
Лабы Механика Спиридонов
.pdf
Министерство образования и науки Российской Федерации Национальный исследовательский университет «МИЭТ»
Лабораторные работы по курсу общей физики «Механика»
Под редакцией кандидата технических наук, доцента А.Б. Спиридонова
Утверждено редакционно-издательским советом университета
Москва 2015
УДК 531/534:53+539.1+536 (076)
Рецензент: докт. физ.-мат. наук А.Г. Фокин
Горбатый И.Н., Зыков А.В., Спиридонов А.Б., Трифонов А.Ю.
Лабораторные работы по курсу общей физики «Механика»: методическое пособие. - М.:
МИЭТ, 2015. - 180 с.: ил.
Пособие содержит описания 15 лабораторных работ по трем разделам курса общей физики: «Механика», «Молекулярная физика», «Термодинамика». Описание каждой работы включает краткую теорию изучаемых явлений, схему экспериментальной установки, порядок проведения измерений, методику обработки экспериментальных данных и задание по подготовке к занятию. В приложениях детально изложены некоторые вопросы теории и даны рекомендации по работе с компьютерной программой.
Для студентов технических факультетов МИЭТ.
© МИЭТ, 2015
Предисловие
Настоящее методическое пособие предназначено для студентов технических факультетов МИЭТ. При выполнении лабораторных работ студенты получают возможность экспериментально воспроизвести физические явления, знакомятся с методами измерений, приобретают навыки записи и обработки экспериментальных данных.
Методическое пособие содержит описания 15 лабораторных работ по трем разделам курса общей физики: «Механика», «Молекулярная физика», «Термодинамика». Описание каждой работы включает краткую теорию изучаемых явлений, схемы экспериментальных установок и подробные пояснения к ним, порядок проведения измерений и методику обработки экспериментальных данных.
В конце каждой лабораторной работы имеется раздел «Подготовка к работе». В этом разделе перечисляются физические понятия, величины, законы, соотношения, знание которых необходимо для успешного выполнения лабораторной работы. Раздел содержит также расчетное задание, которое помогает понять цель работы, характер изучаемых зависимостей, позволяет «почувствовать» численные значения физических величин. В каждой работе приведен список рекомендуемой литературы с указанием конкретных параграфов в доступных учебниках.
Для выполнения лабораторных работ используется оборудование, разработанное и изготовленное фирмой «Phywe», Германия. Большинство лабораторных стендов оснащены компьютерами, предназначенными для управления экспериментами и обработки результатов измерений. Специализированная компьютерная программа «Measure» является общей для всего комплекса и содержит приложения для каждого конкретного эксперимента. Лабораторные работы рассчитаны на выполнение в течение четырех академических часов и состоят из нескольких упражнений.
Над внедрением лабораторного комплекса в учебный процесс, разработкой сценариев лабораторных работ и их описаний трудился коллектив преподавателей кафедры общей физики МИЭТ: И.Н. Горбатый, А.В. Зыков, А.Б. Спиридонов, А.Ю. Трифонов. При подготовке описаний лабораторных работ 1 - 4 использовано предыдущее издание практикума (Лабораторный практикум по курсу общей физики «Механика» /под ред. В.А. Ткачева. М.: МИЭТ, 2003). Помощь в техническом оснащении и настройке лабораторного оборудования оказали инженеры кафедры общей физики Н.В. Игнатьева и Н.Д. Зиновьева. Труд по подготовке методического пособия к печати взяли на себя Е.А. Смелова и Ю.А. Юсипова. На этапе апробации оборудования в учебном процессе, при подготовке первоначальной версии одного из описаний, в работе принимала участие Е.А. Денисова.
Редактор сборника выражает благодарность И.Н. Горбатому за его участие во всем комплексе работ, полезные советы и обсуждения.
Авторы методического пособия выражают признательность заведующему кафедрой общей физики Н.И. Боргардту за организационную поддержку и постоянное внимание к работе, а также преподавателям и инженерам кафедры общей физики МИЭТ за участие в процессе внедрения нового оборудования в учебный процесс.
3
Рекомендации по подготовке к учебным занятиям в лаборатории
1.Прочитайте описание лабораторной работы, обратив особое внимание на цель работы, теоретическую часть и раздел «Подготовка к работе».
2.Ознакомьтесь с разделами учебников, указанных в списке рекомендуемой литературы.
3.Оформите конспект лабораторной работы:
в начале страницы напишите название лабораторной работы, выделите его цветом или подчеркните;
перепишите цель работы и перечень оборудования;
оформите конспект теоретической части, особо выделив формулы, которые проверяются экспериментально при выполнении лабораторной работы;
нарисуйте блок-схему экспериментальной установки. Укажите названия основных
узлов;
выполните расчетное задание из раздела «Подготовка к работе». Если указано, постройте соответствующие графики, вклейте их в тетрадь. Графики должны быть построены только на миллиметровой бумаге в соответствии с рекомендациями, приведенными в описании лабораторной работы № 1;
приведите определения основных физических величин, формулировки законов, перечисленных в разделе «Подготовка к работе». Пользуйтесь учебниками из списка рекомендуемой литературы и с большой осторожностью относитесь к информации, полученной из интернет-источников;
подготовьте таблицы для записи результатов измерений и расчетов, которые будут получены при выполнении экспериментальной части работы.
4.Конспект должен быть оформлен в тетради формата А4 с монолитным переплетом. Допускается использовать эту тетрадь на занятиях в других лабораториях кафедры общей физики.
5.Полезно начинать подготовку к очередной лабораторной работе не менее чем за неделю до наступления занятия. Не забывайте приносить на занятия инженерный калькулятор и миллиметровую бумагу.
4
Лабораторная работа № 1
Обработка результатов измерений. Оценка погрешностей
Цель работы: приобретение навыков обработки результатов измерений. Оборудование: инженерный калькулятор.
Продолжительность работы: 4 часа.
Погрешность измерений
Результат измерений любой физической величины не может быть абсолютно точен, обязательно имеется некоторая погрешность. При оценке результатов физического эксперимента это обстоятельство имеет решающее значение. Например, для некоторой величины теория предсказывает значение 5,54, а в эксперименте получено 5,6. Можно ли отсюда сделать вывод о верности теории? Все зависит от точности теоретического предсказания и точности экспериментального результата. Предположим, что теория предсказывает значение некоторой величины 5,54 ± ±0,01 и экспериментальный результат получен также с точностью до одной сотой: 5,60 ± 0,01. Тогда мы делаем вывод, что теория не подтверждается экспериментом. Если же точность предсказания и результата измерений меньше, например 5,54 ± 0,05 и 5,60 ± 0,06, то вывод, соответственно, будет другой.
Отчего возникает погрешность? Причины, кроме явных ошибок экспериментатора, могут быть самые разнообразные. Принято различать приборные погрешности, обусловленные точностью измерительного прибора и его настройки, и погрешности случайные, вызванные неконтролируемыми внешними воздействиями, может быть, даже воздействием самого прибора.
Например, при измерении некоторого размера штангенциркулем возможна деформация измеряемого объекта самим штангенциркулем: под его «губки» может попасть посторонний микроскопический предмет, возникнуть перекос и т.д. Причиной появления погрешности может быть и несовершенство принятой модели. Так, мы считаем объект измерения телом вращения, а в действительности его сечение может иметь форму эллипса. При этом в зависимости от конкретных условий эксперимента погрешность может быть в одном случае отнесена к приборным, а в другом - считаться вызванной внешними воздействиями, точной границы при таком разделении погрешностей нет.
Приборные погрешности в свою очередь могут быть случайными по величине и знаку или закономерными. Если погрешность закономерна, ее называют систематической и в принципе ее можно учесть в виде некоторой поправки к результату измерений.
По форме представления различают погрешность абсолютную и относительную. Смысл этих терминов очевиден. Пусть, например, результат измерения некоторого промежутка времени записан так:
T1 (1,2 0,1) c ; T2 (214,5 0,1) c .
В этом случае величина 0,1 c представляет собой абсолютную погрешность. Обозначается она, как и измеряемая величина, но со знаком . В нашем примере T 0,1 c . С другой стороны,
5

ясно, что время T2 определено точнее, так как больший промежуток времени сложнее определить с той же абсолютной погрешностью. Чтобы отразить это обстоятельство в записи величины погрешности, вводят относительную погрешность T TT . Относительная погрешность
может измеряться в процентах, тогда эту величину умножают на 100%.
В данной работе вы познакомитесь с одним из простейших способов обработки результатов измерений.
Практическое определение погрешности измеряемой величины
Измерение физической величины может быть выполнено чувствительным (точным) прибором или не очень чувствительным (грубым) прибором.
Если измерительный прибор не очень чувствительный, погрешность измерений определяется приборной погрешностью. При этом нет необходимости проводить измерения многократно, так как повторные измерения будут давать один и тот же результат. Приборная погрешность обычно указывается в описании прибора; если такого указания нет, то за нее принимается половина цены деления шкалы прибора. Так, при измерении длины миллиметровой линейкой принято в качестве погрешности брать величину 0,5 мм. Результат измерения длины некоторого объекта в этом случае следует записывать в виде: (385,0 ± 0,5) мм.
В дальнейшем приборную погрешность будем обозначать Tпр . При использовании чувст-
вительного прибора (например, микрометра, миллисекундомера и т.д.) при повторных измерениях могут получаться неодинаковые результаты. Так, измерения времени падения шарика ti с высоты 1 м с помощью миллисекундомера дают результаты, приведенные в табл.1.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 1 |
|
|
Результаты измерений времени падения шарика с высоты 1 м |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Номер |
1 |
2 |
3 |
|
|
|
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
|
|
опыта |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ti, с |
0,460 |
0,446 |
0,452 |
|
0,456 |
0,448 |
0,454 |
0,446 |
0,458 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ti, с |
0,007 |
0,007 |
0,001 |
|
0,003 |
0,005 |
0,001 |
0,007 |
0,005 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
В этом случае погрешность можно рассчитать следующим образом: |
|
|
|
||||||||||
найдем среднее арифметическое значение измеряемой величины |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ti |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
i 1 |
|
0,453 с, |
|
|
|
|
||
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
причем оно должно содержать столько значащих цифр, сколько их в измеряемой величине (в нашем примере - три);
для каждого измерения найдем модуль разности среднего значения t
и измеренной величины ti и занесем в таблицу ti
t
ti ;
6

найдем среднее арифметическое значение погрешности
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
n |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
ti |
|
| ti | |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
t |
|
i 1 |
|
|
i 1 |
0,005 с; |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
n |
|
n |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
сравним значение |
t |
с приборной погрешностью миллисекундомера t |
пр |
. |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если |
t |
tпр , то результат измерения запишем в виде |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t t t , |
|
|
|
||
если |
t |
tпр , то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t t tпр . |
|
|
|
Например, если приборная погрешность равна tпр 0,002 с, то t (0,453 0,005) с,
если tпр 0,008 с, то
t (0,453 0,008) с.
Вообще говоря, для расчета погрешности t обоснованным является выражение
t tпр2
t
2 ,
однако, когда приборная и случайная погрешности отличаются в два и более раза, достаточно использовать приведенное выше простое правило. Большая точность при расчете погрешности не нужна. Дело в том, что погрешность исходно является величиной приближенной и в большинстве случаев удается лишь оценить ее величину. Например, можно принять погрешность линейки равной l 0,5 мм или считать, что l 0,7 мм, но невозможно обосновать выбор более точного значения погрешности, например, l 0,643 мм.
При арифметическом расчете средних значений измеряемой величины и погрешности (особенно при использовании калькулятора) может получиться такой результат:
x 12,785 см; |
x 0,4592 см. |
Как правильно провести округление и записать результат? Рекомендуется поступать следующим образом:
округляем абсолютную погрешность до двух значащих цифр, если первой из них является единица, и до одной значащей цифры - во всех остальных случаях. Например:
правильно |
неправильно |
x 3 см |
x 3,2 см |
х 1,3см |
х 1,33 см |
х 0,4 см |
х 0,387см |
округляем саму измеренную величину до того же младшего десятичного разряда, что и
ееабсолютную погрешность. Например:
правильно |
неправильно |
x (15 3) см |
x (15,4 3) см |
x (21,2 1,7) см |
х (21,17 1,7) см |
x (4,9 0,4) см |
х (4,886 0,4) см |
7
Таким образом, правильной записью результата для приведенного выше примера является:
х (12,8 0,5) см.
Упражнение 1. Обработка результатов прямых измерений.
Рассчитать среднее значение периода колебаний T математического маятника и его погрешность по результатам измерений, приведенным в табл.2.
|
|
|
|
|
|
Таблица 2 |
|
|
|
Результаты измерений периода колебаний |
|
|
|||
|
|
|
математического маятника |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Номер опыта |
1 |
|
2 |
3 |
4 |
5 |
|
Т, с |
1,24 |
|
1,18 |
1,23 |
1,20 |
1,19 |
|
Результаты записать для случаев, когда измерения выполнены секундомером, имеющим погрешности: а) Tпр 0,01с; б) Tпр 0,05 с.
Определение погрешности косвенных измерений
Часто встречается ситуация, когда интересующая нас величина в эксперименте непосредственно не измеряется, но может быть рассчитана с помощью функциональной зависимости от измеряемых величин. В этом случае говорят о косвенных измерениях. Точность определения этой величины зависит как от точности эксперимента, так и от конкретного вида ее зависимости от измеряемых величин.
Пусть величину f можно рассчитать, измерив непосредственно некоторые физические ве-
личины х1 , х2 |
|
и т.д., и пусть погрешности этих величин соответственно равны х1 , х2 |
и т.д. |
|||||||||||||
Погрешность величины f можно рассчитать, воспользовавшись формулой: |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
f |
|
|
f |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
|
|
x |
|
x |
|
... . |
(1) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
x2 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x1 |
|
|
|
|
|
|||
Здесь |
f |
, |
|
f |
- так называемые частные производные, которые вычисляются по обычным |
|||||||||||
x |
|
x |
2 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
правилам в предположении, что остальные переменные (кроме той, по которой выполняется дифференцирование) зафиксированы.
Рассмотрим два примера.
П р и м е р 1. Пусть известны x, y, z и их погрешности x, y, z . Необходимо найти по-
грешность величины f x y z . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
1, |
|
|
f |
1, |
|
f |
1; |
|||||
|
|
x |
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
z |
|
||
f |
|
f |
|
x |
|
f |
|
y |
|
f |
|
z x y z . |
|||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
x |
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, при сложении или вычитании нескольких величин складываются их аб-
солютные погрешности:
x y z x y z.
8

П р и м е р |
2. Известны положительные величины |
x, y, z |
|
и их погрешности x, y, z . |
||||||||||||||||||||||||||||
Необходимо найти погрешность величины f |
|
|
xy |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
|
|
y |
, |
|
f |
|
x |
, |
|
|
f |
|
xy |
; |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
x |
|
z |
y |
z |
|
|
z |
z 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
f |
|
f |
|
|
f |
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
x |
|
xy |
|
|
xy |
x |
|
y |
|
z |
||||||
f |
|
x |
|
y |
|
|
|
|
|
z |
|
x |
|
|
|
y |
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
x |
|
y |
|
|
z |
|
|
z |
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
z |
|
x |
|
y |
|
z |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В скобках стоит сумма относительных погрешностей величин x, y и z , а сомножитель перед скобкой равен величине f . Отсюда следует
f |
f |
x y z. |
|
f |
|
Таким образом, при умножении или делении нескольких величин складываются их от-
носительные погрешности:
xy |
|
||
|
|
|
x y z. |
|
|||
|
z |
|
Это правило легко обобщается на произвольное число сомножителей.
Теперь рассмотрим конкретный пример. Измеряя время падения тела с некоторой высоты, можно рассчитать ускорение свободного падения по формуле:
g |
2H |
(2) |
|
t 2 |
|||
|
|
(здесь g рассматривается как функция двух переменных H и t, определяемых экспериментально).
Пусть H 1,00 0,01 м, |
t 0,453 0,005 с, тогда |
||||
|
g |
2H |
|
2 1 |
9,746 м / с2 . |
|
t 2 |
0,453 2 |
|||
|
|
|
|
Относительная погрешность ускорения свободного падения (см. пример 2) равна
g |
g |
H 2 t |
H |
2 |
t |
|
0,01 |
2 |
0,005 |
0,032 0,03. |
||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
g |
H |
t |
1,00 |
|
0,453 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
Зная относительную погрешность, рассчитаем абсолютную:
g g g 9,746 0,03 0,292 0,3 м/c2.
Окончательно получим:
g 9,7 0,3 м/c2.
Эта запись означает, что истинное значение ускорения свободного падения лежит в пределах от 9,4 до 10 м/c2.
Приведем более сложный пример. Модуль сдвига материала проволоки N , из которого изготовлена пружина жесткостью k , можно определить по формуле:
N 4nkR3 , r 4
где n - число витков пружины; R - радиус пружины; r - радиус проволоки.
9

Пусть погрешности измерения величин k, R, r соответственно равны k, R, r . Если использовать формулу (1) для расчета погрешности N , то получим следующее выражение:
N |
4nR3 |
k |
12nkR2 |
R |
16nkR3 |
r , |
|
r 4 |
r 4 |
r5 |
|||||
|
|
|
|
которым неудобно пользоваться из-за его громоздкости. Выражение же для расчета относительной погрешности более компактно:
N |
N |
|
k |
3 |
R |
4 |
r . |
|
N |
|
k |
|
R |
|
r |
Рассчитав N и N , легко определить N :
N N N .
Очевидно, что последний способ расчета абсолютной погрешности менее трудоемкий, чем первый.
В заключение приведем таблицу формул для вычисления погрешностей в некоторых частных случаях (табл.3).
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 3 |
|
|
|
Примеры вычисления абсолютной и относительной погрешностей |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Математическая |
|
|
Абсолютная |
|
|
|
|
Относительная |
|
||||||||||||||
операция |
|
|
погрешность |
|
|
|
|
погрешность |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
f Axn |
|
|
A n xn 1 x |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n x |
|
|
|
|||
f Asinx |
|
|
|
Acosx x |
|
|
|
|
|
|
ctgx x |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
f A(x1 x2) |
|
|
A( x x |
2 |
) |
|
|
|
|
|
x x |
2 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x1 x2 |
|
|
|
|||
|
x1n x2m |
|
xn 1xm |
xn xm 1 |
|
|
|
|
x1 |
|
x2 |
|
x3 |
|
|||||||||
f |
|
|
n |
1 |
2 |
x m |
1 2 |
x |
|
|
n |
|
m |
|
|
|
k |
|
|
||||
xk |
|
x |
x |
|
|
x |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
k |
1 |
|
|
|
k |
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|||||||
|
3 |
|
|
x3 |
|
|
|
|
|
x3 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
3 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
n m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
x1 x2 |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
xk 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Еще раз напомним: при сложении (вычитании) некоторых величин складываются их
абсолютные погрешности; при умножении (делении) величин складываются их относительные погрешности.
Домашнее упражнение. Получить выражения для расчета абсолютной и относительной погрешностей величины f , если:
а) f x ; б) f ln x ; в) f x(1 cos ), где x и - измеряемые величины.
Упражнение 2. Обработка результатов косвенных измерений.
Рассчитать ускорение свободного падения и его погрешность, зная длину l и период колебаний T математического маятника: l (0,500 0,005) м, Т (1,42 0,02) с.
Напомним, что
T 2 l / g .
10