Статистическое определение вероятности

Относительной частотойсобытия называют отношение числа испытаний, в которых событие появилось, к общему числу фактически произведенных испытаний:

,

– число появлений события,

– общее число испытаний.

Сопоставляя определения вероятности и относительной частоты, заключаем: определение вероятности не требует, чтобы испытания проводились в действительности; определение же относительной частоты предполагает, что испытания были произведены фактически.

Пример 13. ОТК обнаружил 3 нестандартных детали в партии из 100 случайно отобранных деталей. Относительная частота появления нестандартных деталей:.

Длительные наблюдения показали, что если в одинаковых условиях производят опыты, в каждом из которых число испытаний велико, то относительная частота обнаруживает свойство устойчивости. Это свойство состоит в том, что в различных опытах относительная частота изменяется мало (или меньше, чем больше произведено испытаний), колеблясь около некоторого постоянного числа. Оказалось, что это постоянное число есть вероятность события.

Таким образом, если опытным путем установлена относительная частота, то полученное число можно принять за приближенное значение вероятности.

Недостатки классического определения вероятности

1. Количество элементарных исходов конечно.

2. Невозможность в большинстве случаев представления результата в виде совокупности элементарных событий.

3. Трудность обоснования равновозможности элементарных исходов.

Недостатки статистического определения вероятности

Неоднозначность статистической вероятности.

Кроме того должна быть в наличии хотя бы принципиальная возможность проведения неограниченного числа испытаний с наличием и, и устойчивостьв различных сериях испытаний.

Непосредственное вычисление вероятностей

Пример 14.

В лотерее 1000 билетов. Из них 500 выигрышные и 500 – невыигрышные. Куплено 2 билета. Какова вероятность, что оба билета выигрышные?

Решение.

.

,,.

Пример 15.

В лотерее 2000 билетов. На один билет падает выигрыш 100 тыс. рублей, на четыре – по 50 тыс. рублей, на десять – по 20 тыс. рублей, на 20 билетов – выигрыш по 10 тыс. рублей, на 105 билетов – по 5 тыс. рублей и 400 билетов – по 1 тыс. рублей. Остальные билеты невыигрышные. Какова вероятность выиграть по билету не менее 10 тыс. рублей?

Решение.

.

,.

.

Пример 16.

Вычислить вероятность максимального выигрыша в спортлото 6 из 49.

Решение.

.

,,.

Пример 16.

Набирая номер телефона, абонент забыл последние 2 цифры из 6 и, помня лишь, что эти цифры различны, набрал их наудачу. Найти вероятность того, что набраны нужные цифры.

Решение.

.

,,.

§ 2. Теорема сложения вероятностей несовместных событий

Определение. Суммойнескольких событий называют событие, которое состоит в появлении хотя бы одного из этих событий.

Например, если производится по мишени 2 выстрела и событие – попадание при первом выстреле в мишень,– попадание при втором выстреле, то– событие, заключающееся хотя бы в одном попадании при 2-х выстрелах.

Теорема.Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:

.

Доказательство.Пусть

– общее число возможных элементарных исходов испытания,

– число элементарных исходов, благоприятных событию,

– число элементарных исходов, благоприятных событию.

Тогда число благоприятных элементарных исходов для события будет равно.

.

Следствие 1.Вероятность суммы произвольного числапопарно несовместных событий равно сумме вероятностей этих событий:

.

Следствие 2. Сумма вероятностей попарно несовместных событий,, …,, образующих полную группу, равна 1.

Доказательство.

, т.к.

– достоверное событие.

Определение.Противоположными называют два единственно возможных события, образующих полную группу.

Пример 1.

Стреляют 1 раз в мишень.

“Попадание” и “Промах” противоположные события.

Следствие 3.Сумма вероятностей противоположных событий равна единице:

.

Доказательство.Противоположные события образуют полную группу. По следствию 2 сумма их вероятностей равна 1.

Пример 2.

В урне 10 белых, 5 красных и 7 черных шаров. Наугад вынимается 1 шар. Определить вероятность того, что вынутый шар белый или черный.

Решение.

I способ.

– “вынули белый шар”

– “вынули красный шар” попарно несовместные события

– “вынули черный шар”

Нас интересует .

,,.

IIспособ.

,,образуют полную группу.

.

.