Классическое определение вероятности

Пусть произведено некоторое испытание. Каждый из возможных результатов испытания назовем элементарным исходом(элементарным событием). Те элементарные исходы, в которых интересующее нас событие наступает, назовемблагоприятными исходами. Предположим, что все элементарные исходы несовместны, равновозможны и образуют полную группу.

Определение. Вероятностью событияназовем отношение числа благоприятных этому событию исходов испытания к общему числу всех равновозможных несовместных элементарных событий, образующих полную группу:

,

– число благоприятных исходов,

– общее число элементарных исходов.

Свойство 1.Вероятность достоверного события равна 1.

Доказательство.Если событие достоверно, тои.

Свойство 2.Вероятность невозможного события равна 0.

Доказательство.Если событие невозможно, тои.

Свойство 3.Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между 0 и 1:.

Итак, вероятность любого события удовлетворяет соотношению:

.

Основные формулы комбинаторики

Комбинаторика изучает количества комбинаций, подчиненных определенным условиям, которые можно составить из элементов какого-либо конечного множества. При вычислении вероятностей часто используют формулы комбинаторики. Приведем наиболее часто употребляемые из них.

Перестановками называют комбинации, состоящие из одних и тех жеразличных элементов и отличающихся только порядком их расположения. Число всех возможных перестановок равно:

.

По определению .

Пример 6.

Сколькими способами можно разместить на полке 5 книг?

Решение..

Размещенияминазывают комбинации, составленные изразличных элементов поэлементов, которые отличаются либо составом элементов, либо их порядком. Число всех возможных размещений равно:

.

Пример 7.

Учащемуся необходимо сдать 4 экзамена на протяжении 8 дней. Сколькими способами это можно сделать?

Решение..

Сочетаниями называют комбинации, составленные изразличных элементов поэлементов, которые отличаются хотя бы одним элементом. Число сочетаний равно:

.

Пример 8.

Сколькими способами из 30 человек можно выбрать комиссию, состоящую из 3 человек?

Решение. .

Свойства:

1) ;

2) ;

3) (число всех подмножеств изэлементов равно).

При решении задач комбинаторики используют следующее основное правило комбинаторики(правило умножения):

Пусть требуется выполнить одно за другим действий. Если первое действие можно выполнитьспособами, второе –способами и т.д.,-е действие –способами, то вседействий вместе могут быть выполненыспособами.

Пример 9.

Из Киева до Новгорода можно добратьсяспособами.

Пример 10.

Сколько четырехзначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, если цифры не повторяются?

Решение.6 цифр, 0 не может быть первой цифрой. Отсюда имеем:

чисел.

Пример 11.

Учащемуся необходимо сдать 4 экзамена за 8 дней. Сколькими способами это можно сделать, если известно, что последний экзамен будет сдаваться на восьмой день?

Решение.

.

Пример 12.

В некотором государстве нет двух одинаковых по количеству и расположению зубов жителей. Указать максимально возможное количество жителей этого государства.

Решение.

I способ.

беззубый 1

с 1-м зубом 32

с 2-мя зубами

с 3-мя зубами

……………….

с 32-мя зубами

IIспособ.

2способа заполнения каждой ячейки. Всю челюсть можно заполнить

.

32 раза