1

Под множеством понимают совокупность (собрание, класс, семейство...) некоторых объектов, объединенных по какому-либо признаку. Так можно говорить о множестве студентов института, о множестве рыб в Черном море, о множестве корней уравнения х²+2х+2=0, о множестве всех натуральных чисел и т. д.

Объекты, из которых состоит множество, называются его элементами. Множества принято обозначать заглавными буквами латинского алфавита А, В,..., X, Y,..., а их элементы — малыми буквами a, b,... ...,х,у,...

Система аксиом действительных чисел Аксиомы сложения

1. Для любых чисел a, b ∈ R определено единственное число a + b ∈ R, называемое суммой чисел a и b.

2. Для любых чисел a, b ∈ R имеет место соотношение a + b = b + a (коммутативность).

3. Для любых чисел a, b, с ∈ R имеет место соотношение a + (b + c) = (a + b) + c (ассоциативность).

4. Существует число 0 ∈ R такое, что a + 0 = a для всех a ∈ R. Число 0 носит название нуль.

5. Для любого числа a ∈ R существует число b ∈ R такое, что a + b = 0.

Аксиомы умножения

6. Для любых чисел a, b ∈ R определено единственное число a · b ∈ R, называемое произведением чисел a и b.

7. Для любых чисел a, b ∈ R имеет место соотношение a · b = b · a (коммутативность).

8. Для любых чисел a, b, c ∈ R имеет место соотношение a · (b · c) = (a · b) · c (ассоциативность).

9. Существует число 1 ∈ R такое, что 1 · a = a для всех a ∈ R. Число 1 носит название единица.

10. Для любого числа a ∈ R, a ≠ 0 существует число b ∈ R такое, что a · b = 1.

11. Для любых чисел a, b, c ∈ R имеет место соотношение a · (b + c) = (a · b) + (a · c) (дистрибутивность).

Аксиомы порядка

12. Для любых чисел a, b ∈ R имеет место одно и только одно из следующих соотношений: a < b, a =b, a > b.

13. Для любых чисел a, b, c ∈ R таких, что a < b и b < c, справедливо соотношение a < c (транзитивность).

14. Для любых чисел a, b, c ∈ R таких, что a < b, справедливо соотношение a + c < b + c.

15. Для любых чисел a, b, c ∈ R таких, что a < b и c > 0, справедливо соотношение a · c < b · c.

   Если a < b, то говорят, что a меньше b (b больше a); в этом случае пишут также b > a. Если a < b или a = b, то пишут a ≤ b. Действительные числа, удовлетворяющие неравенству a > О, называются положительными; действительные числа, удовлетворяющие неравенству a < 0, называютсяотрицательными. 

Верхняя и нижняя грани множества X обозначаются со-

ответственно символами sup X, inf X.

Примеры.

sup[a, b] = b, sup(a, b) = b.

Отметим, что верхняя грань множества может как принад-

лежать, так и не принадлежать этому множеству, ср. слу-

чаи [a, b], (a, b).

Теорема 1 (единственности). Числовое множество

не может иметь больше одной верхней (нижней) грани.

Д о к а з а т е л ь с т в о проведем лишь для случая

верхней грани. Допуская противное, предположим, что ка-

ждое из чисел b и b (b = b ) является верхней гранью мно-

жества X. Пусть, для определенности, b < b. Тогда, в

силу того, что b = sup X, из определения верхней грани

следует, что для числа b ∃ xb : xb ∈ X, xb > b . Но тогда

b не является верхней гранью X. Из полученного противо-

речия следует ошибочность предположения и утверждение

теоремы.

Заметим, что в условиях теоремы не предполагается

существование верхней (нижней) грани. Теорема утвер-

ждает, что если верхняя (нижняя) грань существует, то

она единственна.

Значительно более глубокой (эквивалентной аксиоме не-

прерывности) является теорема о существовании верхней

грани.

Вещественное число s является sup X тогда и только тогда, когда s есть верхняя грань X то есть для всех элементов , . Для любого ε > 0 найдётся , такой, что x + ε > s (то есть к s можно сколь угодно «близко подобраться» из множества X) Аналогичное утверждение верно для точной нижней грани.