Верхняя и нижняя грани числовых множеств

 Наименьшее среди всех чисел, ограничивающих сверху числовое множество Е  R, называется его верхней гранью и обозначается β = sup E, то есть

1. x  E: x ≤ β,

2.  ε > 0  x  E: x > β - ε.

 Наибольшее среди всех чисел, ограничивающих числовое множество Е  R, называется его нижней гранью и обозначается α = inf E, то есть

1.  x  E: x ≥ α,

2. ε > 0  x  E: x < α + ε.

2

Предел числовой последовательности — предел последовательности элементов числового пространства. Числовое пространство — это метрическое пространство, расстояние в котором определяется как модуль разности между элементами.

Определение предела числовой последовательности

 Последовательность точек x_n  R на числовой оси называется сходящейся, если существует такая точка M ₀, что для для любого как угодно малого положительного числа ε > 0 найдётся для этой последовательности номер, зависящий от этого ε, такой, что для всех последующих номеров расстояние между членами числовой последовательности и точкой M₀ будет меньше этого ε:

 

 Это означает, что в любую как угодно малую окрестность точки М₀ попадают все точки этой последовательности, начиная с некоторой (и тем самым вне этой окрестности остаётся лишь конечное число точек последовательности). Расстояние между точками числовой оси было определено в курсе аналитической геометрии.   Точка М₀ называется пределом последовательности x_n, что обозначается символом .  Если для заданной последовательности не существует точки М₀, для которой было бы справедливо свойство (2.1), то последовательность называется расходящейся.  Для точек числовой оси расстояние между двумя любыми её точками определяется соотношением

d (x, y) = | x - y |.

 Последовательность действительных чисел {x₁, x₂, x₃,…,x_n,…} сходится к числу х, если

 Неравенство | x_n - x | < ε можно записать в виде x - ε < x_n < x + ε,  n > N

и  n > N все точки числовой последовательности будут находиться в указанном интервале.

Единственность предела

   Если последовательность сходится, то она имеет только один предел.  Доказательство. Предположим противное, т.е. что сходящаяся последовательность {x_n} имеет два предела a ≠ b. Тогда

.

Так как числовая последовательность имеет второй предел, то

.

Пусть N = max{N₁, N₂ }, тогда при всех n > N имеем

.

И, поскольку ε является как угодно малым положительным числом, как единственно возможное, имеем

a = b.

Теорема об ограниченности сходящейся последовательности

  Если последовательность имеет конечный предел, то последовательность ограничена.  Определение. Числовая последовательность {x_n} ограничена, если существует такое конечное число К, что для всех n выполнено

d (x_n, a ) < K.

  Доказательство. Пусть

Тогда

 N:  n > N: d (x_n, a) < 1.

 Внутри окрестности радиуса R = 1 бесконечное число точек, а вне этой окрестности конечное число точек, допустим, что это точки x₁, x₂, … x_N. Выберем число

,

тогда уже для всех n будет выполнено

d (x_n, a ) < K.

Предел постоянной величины

  Если все элементы последовательности {x_n} равны одному и тому же числу с, то

  Д о к а з а т е л ь с т в о. Очевидно, что условие | c - c | < ε выполняется, начиная с любого номера N и для любого как угодно малого положительного числа ε > 0.  Постоянный множитель можно выносить за знак предела.  Доказательство. Пусть , это значит, что

.

В этом случае

.

Это означает, что