Лабы Механика Спиридонов

Упражнение 2. Определение приближенной формулы, соответствующей полученному экспериментальному распределению. (Выполняется после защиты первого упражнения по указанию преподавателя.)

Аналитический вывод закона распределения скоростей в пучке вылетевших шариков в общем случае представляет собой очень сложную задачу. Однако можно «подобрать» нужную формулу, которая приближенно описывает полученное экспериментальное распределение. Видимо, распределение скоростей вылетевших шариков должно иметь следующий вид:

где A, - некоторые положительные действительные числа. Нужно подобрать эти числа так, чтобы полученная зависимость приближенно описывала экспериментальное распределение.

удалите все данные в ячейках K8 - K30;

щелкните мышью по ячейке K7;

в строке формул после знака «=» должна быть записана формула (15), например,

так:

«=$L$7*H7^$M$7*EXP(-(H7^2)/(0,423^2))».

Введите в выражение, записанное в строке формул, значение эксп вместо величины 0,423

в

в приведенном примере.

снова щелкните мышью по ячейке K7;

в правом нижнем углу ячейки K7 появится черный квадратик. Подведите курсор мыши (в виде креста) к этому квадратику. Когда цвет курсора изменится с белого на черный, «зацепите» квадратик и «потяните» его по вертикали до ячейки K30. В ячейках K8 - K30 долж-

ны появиться остальные значения F i 2 , где i 2,...,24.

3. Числа A, записаны в ячейках L7, M7 соответственно. В окне программы «Excel» найдите диаграмму «Упражнение 2». На этой диаграмме по соответствующим данным построе-

ны гистограммы F i эксп (ячейки I7 - I30) и F i 2 (ячейки K7 - K30). Меняя числа A, , попробуйте добиться, чтобы обе гистограммы стали примерно одинаковыми. При подборе значений чисел A, руководствуйтесь следующими соображениями. Число A - это нормировоч-

стоящий перед экспонентой, в распределении Максвелла по модулю скорости (8) равен двум.

151

В теории доказывается, что в пучке вылетевших молекул значение равно трем. Для прежде всего нужно пробовать именно эти значения.

4.Покажите результаты преподавателю.

5.Закройте программу «Excel», не сохраняя полученных данных.

Сформулируйте выводы по результатам работы. Основные результаты измерений све-

дите в табл.3.

Подготовка к работе

1.Физические понятия, законы:

макро- и микросостояние макроскопической системы;

тепловое движение атомов и молекул, средняя кинетическая энергия поступательного движения молекул;

равновесное состояние макроскопической системы;

суть статистического подхода к описанию свойств макроскопических систем;

одномерная функция распределения Максвелла;

функция распределения Максвелла по модулю скорости;

условие нормировки функции распределения и его смысл;

границы применимости распределения Максвелла.

2.Исходя из функции распределения (5), выведите функцию распределения Максвелла по модулю скорости (13).

3.Выведите формулы для характерных скоростей в , , кв .

4.Расчетное задание.

выполните вычисления не менее чем в пяти точках.

Для газа, состоящего из атомов гелия и аргона, первому члену бригады - для гелия,

152

тельного движения молекул. При расчете температуру определите из соотношения:

T291 Nбр 2 , где Nбр - номер бригады.

5.Перенесите табл.1 в конспект после выполнения расчетного задания.

6.Сформулируйте цель работы и порядок ее выполнения.

П р и м е ч а н и е. Пункты 2 - 6 выполните письменно при подготовке к лабораторной работе.

Рекомендуемая литература

1.Иродов И.Е. Физика макросистем. Основные законы. - М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2012. -

207 с. Введение; § 1.1; 2.1 - 2.3.

2.Савельев И.В. Курс общей физики: в 4 т. Т.1. Механика. Молекулярная физика и термодинамика: учеб. пособие/Под общ. ред. И.В. Савельева. - М.: КНОРУС, 2009. - 528 с. § 11.2 - 11.7.

3.Сивухин Д.В. Общий курс физики: учеб. пособие для вузов: в 5 т. Т.2. Термодинамика и молекулярная физика. - М.: ФИЗМАТЛИТ; Изд-во МФТИ, 2006. - 544 с. Введение; § 1; 9; 60; 71 - 73; 76.

153

Лабораторная работа № 14

Измерение вязкости жидкости

Цель работы: измерение зависимости вязкости воды от температуры и определение энергии активации.

Оборудование: шариковый вискозиметр Гепплера; термометр; погружной термостат; ванна; резиновые трубки; секундомер цифровой; вода дистиллированная.

Продолжительность работы: 4 часа.

Теоретическая часть

1. Основные понятия

При движении тела в жидкости возникает сила противодействия этому движению. Одно и то же тело, движущееся с одной и той же скоростью в разных жидкостях, испытывает разное сопротивление движению: чем более «вязкая» жидкость, тем большее сопротивление испытывает тело. Увеличение скорости движения тела увеличивает сопротивление среды.

Физический смысл этого явления поясним на примере опыта, схематически показанного на рис.1. В жидкость погружены две параллельные пластины, линейные размеры которых значительно превосходят расстояние d между ними. Нижняя пластина удерживается на месте, а верхняя приводится в движение относительно нижней со скоростью V0. Частицы жидкости как бы прилипают к движущейся пластине. При этом разные слои жидкости имеют разные скорости движения: чем дальше отстоит слой жидкости от верхней пластины, тем меньше его скорость. Распределение скоростей в разных слоях жидкости показано на рис.1 пунктиром.

Рис.1. Физический механизм внутреннего трения (вязкости)

Для того чтобы обеспечить такое движение, необходимо приложить к верхней пластине си-

лу F . Если при этом она движется с постоянной скоростью, то это означает, что ускорение рав-

но нулю, и действие силы F уравновешивается равной ей по величине и противоположно на-

правленной силой Fтр , которая, очевидно, и есть сила трения, действующая на пластину при ее

154

движении в жидкости. Путем варьирования скорости пластины V0, площади пластин S и расстояния между ними d экспериментально можно установить соотношение:

тр d

где η - коэффициент пропорциональности, зависящий от природы и состояния жидкости и на-

зываемый коэффициентом внутреннего трения или динамической вязкостью жидкости.

Нижняя пластина при движении верхней также оказывается подверженной действию силы

друга между ними возникает взаимодействие, характеризуемое силой (1). Воздействие пластин друг на друга осуществляется через жидкость, заключенную между пластинами, передаваясь от одного слоя жидкости к другому. Проведем в любом месте зазора мысленную плоскость, парал-

лельную пластинам (штрих-пунктирная линия на рис.1). При этом часть жидкости, лежащая над

этой плоскостью, действует на часть жидкости, лежащую под плоскостью, с силой F . А часть

тр

жидкости, лежащая под плоскостью, в свою очередь действует на часть жидкости, лежащую над

плоскостью, с силой Fтр . Значения обеих сил определяются формулой (1). Таким образом,

формула (1) определяет не только силу трения, действующую на пластины, но и силу трения между соприкасающимися слоями жидкости.

Вязкостью жидкости, или внутренним трением, называется свойство жидкости оказывать сопротивление взаимному перемещению ее частиц под действием приложенной к жидкости силы.

Единицей измерений динамической вязкости в Международной системе единиц (СИ) служит паскаль-секунда (Па·с) - вязкость жидкости, в которой сила в 1 Н вызывает в слоях площадью 1 м2, отстоящих друг от друга на расстоянии 1 м, разность скоростей 1 м/с. На практике обычно пользуются дольной единицей - миллипаскаль-секундой (мПа·с).

Диапазон изменений значений вязкости очень широк: вязкость наиболее подвижных жидкостей, например петролейного эфира, отличается от вязкости наиболее вязких жидкостей, например битума, в миллиарды раз.

Величину, обратную вязкости, называют текучестью:

2. Измерение вязкости жидкости методом падающего шара

Прибор для измерения вязкости называется вискозиметром. Принцип действия шариковых вискозиметров основан на зависимости скорости падения шара от динамической вязкости жидкости. Для малой скорости движения шара в вязкой среде сила сопротивления, действующая на шар, определяется формулой Стокса:

где η - динамическая вязкость; r - радиус шара; V - скорость шара.

155

Если шар движется в вязкой среде под действием силы тяжести, то, кроме силы сопротивления (3), на него действуют сила тяжести mg, направленная вниз, а также выталкивающая сила FA, направленная вверх:

где ρш, ρж - плотности материала шара и жидкости соответственно. Запишем второй закон Ньютона в проекциях на вертикальную ось:

Если шар начинает движение из положения равновесия, то по мере увеличения скорости его движения сила сопротивления будет возрастать, и в некоторый момент сумма сил, действующих на шар, станет равной нулю. После этого шар будет двигаться с постоянной скоростью. Приравняв нулю левую часть формулы (4), получим следующее выражение для вязкости:

Измеряя время , за которое шар переместится на расстояние L, можно рассчитать динамическую вязкость по формуле:

Формула Стокса (3) справедлива для шара, который движется в среде, не ограниченной стенками. При движении шара в трубке радиусом R в формулу Стокса вводят поправку Ладенбурга. С ее учетом формула для динамической вязкости принимает вид

На практике постоянную вискозиметра не рассчитывают, а определяют экспериментально для каждого конкретного шара, измеряя время его падения в специальных градуировочных жидкостях с известной вязкостью. После чего измеряют время падения шара в исследуемой жидкости и рассчитывают ее вязкость по формуле (8).

156

Для использования данного метода измерений необходимо выполнение двух условий: вопервых, трубка должна иметь строго цилиндрическую форму, во-вторых, шар должен двигаться точно по оси трубки. Второе условие выполнить достаточно сложно. Чтобы исключить влияние отклонения траектории движения шара от оси трубки, Гепплер разработал вискозиметр с наклонной трубкой. Его устройство подробно изложено в разделе «Описание установки».

3. Ламинарное и турбулентное течение

Давая определение коэффициента динамической вязкости, мы предполагали, что жидкость как бы разделяется на слои, которые скользят относительно друг друга, не перемешиваясь. Такое течение называется ламинарным (слоистым).

При увеличении скорости и поперечных размеров потока характер течения существенно изменяется: слои жидкости начинают интенсивно перемешиваться между собой. Такое течение называется турбулентным.

Характер течения зависит от значения безразмерной величины, называемой числом Рей-

нольдса:

где ρ - плотность жидкости; V - средняя скорость потока; l - характерный размер поперечного сечения; η - коэффициент вязкости.

Для шара, падающего внутри заполненной жидкостью трубки, в качестве характерного размера необходимо взять диаметр шара. В этом случае режим течения жидкости можно оценить по следующему критерию:

Re 0,1 - режим течения чисто ламинарный;

0,1 Re 100 - область неустойчивости ламинарного течения; Re 100 - режим течения турбулентный.

Отметим, что критические значения числа Рейнольдса зависят от конкретного вида течения и в других случаях они могут сильно отличаться от указанных выше. Например, для течения жидкости в прямой круглой трубе ReC 2300.

4. Температурная зависимость вязкости

Молекулы жидкости не связаны с неподвижными центрами колебаний, как в кристаллах, и движутся не так свободно, как в газах. Каждая молекула жидкости окружена со всех сторон тесным кольцом других молекул, которые отстоят от нее в среднем на расстоянии, равном ее диаметру. Движение молекул жидкости можно представить себе как ряд постоянно возобновляемых попыток выйти из окружения, в котором они находятся. Если соседние молекулы разойдутся на достаточное расстояние или если молекула получит энергию, достаточную для того, чтобы раздвинуть соседние молекулы, то она перейдет на новое место. Здесь она будет совершать колебания до тех пор, пока снова не создадутся благоприятные условия для ее перемещения на другое место.

Минимальная энергия, необходимая для того, чтобы молекула жидкости могла переместиться из одного временного положения равновесия в другое, называется энергией активации данной жидкости W. Величина этой энергии зависит от степени упорядоченности размещения молекул и от величины межмолекулярных сил.

Сущность явления внутреннего трения жидкости состоит в том, что молекулы, находящиеся под действием внешней силы, совершают перескоки преимущественно в направлении этой силы. Чем чаще способны молекулы жидкости перемещаться из одного мгновенного положения

157

равновесия в другое, тем больше текучесть и тем меньше вязкость жидкости. Все такие молекулы должны иметь энергию больше энергии активации W. Их количество N, а значит, и текучесть жидкости φ, в соответствии с формулой Больцмана может быть выражена соотношением:

где NA - число Авогадро, т.е. количество молекул в одном моле. Умножим и разделим второе слагаемое формулы (11) на это число и получим:

Почувствовать порядок величины энергии активации и ее физический смысл помогут следующие умозаключения. Теплота парообразования - это энергия, которую нужно затратить на полное освобождение молекулы от действия всех остальных; теплота плавления - это энергия, которую нужно затратить на разрушение порядка расположения молекул. Таким образом, величина энергии активации должна лежать между теплотой плавления и теплотой парообразования.

158

Поскольку измерительная трубка установлена под наклоном, шар скользит по ее стенке. При этом исключаются погрешности отклонения трубки от вертикали и отклонения траектории шара от оси трубки. Для поддержания точного угла наклона трубки необходимо перед измерением установить станину вискозиметра по уровню.

Вискозиметр снабжен комплектом шаров, выполненных из разного материала, разного диаметра и массы для измерений динамической вязкости жидкостей в широком диапазоне. Контроль температуры измерений осуществляется ртутным термометром 3, опущенным через верхнюю крышку корпуса в дистиллированную воду.

Корпус может поворачиваться вокруг оси, закрепленной на станине. При этом рабочими являются два симметричных крайних положения, когда угол между осью корпуса и вертикалью

равен 10 . Такая конструкция позволяет проводить любое количество измерений, не извлекая шара из трубки. Перед измерением устанавливают корпус в любое из рабочих положений. По-

сле того как шар достигнет дна измерительной трубки, корпус с трубкой поворачивают на 160 и фиксируют во втором рабочем положении. Проводят измерение, после чего шар занимает ис-

ходное положение. Корпус еще раз поворачивают на 160 в обратную сторону и фиксируют в исходном рабочем угле наклона, измерение повторяют.

Динамическую вязкость определяют по формуле:

где η - динамическая вязкость, мПа∙с; K - постоянная вискозиметра при применении конкретного шара, (мПа·см3)/г; ρш, ρж - плотности материала шара и жидкости соответственно, г/см3;- время движения шара между метками, с.

Время перемещения шара на расстояние 100 мм измеряют секундомером. Радиус и материал шара выбираются так, чтобы время падения шара составляло 30 - 300 с. Основные характеристики шара, используемого для измерения вязкости воды, а также другие количественные данные, необходимые для выполнения работы, представлены в табл.1.

159

Внешний вид экспериментальной установки для измерения вязкости показан на рис.3.

Рис.3. Внешний вид установки для измерения вязкости: 1 - ванна с водой; 2 - термостат; 3 - подводящие трубки; 4 - вискозиметр Гепплера

Экспериментальная часть

1.Перед началом измерений ванна должна быть наполнена водой таким образом, чтобы спираль нагревателя термостата оказалась покрыта водой.

2.Внимательно ознакомьтесь с краткой инструкцией по эксплуатации термостата, приведенной в приложении. Включите термостат и задайте ему температуру 23 C . Наблюдая за из-

менением температуры в ванне, которую показывает дисплей термостата, дождитесь стабилизации температурного режима. Реальная температура в вискозиметре несколько отличается от температуры воды в ванне (как правило, она на 2 - 3 C выше). Поэтому температуру жидкости

в вискозиметре следует измерять по ртутному термометру, укрепленному внутри него. Измерьте эту температуру и занесите ее в табл.2. По известной формуле T (K) 273,15 t( C) переве-

дите температуру в абсолютную и занесите полученный результат в табл.2.

Таблица 2

Результаты экспериментов

160