Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Уфимский Государственный Нефтяной Технический Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Методичка для тех.спец. математика

.PDF

Скачиваний:

Добавлен:

17.03.2015

Размер:

2.25 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 165 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

x → a

x → a +

0 x > a

какое бы δ > 0 не взять, в частности, сколь угодно

малое, значение x (a, a + δ).

2 . ОПРЕДЕЛЕНИЕ 7.

Говорят,

что число A есть предел функции

y = f (x)

при

x → a

это записывают

так:

f(x) → A при

x → a

либо

lim f(x) = A ,

если для

ε > 0 , в

частности,

x→a

δ = δ(ε)

сколь угодно малого,

такое, что как

A + ε

только

0 < x − a < δ (ε),

(1)

• A

то для таких x имеет место

•

f (x) − A < ε ,

(2)

A − ε

то есть как только значение независимой пере-

•

менной

x попадает в δ −

окрестность точки

a − δ

a a + δ

a (x ≠ a), то соответствующее значение

f(x)

Рис. 4

попадает в ε − окрестность точки A (см. рис.

4).

В развернутом виде (1) и (2) имеют вид

a − δ < x < a + δ,

x ≠ a .

(3)

A − ε < f (x) < A + ε.

(4)

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 8.

Функция α = α(x)

называется бесконечно малой

функцией (БМФ) при x → a , если lim α(x) = 0 .

x→a

Теорема 1.

lim f(x) = A если α(x) = f (x) − A есть БМФ при

x→a

x → a , т.е. lim α(x) = lim[f (x) − A] = 0 .

x→a

Говорят, что f(x) ограничена на числовом (точеч-

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 9.

ном) множестве ω , если

M > 0

и для x ω выполняется требование

f (x) ≤ M .

Теорема 2. Если lim f (x) = A, A − число и A ≠ 0, то	1	ограничена
	f (x)
x→a

в некоторой окрестности т. a (x ≠ 0).

	3. Односторонние пределы.
	ОПРЕДЕЛЕНИЕ 10. lim f (x) = A (левосторонний предел функции,
				x→a −0
предел функции слева)				ε > 0 , в частности, сколь угодно малого,
	δ = δ(ε) > 0 такое, что как только x (a − δ, a), то для таких x выполняет-
ся неравенство		f(x) − A	< ε .

	Аналогично определяется правосторонний предел функции (предел спра-
ва)	lim f (x) : ε > 0 ,			в частности, сколь угодно малого, δ = δ(ε) > 0 та-
	x→a +0

кое, что как только x (a, a + δ), то для таких x выполняется неравенство f (x) − A < ε .

Левосторонний и правосторонний пределы функции принято называть

односторонними пределами, которые соответственно обозначаются f (a − 0) и f (a + 0).

Теорема 3. Предел функции y = f (x) когда совместно выполняют-

ся три условия:

10 . f (a − 0) − левосторонний предел;

2 0 . f (a + 0) − правосторонний предел;

30 . f (a − 0) = f (a + 0), т.е. односторонние пределы равны.

4. Бесконечно большая функция (ББФ).

lim f(x) = ∞,

f(x) → ∞ при

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 11.

Говорят, что

x → a , f(x) − ББФ при

x → a , если для

x→a

M > 0 , в частности, сколь угодно большо-

го,

δ = δ(M),

что

как

только

0 <

x − a

< δ(M) , то для таких x имеет ме-

сто

f (x)

> M .

(5)

опреде-

− M

a − δ •

a + δ

Геометрическая

интерпретация

ления 11 дана на рис. 5.

Рис. 5

§2. Свойства бесконечно малых функций (БМФ)

Теорема 1. Алгебраическая сумма двух БМФ есть снова БМФ, т.е. если

lim α(x) = 0,	lim β(x) = 0 ,	(1)
x→a	x→a
то lim[α(x)± β(x)] = 0 .		(2)
x→a

Следствие. Теорема 1 верна для конечного числа БМФ.

Теорема 2. Произведение БМФ на ограниченную функцию есть БМФ, т.е. если α(x) → 0 при x → a и f(x) − ограниченная функция, то

α(x)f (x) → 0 при x → a .

Следствие 1. Произведение БМФ на БМФ есть БМФ.

Произведение БМФ на постоянную есть БМФ, то есть, если α(x) → 0 при x → a , то C α(x) → 0 при x → a .

lim

x→0

Следствие 2. Произведение БМФ на f(x), имеющей конечный предел

при x → a , есть БМФ.

Замечание. Мы намеренно сейчас не рассматриваем предел отношения двух БМФ α(x) и β(x). Это приводит к так называемой неопределенности вида

0 . Последнее означает следующее: наперед нельзя сказать, чему равен

lim α(x) . Все зависит от структуры дроби α(x) β(x).

x→a β(x)

	§3. Основные теоремы о пределах функций
1. Если функции f (x)		и g(x) имеют конечные пределы при x → a , то
справедливы	lim[f(x) ± g(x)] = lim f(x) ± g(x), т.е. предел алгебраиче-
Теорема 1.
	x→a	x→a
ской суммы и равен алгебраической сумме пределов слагаемых.
Следствие.	Теорема 1 верна для конечного числа слагаемых.
Теорема 2.	lim[f (x)g(x)] = lim f (x) lim g(x).
	x→a	x→a	x→a
Следствие 1. lim C f (x) = C lim f (x), C = const , т.е. постоянный мно-
	x→a	x→a

житель можно выносить за знак предела.

Следствие 2. Теорема 2 верна для конечного числа множителей, каждый из которых имеет конечный предел.

f (x)

Теорема 3. lim ( )

x→a g x

lim f (x)

= x→a ( ), если lim g(x) ≠ 0 .

lim g x x→a

x→a

2. Замечательные пределы и их следствия

sin x = −

1 первый замечательный предел;

			1		n
I. lim 1		+				= e − второй замечательный предел,

n→∞			n
где e − основание натурального логарифма; n N .
						Следствия замечательных пределов.
10 . lim	tgx			= 1;

x→0		x

20.

30 .

		1 x		1
lim 1	+		= lim(1 + α)α

x→0		x	α→0

lim loga (1 + x) = loga e ;

x→0 x

= e ;

40 . lim ln(1 + x) = 1;

x→0 x

5	0	. lim	a x −1	= ln a;	6	0	. lim	(1 + x)a −1	= a .
			x					x
		x→0					x→0

3. При нахождении пределов показательно-степенных функций u(x)ϑ(x)

u(x) → 1

в случае ( ) при x → a мы имеем дело с неопределенностью вида

ϑ x → ∞

{1∞ }, которая раскрывается следующим образом:

lim u(x)ϑ( x)

= {1∞ } ≡ lim[1 + (u(x) − 1)]ϑ( x) = lim[1 + α(x)]

ϑ( x) α( x)

α( x)

x→a

lim α(x )ϑ(x )

= lim [1

+ α(x)]

= e x

→a

α(x )

x→a

lim α(x)ϑ(x) = {0 ∞}. Таким образом,

Следовательно, остается

найти

{1∞ } {0 ∞}.

x→a

x 2 +1 x2 +1

1 x2

= lim 1 +

lim 1 +

ПРИМЕР 2.

lim

x→∞

x 2

= {1∞ }=

= lim 1 +

x 2 = α

= lim (1 + α)

= e .

x→∞

x 2

x→∞

Здесь использовалось следствие 20 второго замечательного предела.

4. Предел сложной функции. Справедлива

Теорема 4.

Если

lim u(x) = b и lim F(u) = A , то предел сложной

x→a

u→b

функции f(x) = F[u(x)] при x → a и равен A :

lim F[u(x)] = A .

x→a

∞

∞},{0

0 },{1∞ },{∞ 0 }

§4. Неопределенности вида

∞

,{0

К указанным неопределенностям приходим в следующих случаях:

	0			f (x)		∞
1.		(см. Замечание §2);	2. lim		=	, если f(x) и g(x) − ББФ

0			x→a g(x)			∞

при x → a , a − число либо один из символов ∞; − ∞; + ∞ .

3.	lim{f(x) − g(x)} = {∞ − ∞}, если f(x) и g(x) − ББФ.
	x→a
4.	lim α(x)f (x) = {0 ∞}, если α(x) − БМФ; f (x) − ББФ.
	x→a

	43
5.	lim u(x)ϑ(x ) = {00 }, если u(x) > 0 и ϑ(x) − БМФ.
	x→a
6.	{1∞ } − см. п.3 §3; 7. lim u(x)ϑ(x) = {∞0 }, u(x) − ББФ; ϑ(x) − БМФ.
	x→a

Способы раскрытия некоторых из указанных неопределенностей мы покажем на примерах.

tgx − sin x

−1

1 − cos x

= lim

sin x cos x

= lim

1. lim

x 3

x 2

x→0

→0

x→0

(cos x)x 2

2 sin 2

1 − cos x

sin

= lim

lim

x→0

2 x→0

sin x − cos x

sin x −

sin x

−

= −

lim

= −

lim

2 lim

x→π

π − 4x

x→π

4 x→π

x −

− x

−

{∞ − ∞} =

x = t 6

3. lim

−

x→1 1

x 1 − 3 x

t = 6 x

1 − t 2 −1 + t 3

t 2 (t −1)

t→1

(1 − t 3 )(1 − t 2 )

t→1 (1 − t 3 )(1 − t 2 )

t→1

1 − t 3

1 − t 2

3lim

t 2

−

= 3lim

= ∞.

+ t)

t→1 (1 − t 3 )(1

x 1

x + 3 x + 4 x

∞

lim

= lim

x→+∞

∞

x→+∞

2 +

{∞ − ∞} = lim

1 − cos x

5. lim

− ctgx

x→0

sin x

x→0 sin x

2 . 4

2 sin

2 x

sin

= lim

= 0.

x→0 2 sin

cos

x→0 cos

6. lim	cos αx − cos βx	=	0	=
	x 2		0
x→0

= lim

1 − cos βx + cos αx −1

= lim

1 − cos βx

− lim

1 − cos αx

x→0

x 2

x→0

x 2

x→0

x 2

2 sin

2 βx

2 sin

αx

βx

αx

sin

= lim

− lim

lim

− α

lim

βx

αx

x→0 x 2

x→0

=1 (β2 − α2 ).

				2 sin 2		kx						kx 2
	cos kx −1							k	2	sin				k	2
						2			2	sin					2
7. lim			= − lim			2	= −			lim	2		= −			.
7. lim		2	= − lim		2		= −			lim			= −			.
x→0	x	2	x→0	x	2		2			x→0	kx		2
x→0			x→0				2			x→0	kx		2

											2
											2

§5. Непрерывные функции и их свойства

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.	Функция y = f (x) называется непрерывной в т. x0 ,
если
			(1)
lim f (x) = f (x0 ) = f lim		.	(1)
x→x0	x→x0

Другими словами, предел f(x) при x → x 0 , и он равен значению функции в т. x0 ; x0 области определения D(f ). Согласно теореме 4 §1 (1)

	f (x0 − 0) = f (x0 + 0) = f (x0 )		(2)
(1)	x0 − внутренняя точка D(f ).
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.		Функция y = f (x) называется непрерывной слева
(справа), если выполняется требование
	f (x0 − 0) = f (x0 )	(f (x0 + 0) = f (x0 ))	(3)
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3. Функция называется непрерывной на интервале
(a, b) , если она непрерывна в каждой точке этого интервала.
Функция называется непрерывной на сегменте			[a, b], если она непре-
рывна на интервале (a, b) и непрерывна в т. a справа:			f (a + 0) = f (a )и в т. b
слева: f (b − 0) = f (b).
	2. Точки разрыва функции и их классификация.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4.		Точка x0 называется точкой разрыва функции

y = f(x), если хотя бы одно из условий (2) нарушается.

Так, например, если x 0 D(f ), то эта точка наверняка точка разрыва.

						45
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 5.					Точка x0	называется точкой разрыва первого ро-
да функции y = f(x), если односторонние пределы функции конечны (числа).
Точка разрыва первого рода называется устранимой точкой разрыва,
если	f (x0 − 0) = f (x0 + 0).
	f (x0 − 0) = f (x0 + 0).									(4)
Это связано с тем, что функцию в т. x0 доопределяют, полагая
	f (x0 ) = f (x0 − 0) = f (x0 + 0).									(5)
Функция y = f(x)				после доопределения (5)				становится непрерывной в
т. x0 (см. (3)).							функции y = f(x) называется
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 6.					Точка разрыва x0		функции y = f(x) называется
точкой разрыва второго рода, если она не является точкой разрыва первого
рода. Это будет тогда и только тогда, когда хотя бы один из односторонних
пределов не либо равен ∞(− ∞,+∞) .
ПРИМЕР 1. Каков характер точки разрыва функ-
ции y =	1		в т. x = 1.					y
ции y =	1 − e1−x		в т. x = 1.
Решение.			При	x = 1 знаменатель			равен 0,
1 D(y).								0	1	x
1. f (1 − 0) = lim			1	= x −1 = t =					1	x
1. f (1 − 0) = lim			1	= x −1 = t =
		x→1−0 1 − e1−x			t > 0
= lim	1	= −∞ , т.к.			α(t) = 1 − et	→ 0 и	α(t) < 0 .		Рис. 1
= lim		= −∞ , т.к.			α(t) = 1 − et	→ 0 и	α(t) < 0 .		Рис. 1
t→0+0 1 − e t
Уже отсюда делаем вывод, что x = 1 − точка разрыва второго рода. (см. рис. 1)
2. f (1 + 0) =		lim	1	= x −1 = t = lim			1	= +∞ , т.к.
		x→1+0 1 − e1−x			t > 0	t→0+0 1 − e−t
α(t) = 1 − e−t → 0 и α(t) > 0 .

Ответ: x = 1 − точка разрыва второго рода.

ПРИМЕР 2. Функция y = x 2 −1 не определена при x = 1. Каким должно x 3 −1

быть значение f(1) , чтобы доопределенная этим значением функция стала не-

прерывной при x = 1.

Решение.

10 . f (1 − 0) = lim

x 2 −1

= lim

(x −1)(x +1)

(x −1)(x 2 + x +1)

x→1−0 x 3 −1

x→1−0

x −1

= −t

= lim

2 − t

t > 0

− t

2 − t

t→0+0 (

20 .

f (1 + 0) =

lim

x + 1

= x −1 = t = lim

2 + t

= 2 .

x→1+0

+ x + 1

t > 0

t→0+0 (

+ 2

+ t

1 + t

Имеем f (1 − 0) = f (1 + 0) = 2 . Отсюда и согласно (5) надо положить f (1) = 2 .

Ответ: f (1) = 2 .

ПРИМЕР 3. Убедиться, что функция y =

= 0 раз-

1 имеет в точке x

1 + 2 x

рыв первого рода. Построить схематично график этой функции в окрестности

точки x = 0.

x = 0 D(y).

Решение.

10 . f (0 − 0) = lim

= x → −∞ = 1.

x→0−0

x < 0

1 + 2 x

•

1 → +∞

20 . f (0 + 0) =

lim

= x

= 0 .

Рис. 2

→0+0

1 + 2 x

2 x

→ +∞

Односторонние пределы и конечны, но f (0 − 0) ≠ f (0 + 0)

(см. рис. 2).

x = 0 − точка разрыва первого рода.

ПРИМЕР 4. Функция

f (x) = x 2 −1

не определена при

x = 1. Каким

должно быть значение f(1) ,

x 3 −1

чтобы доопределенная этим значением функция

стала непрерывной при x = 1.

(x −1)(x + 1)

Решение.

10 . f (1 − 0) =

lim

x 2 −1 =

lim

x→1−0 x 3 −1

x→1−0

(x −1)(x 2 + x + 1)

= x −1 = −h =

lim

2 − h

)

= 2 .

h > 0

h→0+0 (

(

− h

+ 1

1 − h

20 . f (1 + 0) =

lim

x 2 −1 =

lim

x +1

= 2 . Отсюда видно, что надо

x→1+0 x 3 −1

x→1+0 x 2 + x +1

положить f (1) = f (1 − 0) = f (1 + 0) = 2 .

Ответ: f (1) = 2 .

§6. Свойства функций, непрерывных на отрезке

1. Если функции f (x) и g(x) непрерывны в т. x0 , то справедливы

Теорема 1. Алгебраическая сумма двух непрерывных (в точке) функций есть непрерывная (в точке) функция.

Следствие. Теорема 1 верна для конечного числа слагаемых непрерывных функций.

Теорема 2. Произведение двух непрерывных функций есть непрерывная функция.

Следствие. Теорема 2 верна для конечного числа множителей. Теорема 3. Частное двух непрерывных функций есть непрерывная

функция, если значение знаменателя в т. x0 отлично от нуля.

2. Свойства функций, непрерывных на отрезке. (см., например, Бугров

Я.С., Никольский С.М. Гл. 3, §3.5)

Теорема 4. Если функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то она ограничена на нем, т.е. константа M > 0 такая, что x [a, b] имеет ме-

сто неравенство f(x) ≤ M .

Теорема 5. (Вейерштрасса). Если функция y = f(x) непрерывна на

[a, b], то она достигает хотя бы раз своего наибольшего и наименьшего значе-

ний на [a, b], т.е. точки α,β [a, b] такие, что f (α) ≤ f (x) ≤ f (β) x

[a, b]. Другими словами, f (α) − наименьшее значение f(x) на [a, b], f(β) −

наибольшее значение f(x) на [a, b].

Теорема 6. Если функция y = f(x) непрерывна на [a, b] и числа f(a) и f(b) не равны нулю и имеют разные знаки, то на интервале (a, b) имеется по крайней мере одна точка c такая, что f (c) = 0.

Следствие 1. Непрерывная на [a, b] функция принимает все промежу-

точные значения между ее значениями на концах отрезка [a, b].

Следствие 2. Непрерывная на [a, b] функция принимает все промежу-

точные значения между ее наименьшим и наибольшим значениями на [a, b].

Глава V. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ФУНКЦИИ ОДНОЙ

ПЕРЕМЕННОЙ

Учебники: Пискунов Н.С., гл. III-V.

Бугров Я.С., Никольский С.Н., гл. IV.

§1. Производная функции и ее свойства

1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.

Производной функции y = f(x) в т. x0 называ-

ется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргу-

мента, когда последнее стремится к нулю, т.е.

lim f (x) − f (x0 ) =

lim

f (x0 ) = f ′(′x0 ),

(1)

x→x0

x − x0

→0

где приращение функции в т. x0

равно

y(x0 ) =

f (x0 ) = f (x)− f (x0 ) = f (x0 +

x)− f (x0 ),

(2)

а приращение аргумента x в т. x0 −

= x − x0 .

f ′(x 0 ) заключа-

(3)

Геометрический смысл

ется в следующем: f ′(x 0 ) = tgα ,

где α − угол

наклона

касательной

графику

функции

y = f (x)

в т. M 0 (x 0 , f (x 0 )).

Уравнение каса-

M 0

тельной

графику

функции

y = f (x)

•

касательная

M 0 (x0 , f(x0 ))

имеет вид:

f (x)

y − f (x0 ) = f ′(x0 )(x − x

0 )

(4)

x 0

нормаль

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.

Нормалью к ли-

Рис. 1

нии l в т. M 0 l называется прямая, прохо-

дящая через т. M 0 к касательной.

Отсюда следует (см. условие перпендикулярности двух прямых: Гл. III,

§1, п.4, формула (7)), что ее уравнение имеет вид

	1	(x − x0 ),	( 4′ )
y − y	0 = − f ′(′x0 )

где M(x, y) − текущая точка нормали, M 0 (x 0 , y0 ) − точка касания l (см.

рис.1).

2. Если f (x) и ϕ(x) допускают производную в т. x (дифференцируемы в т. x ), то справедливы следующие основные правила (теоремы).

10 . (C)′ = 0, C − константа; 20 . [f (x) ± ϕ(x)]′ = f ′(x) ± ϕ′(x);

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 165 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
06.12.2018573.95 Кб56Методичка ГРЭС.doc
#
17.03.2015438.27 Кб41методичка для ГЛ, ГФ.doc
#
26.08.2019463.87 Кб10методичка для дипломников по экономике.doc
#
04.12.2018238.59 Кб8Методичка для заочников (У.Г.Г.).doc
#
17.03.2015696.83 Кб45методичка для ЗО по английскому.doc
#
17.03.20152.25 Mб8Методичка для тех.спец. математика.PDF
#
17.03.2015386.56 Кб130Методичка для ФТТ(ТЭ).doc
#
09.11.2019555.01 Кб3методичка для ФТТ.doc
#
17.03.20151.23 Mб186Методичка ИНЖЕНЕРНАЯ ГЕОДЕЗИЯ.doc
#
20.11.20185.4 Mб12методичка интернет-тестирование.doc
#
11.11.2018379.39 Кб3Методичка к курсовой по ТОЭ1.doc