Предельный переход в неравенствах

 Если x_n ≤ y_n и , , то x ≤ y.  Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как , то

Так как , то

Для n > N₁ имеем x - ε < x_n < x + ε. Для n > N₂ имеем у - ε < у_n < у + ε. Выберем N = max{N₁,N₂}, тогда неравенства будут выполняться одновременно. Пусть, наоборот, х > y. Выберем ε таким, чтобы окрестности x - ε < x_n < x + ε и у - ε < у_n < у + ε не пересекались, то есть у + ε < х - ε, откуда находим

.

Но тогда для n >N имеем x_n ≥ y_n, что противоречит условию теоремы. Для трёх последовательностей {x_n}, {y_n}, {z_n}, из того, что x_n + y_n ≤ z_n и , , , следует a + b ≤ c.

3 Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности и их свойства.

Определение 27 (бесконечно малая последовательность). Бесконечно малая последовательность — последовательность, предел которой равен 0. То есть x lim x_n = 0или более подробно с учетом определения предела >0  N:  n>N |x_n| <  x_n.

Пример 20. Последовательность x_n = 1/n

является бесконечно малой последовательностью.

(свойства бесконечно малых последовательностей)

1. Сумма и разность двух бесконечно малых последовательностей является бесконечно малой последовательностью.

2. Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую последовательность является бесконечно малой последовательностью.

Следствие 1. Произведение конечного числа бесконечно малых последовательностей является бесконечно малой последовательностью. Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых последовательностей является бесконечно малой последовательностью.

4

Арифметические операции со сходящимися последовательностями

Если ,то

а)

б)

в)

Доказательство:

Т.к. , то , где-бесконечно малые последовательности

а)=a+b+,где a+b при nбесконечности, -бесконечно малая последовательность

б)+, где все последовательности бесконечно малые,

кроме a*b,следовательно,предел равен a*b

в)Докажем,что- бесконечно малая последовательность=-бесконечно малая последовательность.

5

(бесконечно большая последовательность). x_n – бесконечно большая последовательность, если  c>0  N:  n>N |x_n|>c.

Пример 21. Последовательности n, 2ⁿ являются бесконечно большими.

Следует различать неограниченную и бесконечно большую последовательности. Всякая бесконечно большая последовательность является неограниченной, однако неограниченная не обязательно является бесконечно большой. Рассмотрим следующий пример.

Пример 22. Пусть x_n = 1,1/2,3,1/3,5,1/4,..., нетрудно заметить, что данная последовательность состоит из двух составляющих, а именно x_2k-1 = 2k-1, x_2k = 1/(k+1). Данная последовательность неограниченная, так как содержит неограниченную составляющую x_2k-1 = 2k-1, но не является бесконечно большой, так как содержит вторую часть x_2k = 1/(k+1).

Очевидно следующее утверждение.

Лемма 1. Если _n — бесконечно малая последовательность, то 1/ _n —бесконечно большая последовательность.

Пример 23. Пусть _n = 1/n, которая является бесконечно малой, тогда последовательность  _n = 1/ _n = n будет бесконечно большой.

Теорема 5. Для того чтобы последовательность {x_n} имела предел, равный A необходимо и достаточно, чтобы ее члены имели вид

x_n = A+ _n,

где

lim _n  _n = 0.

Свойства бесконечно больших последовательностей

1) Если xn – бесконечно большая, то последовательность 1/xn – бесконечно малая. Если последовательность an – бесконечно ма-лая, то последовательность (1/an) –бесконечно большая.

2) Если последовательности xn и yn – бесконечно большие одного знака, то их сумма (xn +yn) –бесконечно большая того же знака.

3) Если последовательности xn – бесконечно большая, а последовательность yn – ограниченна, то иx cумма xn+yn – бесконечно большая последова

4) Если последовательности xn и yn – бесконечно большие, то их произведение xn*yn – бесконечно большая последователь-ность.

5) Если последовательность xn – бесконечно большая, а после-довательность yn – сходящаяся, причем lim yn =a≠0 n→∞, то их произ-ведение xn*yn – бесконечно большая последовательность.