§ 3. Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей

Определение.Произведением нескольких событий называют событие, состоящее в совместном появлении всех этих событий.

Пример 1.

Одновременно стреляют по мишени 2 стрелка. Если – попадание в мишень 1-го,– попадание 2-го, тосостоит в том, что оба стрелка попали в мишень.

Определение.Вероятность события, вычисленная в предположении, что событиеуже наступило, называетсяусловнойвероятностью и обозначается.

Пример 2.

В урне 3 белых и 2 черных шара. Из нее дважды вынимают по одному шару (не возвращая обратно). Найти вероятность появления черного шара при втором извлечении, если известно, что первый раз вынули белый шар.

Решение.

Пусть событие – “из урны во второй раз извлекли черный шар”,

событие – “из урны в первый раз извлекли белый шар”.

Нас интересует .

,. (Для сравнения: с возвратом).

Теорема 1. Вероятность произведения событийиравна произведению вероятности событияна условную вероятность события, при условии, что событиепроизошло, т.е.

.

Доказательство.

Пусть – общее число несовместных элементарных исходов испытания,

– число элементарных исходов, благоприятных событию,

– число элементарных исходов, благоприятных событию,

– число элементарных исходов, благоприятных событию.

.

,

.

Определение.Событиеназываетсянезависимымот события, если появление событияне изменит вероятности события, т.е.

.

Следствие 1. Если случайное событиене зависит от события, то и событиене зависит от события.

Доказательство.

Действительно, .

.

().

Замечание 1.Таким образом, для независимых событий теорема умножения имеет вид:

.

Замечание 2.Теорему умножения можно расширить на случайсобытий.

Пример 3.

Брошена монета и игральная кость. Найти вероятность совмещения событий: “появился герб” и “появилось 6 очков”.

Решение.

Событие – “появился герб”,;

событие – “появилось 6 очков”,.

События и– независимые события.

Пример 4.

В двух ящиках находятся детали: в первом – 10 (из них 3 стандартных), во втором – 15 (из них 6 стандартных). Из каждого ящика наудачу вынимают по одной детали. Найти вероятность того, что обе детали окажутся стандартными.

Решение.

Событие – “из первого ящика вынули стандартную деталь”,,

событие – “из второго ящика вынули стандартную деталь”,.

.

Пример 5.

В студии 3 телевизионные камеры. Для каждой камеры вероятность того, что она включена в данный момент, равна . Найти вероятность того, что в данный момент включена хотя бы одна камера.

Решение.

Событие – “ в данный момент включена хотя бы одна камера”.

Iспособ.

Событие – “1-я камера включена”,

событие – “2-я камера включена”,

событие – “3-я камера включена”.

;.

Тогда искомая вероятность равна

.

II способ.

.

.

Пример 6.

Вероятность поражения цели первым стрелком при выстреле равна , а вторым –. Найти вероятность того, что цель будет поражена только одним стрелком.

Решение.

Событие – “цель поражена только одним стрелком”,

событие – “в цель попал первый стрелок”,

событие – “в цель попал второй стрелок”.

.

§ 4. Теорема сложения вероятностей совместных событий

Определение.Два событияиназываютсовместными, если появление одного из них не исключает появления другого в одном и том же испытании.

Теорема.Вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их произведения:

. (1)

Доказательство.

Событие наступит, если наступит одно из следующих трех несовместных событий:,,.

По теореме сложения несовместных событий имеем:

. (2)

Событие произойдет, если наступит одно из двух несовместных событийи. Отсюда:

. (*)

Аналогично

. (**)

Тогда

,и

.

Замечание.Если событияинесовместны, то– невозможное событие и. Формула (1) в этом случае принимает вид:

.