6 Монотонные последовательности

Определение. Последовательность {x_n} называется возрастающей, если для всех номеров n имеем x_n < x_n+1; неубывающей, если для всех номеров n имеемx_n ≤ x_n+1; убывающей, если для всех номеров n имеем x_n > x_n+1; невозрастающей, для всех номеров n имеем x_n ≥ x_n+1.

Теорема Больцано – Вейерштрасса

Монотонно возрастающая (убывающая) ограниченная сверху (снизу) последовательность должна иметь предел. Действительно. В этом случае для возрастающей последовательности должна существовать такая точка ξ , для которой а) справа нет ни одной точки последовательности, б) слева от неё в любой как угодно малой окрестности существует бесконечно много членов последовательности. Если справа от точки ξ попалась хотя бы одна точка последовательности, то из-за возрастания последовательности справа от точки ξ будет бесконечно много членов числовой последовательности. Тогда это должна быть другая точка η > ξ и так далее. Если всё - таки такой точки не будет, то это приведёт к противоречию с требованием ограниченности последовательности. Так как в сколь угодно малой окрестности точки ξ (хотя бы слева) есть бесконечное число точек последовательности, то эта точка ξ является пределом этой последовательности. Если слева было бы конечное число точек последовательности и бесконечно справа, то это была бы другая точка ξ, что приводит опять к противоречию об ограниченности последовательности. Существует другая формулировка теоремы Больцано – Вейерштрасса. Из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность. Доказательство. Пусть последовательность ограничена, то есть существует такой отрезок [а, b], что х_n [а, b] n = 1, 2, 3, … Разделим отрезок [а, b] пополам, и по крайней мере один из получившихся отрезков содержит бесконечно много элементов данной последовательности. Пусть это будет отрезок [а₁, b₁], и так далее. Получим систему вложенных отрезков (см. ниже) [a, b] [a₁,b₁] [a₂,b₂] … [a_n,b_n] … Выберем по одному элементу последовательности из каждого отрезка

Последовательность {x_nk} является подпоследовательностью последовательности {x_n}. Так как

то существует такая точка ξ [а, b], что

Так как a_n ≤ x_n ≤ b_n, то

Замеча́тельные преде́лы — термин, использующийся в советских и российских учебниках по математическому анализу для обозначения некоторых широко известных математических тождеств со взятием предела. Особенно известны:

Первый замечательный предел:

Второй замечательный предел:

Второй замечательный предел

или

Доказательство второго замечательного предела:

Доказательство для натуральных значений x

Зная, что второй замечательный предел верен для натуральных значений x, докажем второй замечательный предел для вещественных x, то есть докажем, что . Рассмотрим два случая: