0 + fy′ (x0 , y 0 ) y 0 =
= fx′ (M 0 ) x0 + fy′ (M 0 ) y 0	(11)
При достаточно малом Δρ слагаемым II в (6) можно пренебречь. Это да-
ет формулу приближенного вычисления значения функции z = f (x, y)		в
т. M(x 0 + x 0 , y0 + y0 ):

f (x0 +

x0 , y 0 + y 0 ) ≈ f (x0 , y 0 )+ fx′ (x0 , y 0 )

x0 + fy′ (x0 , y 0 ) y 0

(12)

ПРИМЕР 1. Вычислить приближенно lg(

+ 2,033 ).

3,99

z = lg(

x + y3 ),

z′x

Решение.

(

+ y3 )2

ln10

;

z′y =

3y2

(

+ y3 )ln10

; x 0

= 4; y0

= 2; x 0

= −0,01;

y = 0,03 .

lg[

+ (y + y)3 ]≈ lg(

+ y3 )+

x + x

ln10

3y2

(

+ y3 )+

(

+ y

3 ) .

Для нашего случая имеем

− 0,01

12 0,03

lg(

3,99 + 2,033 )≈ lg10 +

ln10

= 1 +

(− 0,01 +1,44) = 1 +

1,43

≈ 1,0155 .

40 ln10

Ответ: 1,0155 .

ПРИМЕР 2. Найти дифференциал функции u = x yz .

Решение.

Находим частные производные

(ln u)′

(yz ln x)′

; u′

= x yz −1 y z ;

(ln u)′y

u′y

= (yz ln x)′y = (ln x)(yz )′y = zyz−1 ln x .

u′

= x yz zy z−1 ln x = y z x yz

ln x ;

= (yz ln x)′z ;

(ln u)′z

u′z

= (ln x)yz ln y ; u′z = x yz (ln x)y z ln y .

Согласно (3) имеем

du(x, y, z) = x y−1 y z dx + yz x yz

ln xdy + x yz (ln x)y z ln ydz .

Ответ:

x y−1 y z dx + y z x yz

ln xdy + x yz (ln x)y z ln ydz .

3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4.

Касательной плоскостью

α поверхности ω:

F(x, y, z) = 0 в т. M0 ω называется плоскость, в которой

содержатся все ка-

сательные к линиям ω и проходящим через т. M 0 .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 5.

Нормалью к ω в т.

M0 ω ,

называется прямая,

проходящая через т. M0

касательной плоскости α .

63
Если поверхность ωзадана общим уравнением
ω : F(x, y, z) = 0	(13)

иM0 (x 0 , y0 , z0 ) ω : F(x 0 , y0 , z0 ) = 0 , то уравнение касательной плоскости

αимеет вид

α : Fx′ (M0 )(x − x0 ) + Fy′ (M0 )(y − y0 ) + Fz′(M0 )(z − z0 ) = 0 ,

(14)

где x, y, z −	координаты	текущей	точки
T(x, y, z) касательной плоскости;
x 0 , y 0 , z 0 −	координаты	точки	касания
M 0 (x 0 , y0 , z0 ) (см. рис. 3).

Уравнение нормали к ω в т. M0 (x 0 , y0 , z0 ) есть

	x − x	0		y − y	0		z − z
l :		0	=		0	=	0	,	(15)
l :	F′′(M	)	=	F′′(M	)	=	F′′(M )	,	(15)
	x	0		y	0		z 0

где P(x, y, z) − текущая точка нормали l (см.

рис. 4).

ПРИМЕР 3. Найти уравнение касательной

P •

•T

•M 0

Рис. 4

плоскости и нормали к поверхности ω : 4 + x 2 + y 2 + z 2 = x + y + z в

т. M0 (2,3,6).

Решение. M 0 ω : 4 + 4 + 9 + 36 = 2 + 3 + 6; 11 = 11.

ω : 4 + x 2 + y 2 + z 2 − x − y − z = 0

(см. 13) F(x, y, z) = 4 + x 2 + y2 + z 2 − x − y − z ;

F′

−1; F′ =

−1; F′

−1.

x 2 + y2 + z 2

2 + y2 + z 2

x 2 + y2 + z 2

F′

) =

−1 = −

; F′ (M

) =

−1 = −

; F′(M

) = −

Согласно (14) и (15) имеем

α : 5(x − 2) + 4(y − 3) + (z − 6) = 0; l :

x − 2

y − 3

z − 6

Ответ:

5(x − 2) + 4(y − 3) + (z − 6) = 0;

x − 2

y − 3

= z − 6 .

§3. Производная функции, заданной неявно. Экстремум функций

двух переменных

1. Если функция z от двух независимых переменных x и y задана неяв-

но:

ω : F(x, y, z) = 0 ,

(1)

то ее первые частные производные

′′(x, y) = −

F′′(x, y, z)

z′′(x, y) = −

Fy′ (x, y, z)

;

(2)

Fz′′(x, y, z)

К формулам (2) можно придти, дифференцируя почленно (1) частным об-

разом по x и по y и учитывая зависимость z = z(x, y).

ПРИМЕР 1.

z = x + arctg

, z′x

= ?,

z′y

= ?.

− x

Решение.

I способ. z − x − arctg

= 0 . Согласно (1) и (2)

z − x

′

F = z − x − arctg

;

F′

= −1 −

z − x

z − x x

1 +

− x

= − 1 +

= − 1

;

− x)2 + y2

(z − x)2

1 +

z − x

′

z − x

F′ = −

= −

;

(

z − x

+ y

z − x

1 +

z − x

′

(z − x)2

Fz′ =

1 −

= 1 +

(z − x)2 + y2

(z − x)2

1 +

z − x

− x

= 1 +

(z − x)2 + y2

z′ = 1; z′

z − x

(z − x)2 + y2

z − x

− x)2 + y2 (z − x)2 + y2 + y (z

− x)2 + y2 + y

Ответ: −1;

z − x

(z − x)2 + y2+y

y ′

II способ. Согласно замечанию z′x

= 1 +

1 +

z − x

− x

(z′x −1)

y(z′x

−1)

= 1 +

; z

′x 1

−

− x)2

+ y2

(z − x)2 + y2

1 +

z − x

= 1 −

; z′x = 1.

(z − x)2 + y2

Аналогично, z′

y ′

(z − x) − y(z′y )

(

2 z

− x

+ y

1 +

z − x

z′y 1

; z′y =

(z − x)2

+ y2

(z − x)2 + y2

− x)2 + y2 + y

Получаем тот же результат.

2. Напомним,

что δ − окрестностью т. M0 (x 0 , y0 ) называется открытый

круг с центром в т. M 0

и радиуса δ :

(x − x0 )2 + (y − y 0 )2 < δ2 .

(3)

	66
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Говорят, что функция
z = f (x, y) достигает локального максимума (ло-		y
кального минимума) в	т. M0 (x 0 , y0 ), если		M	• δ
δ − окрестность т. M 0 ,	что для всех ее точек			• δ
δ − окрестность т. M 0 ,	что для всех ее точек
M(x, y) имеет место
f (x 0 , y0 ) ≥ f (x, y)	(f (x 0 , y0 ) ≤ f (x, y))	0		x
f (x 0 , y0 ) ≥ f (x, y)	(f (x 0 , y0 ) ≤ f (x, y))		Рис. 1

Локальный минимум и локальный максимум функции принято называть локальными экстремумами.

Теорема 1. (Необходимое условие локального экстремума). Если функция z = f (x, y) достигает локального экстремума в т. M0 (x 0 , y0 ) и в этой точке

частные производные, то

∂f	(M	0 ) = 0
∂x	(M	0 ) = 0
∂x
∂f (M 0 ) = 0
		(4)

∂y

В случае (4) т. M 0 (x 0 , y0 ) называется стационарной точкой функции z = f (x, y).

Теорема 2. (Достаточное условие локального экстремума). При выполнении условия (4)

A = f ′′	(M	0	), B = f ′′	(M	0	), C = f ′′	(M	0	).
xx		0	xy		0	yy		0

=A B , B C

(5)

(6)

если > 0 , то функция z = f (x, y) имеет в точке M 0 локальный экстремум, а именно: локальный максимум при A < 0 (или C < 0 ) и локальный минимум при A > 0 (или C > 0 ); если < 0 , то в т. M 0 локального экстремума нет; если же = 0, то вопрос остается открытым.

ПРИМЕР 2. Найти экстремум функции z = −x 2 + 3x − xy − y2 + 6y .

Решение. z′x = −2x + 3 − y; z′y = −x − 2y + 6

= −

xy = −

= −

(4):

z′′

Составляем

систему

2x + y = 3

x + 2y = 6

= 3;

x =

= 0;

= 9;

x 0 = 0; y0

= 3;

M0 (0,3).

A − 2 < 0; B = −1; C = −2 < 0;

− 2

−1

= 3 > 0 .

−1

Ответ: M0 (0,3) − точка локального максимума.

3. Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения непрерывной функции в ограниченной замкнутой области D , надо:

1)найти стационарные точки D и значения функции в этих точках;

2)найти наибольшее и наименьшее значения функции на границе ∂D области D ;

3)из всех найденных значений выбрать наибольшее и наименьшее.

ПРИМЕР

Найти

наименьшее и наибольшее

значения

функции

z = cos x cos y cos(x + y) в замкнутой области 0 ≤ x ≤ π,

0 ≤ y ≤ π.

Решение.

z′x

= − sin x cos y cos(x + y) − cos x cos y sin(x + y),

z′y

= − cos x sin y cos(x + y) − cos x cos y sin(x + y);

cos y sin(2x + y) = 0

sin(x + 2y) = 0

cos x

cos y = 0

согласно условно задачи.

cos x = 0

= 0 ;

Рис. 2

sin(2x + y) = 0

2x + y = 0, π

(0,0);

II)

+ 2y) =

+ 2y

= 0, π

;

sin(x

2π

z(0,0) = 1; z

cos

= −

cos y = 0

III)

= 0 .

sin(x + 2y) =

+ 2y

= 0, π

= 0

sin(2x + y)

y = 0

= 0

IV)

cos x = 0

y = 0

z = cos

z(0,0) = 1;

= 0 , так как

OA :

≤ x

≤ π

z =

z′x = −2 sin x cos x = 0;

x =

, π;

= z(π,0) = 0

z(0,0) = z

x = π

z = − cos y cos(π + y) = cos2 y;

z(π,0) = 1;

AB :

≤ y

≤ π,

z(π, π) = 1; y =

= 0 .

; z π,

y = π

z = cos2 x . Этот случай уже рассматривался.

BC :

≤ x

≤ π,

x = 0

z = cos 2 y . Этот случай уже рассматривался. Получили три

OC :

≤ y

≤ π,

различных значения z : −

,0,1.

Ответ: −

− наименьшее значение,

которое достигается во внутренней

π π

− наибольшее значение, которое достигается в граничных точ-

точке

; 1

3 3

ках (0,0), (π, π), (0, π), (π,0).

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 167 8 9 10 11 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
26.08.2019464 Кб29методичка для дипломников по экономике.doc
#
01.07.202567 Кб1методичка ДЛЯ ЗАОЧ.2015 - копия.docx
#
04.12.2018239 Кб20Методичка для заочников (У.Г.Г.).doc
#
01.03.20251 Мб2Методичка для заочников.doc
#
17.03.2015697 Кб56методичка для ЗО по английскому.doc
#
17.03.20152 Мб11Методичка для тех.спец. математика.PDF
#
09.11.2019555 Кб12методичка для ФТТ.doc
#
17.03.2015387 Кб142Методичка для ФТТ(ТЭ).doc
#
01.07.2025532 Кб4Методичка Естест. и искусст. Освещение (перераб...doc
#
01.05.2025604 Кб4МЕТОДИЧКА инж.расч..doc
#
17.03.20151 Мб190Методичка ИНЖЕНЕРНАЯ ГЕОДЕЗИЯ.doc