Добавил:

VadoZ хачю сдать сессию Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский технический университет связи и информатики

Предмет:

Высшая математика

Файл:

вышмат полезно

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

01.06.2024

Размер:

1.39 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 153 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 > Следующая >>>

Определение 2.2. Число b называют пределом функции y f x при x a , если для всякого числа 0 (как бы мало оно ни было) можно указать такое число 0, что для всех значений x , удовлетворяющих неравен-

ству

x a

, будет выполняться неравенство

f x b

Записывают lim f x b 0 :0

x a

f x b

x a

т.е.

x a ,a f x b ,b , это геометрически означает, что

для аргументов, попавших в окрестность точки a , значения функции попадают в окрестность точки b.

Рассмотрим понятия односторонних пределов функции.

Определение 2.3. Если y f x стремится к пределу b при x a только с одной стороны (справа x a или слева x a ), то b называют пределом функции y f x в точке x a справа или слева и обозначают:

b f a 0 lim	f x	или b f a 0 lim	f x .
x a 0		x a 0

Существует понятие о бесконечном пределе (бесконечно большая функция), хотя это и означает отсутствие предела как числа.

Определение 2.4. lim f x , если для любого числа M 0 можно указать

x a

такое число M 0, что для всех значений x ,

удовлетворяющих

неравенству 0

x a

, будет выполняться неравенство

f x

M .

lim f x M 0 M :0

x a

f x

x a

Приведите в качестве иллюстраций к ниже приведенным равенствам

графики функций f x .

lim f x

; lim

f x ;lim f x

x a

x a 0

Приведенные выше определения пределов не являются рабочими правилами для их отыскания. Поэтому, рекомендуется использовать следующие основные теоремы о пределах переменных величин, а также известные пределы, их следствия и некоторые распространенные приемы алгебраических преобразований, например, освобождение от иррациональности в знаменателе или в числителе дроби и др.

Основные теоремы о пределах

Теорема 2.1

Теорема 2.2

Теорема 2.3

Теорема 2.4

lim c c,c const ,

x a

lim f1

x f2 x lim f1 x lim f

2 x

x a

lim

f2 x

lim f1 x lim f2 x ,

x a

lim

lim f1

x 0.

x a

lim f2

x a

При этом предполагается, что пределы функций f1 x и f2 x существуют.

Теорема 2.5 (о пределе «зажатой последовательности»). Если члены последовательностей xn , yn , zn , начиная с некоторого номера n0 ,

удовлетворяют неравенствам xn yn zn и при этом limxn limzn a , то

n n

последовательность yn сходится к числу a .

Таблица известных пределов

1. limsinx 1 (первый замечательный предел).

x 0 x

	1	x	e , e 2,71828...	(второй замечательный предел).
2. lim 1	x		e , e 2,71828...	(второй замечательный предел).
x	x

Следствия из первого и второго замечательных пределов (3 – 6)

lim 1 x x

e .

4. limtgx limarcsinx limarctgx 1.

x 0

x 0 x

x 0

x 0 x

limax

1 lna .

lim

x 1

x 0

lim

0 a 1 . 8.

limlnx 0.

x ax

a0x p a1x p 1

... ap 1x ap

0,если p q

lim

,если p q

b xq b xq 1

... b

q 1

b ,если p q

10. lim 1 0.

11.

lim

1 ; lim

x x

x 0 0

Условные, но вполне понятные символические выражения

00; ; 1 ; ; 0 ; 0 0 ; 0 - обозначают кратко 00; ;1 ; ; 0 ;00; 0 и называют неопределенностями.

Неопределенности

00; ; ; 0 ;1 ;00; 0

Для раскрытия неопределенности типа 1

12. lim f x g x	lim f x 1;limg x
x a	x a	x a

имеет место известное соотношение lim f x g x

x a

ex a	f					x	.
lim	f		x	1 g		x

Далее рассмотрим некоторые приемы раскрытия неопределенностей (т.е. доведение их до вполне определенного ответа).

2.3. Решение некоторых типовых задач, рассматриваемых в аудитории

2.3.1. Показать,			что последовательность 1,1		, 1	,	1	,...	1 n ,...имеет своим
2.3.1. Показать,			что последовательность 1,1		, 1	,		,...	1 n ,...имеет своим
				4	9	16			n2
пределом нуль,			определив для каждого 0		число			M M , такое, что
	xn a	при всех n M . Заполнить таблицу:
	xn a	при всех n M . Заполнить таблицу:

			0,25	0,01					0,0025
	M

Решение.Зададимсянекоторым малымположительнымчислом (тем самым зададим окрестность точки 0) и определим, с какого номера все члены последовательности окажутся в -окрестности точки 0.

Имеем

1 n 0

n2 1 n

Объявим искомым номером M ближайшее натуральное число, лежащее пра-

вее числа

(или совпадающее с ним, если оно окажется целым). Тогда при

n M , т.е. при	n	1	будет выполняться неравенство	1 n	0	,

				n2

следовательно, по определению lim

1 n

0,25

0,01

0,0025

2n 1

1 2n

2.3.2. Вычислить lim

5n 7

2 5n

Решение. Применяя теорему 2.2 и 2.4 о пределах и предел 9 из таблицы известных пределов, получим

2n 1

1 2n

2n 1

1 2n

lim

5n 7

2 5n

5n 7

2 5n

2.3.3. Показать, что предел последовательности

lim

n 2

Решение. Из соотношений 0

n 2

n 2 n

Видно, что последовательность зажата последовательностями, пределы кото-

рых равны нулю при n , таким образом, lim xn n 2 n 0.

2.3.4. Вычислить lim		n 2 n		.
n

Решение. Данную задачу можно решить и с помощью основных теорем о пределах. Имеем неопределенность типа . Умножим числитель и знаме-

натель на сопряженное выражение

n 2

n , применяя теорему 2.4, и

предел 10 из таблицы известных пределов, получим

lim n 2

n lim

n 2

lim

n 2

2.3.5. Показать, что предел последовательности limqn 0

, если

Решение. При q 0 это очевидно. Пусть 0 q 1. Исходя из неравенства Бернулли (свойство С, раздел 2.2), запишем

1 n

, откуда следует, что

M .

Это и означает, что

limqn 0.

2.3.6. Доказать, что

lim

Решение. Пусть

, тогда

n n!

0 xn

...

n 2

при

n на основании при-

мера 2.3.5.

Таким образом, последовательность зажата последовательностями, пре-

делы которых при n

равны нулю. По теореме 2.5

lim

n n!

2.3.7. Доказать, что lim

0. Решение. Из оценки 0

3...n 1

n nn

n n n

верной для любого n N , следует, что последовательность

зажата по-

следовательностями, имеющими предел ноль при n , т.е.

lim

n nn

2.3.8. Вычислить lim

3 n3 2n 1

Решение. Разделим числитель и знаменатель на nk , где k наибольший пока-

затель степени, из показателей степеней числителя и знаменателя. В данном

примере k 1

2n 1 n .

2n 1

3 1

Тогда lim

lim

n 2

2.3.9. Вычислить lim n 2 ! n 1 !.

n 3 !

Решение. Применяя свойство факториала n 1 ! n! n 1 , запишем

lim

n 2 ! n 1 !

lim

n 1 ! n 2 n 1 !

lim

n 3

lim

n 2 n 3

n 3 !

n 1 ! n 2 n 3

n n

1 2 3 ... n

2.3.10. Вычислить lim

Решение. В числителе выражения стоит арифметическая прогрессия, сумма

которой равна 1 2 3 ... n n n 1 / 2.

...

Тогда lim

lim

n 2

lim

1 .

2 n 2

2.4. Задачи для самостоятельного решения

2.4.1. Доказать, что un n 1

стремится к 1

при n . Начиная с какого n

n 1

и 1 не превышает 10 4 .

абсолютная величина разности между un

Вычислить пределы последовательностей:

2.4.2.

limn3 100n2 1

. 2.4.3.

lim

2n 1 4

n 1 4 . 2.4.4.

lim

3 n3 2n 1

2n 1 4

n 2

100n2 15n

n 1 4

2.4.5.

lim

3 n2 n

. 2.4.6.

lim

n2 1 n 2

n 1

3 n6 1

2.4.7.lim

3 n4

1 n3 2n2 1

. 2.4.8. lim

3n3

n 1 ! n!

n 4 n6 6n5 2 5 n7

n 2 ! n 1 !.

...

2n 1.

2.4.9.

lim

2.4.10.

lim

. 2.4.11.

lim

n 2 ! n 1 !

...

2n 1

21/n 1.

2.4.12. lim

21/n 1

2.4.3. 15/17; 2.4.4. 1;

Ответы: 2.4.2. ;

2.4.5. 0; 2.4.6. 4; 2.4.7. 1; 2.4.8. 0;

2.4.9. 1; 2.4.10. 4/3; 2.4.11. 1; 2.4.12. 0.

ЗАНЯТИЕ 3.

3. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРЕДЕЛА ФУНКЦИИ

3.1. Решение некоторых типовых задач, рассматриваемых в аудитории.

3.1.1.

x 3x 2 в точке x 1 имеет предел, равный 1, т.е.

lim 3x 2

x 1

Решение.

3x 2 1

3(x 1)

x 1

/3, если взять

, то из

x 1

3x 2 1

, что и требовалось доказать.

5x 3

3.1.2. Вычислить lim

x 1

2x 4

Решение. Пользуясь теоремами о пределах для нахождения данного предела достаточно подставить в функцию предельное значение аргумента:

lim

5x 3

5 1 3

4 .

2x 4

2 1 4

x 1

3.1.3. Вычислить lim

5x 3

. Решение. lim

5x 3

lim

5 1 3

x 1 0

x2 1

x 1 0

x2 1

x 1 0

1 1

Предел отношения многочленов Pn x , Qm x , содержащих неопределен-

ность.

3.1.4. Вычислить lim	x2	9	.
	x2	2x 3
x 3

Решение. При подстановке предельного значения аргумента в функ-

цию получается неопределенность вида 0 . Следует разделить оба много-

члена на x 3 . Тогда, получаем

lim

x 3 x 3

lim

x 3

2x 3

x 3 x 1

x 1

x 3

При вычислении lim Pn x следует в числителе и знаменателе вынести и

x 0 Qm x

сократить наименьшую степень, а в случае lim Pn x наибольшую.

x Qm x

Аналогичный прием применяется и при вычислении пределов некоторых иррациональных выражений.

3.1.5. Вычислить lim	x3	2x 3		.
		x2	5
x

Решение. Имеем неопределенность типа , которую можно раскрыть, вы-



нося в числителе и в знаменателе x3 или, используя предел 9 в таблице известных пределов.

lim

x3 1 2/ x2

3/ x3

lim

1 2/ x2 3/ x3

5/ x3

1/ x 5/ x3

x x3 1/ x

3.1.6. Вычислить lim

2x3 x

x2 2x

x 0

Решение. lim

x7 2x3 x

lim

x6 2x2 1

x5 x2 2x

x 2

x 0

3.1.7. Вычислить lim

x .

Решение. Приводя выражение к общему знаменателю, получим неопределенностьвида ,далеевоспользуемсяпределом9 втаблицеизвестныхпределов.

	x	3			x	степень числителя p 1	0.
lim			x	lim
	2				2
x x	1			x x	1	степень знаменателя q 2

Предел отношения некоторых иррациональных выражений

3.1.8. Вычислить lim		x2	x		x		.
3.1.8. Вычислить lim		2x2 x x				x	.
	x 0	2x2 x x				x
Решение. lim	x2 x		x	lim				x x	x	x 1	1.
Решение. lim	2x2 x	x	x	lim				x 2x	x x 1		1.
x 0	2x2 x	x	x	x 0				x 2x	x x 1
3.1.9. Вычислить lim		x2	x		x			.
3.1.9. Вычислить lim		2x2 x		x		x		.
	x	2x2 x		x		x
							28

									2		1		1
	x	2	x	x				x		1	x				1
		2						x		1
Решение. lim					lim							x x				.
Решение. lim	2x2 x			x x	lim						1		1		2	.
x	2x2 x			x x		x	x	2		2	1		1		2

											x		x	x
											x		x	x
3.1.10. Вычислить lim				x 1 1		.
3.1.10. Вычислить lim						.
			x 0	x

Решение. При подстановке предельного значения аргумента в функцию

также получается неопределенность вида 0 .

В этом случае можно ее раскрыть:

а) умножением числителя и знаменателя на выражение, сопряженное числителю:

lim

x 1 1

lim

x 1 1

lim

x 1 1

lim

;

x 1 1

x 0

x x 1 1

x 0

б) заменой переменной

x 1 t x t2 1.

lim

x 1 1

lim

t 1

lim

1 .

t2 1

x 0

t 1

t 1 t

Применение первого замечательного предела

3.1.11. Вычислить предел limsin3x . x sin2x

Решение. Данную задачу можно свести к первому замечательному пределу, если сделать замену y x x y . Тогда

lim

sin3 y

lim

sin3y

3lim

2y sin3y

3limsin3y

lim

sin2y

3y sin2y

y 0 sin2 y

y 0

2 y 0

y 0 sin2y

y 0

3.1.12. Вычислить предел lim

x tgx.

Решение. Имеем неопределенность типа 0 . Можно преобразовать данное

выражение в неопределенность типа				0	и свести задачу к первому замечатель-
				0		x
						x
ному	пределу.					2	.	Сделаем	замену
		lim	x tgx lim			2
		lim	x tgx lim
		x 2			x ctgx
		2			2

y 2 x x 2 y .

Тогда lim

2 x

lim

limcosy 1.

ctgx

y 0

y 0 tgy

y 0 sin y

y 0

ctg

Применение второго замечательного предела

2x 1

3.1.13. Вычислить предел lim

4x 2

x x

Решение. Определяем, что этот предел содержит неопределенность типа 1 .

(lim

x 2x 1

1;limx ).

Воспользуемся формулой (12) таблицы

x x

4x 2

неопределенностей.

2x 1

2x2 x

lim

1 x

lim

4x 2

x x2

x x2 4x 2

e2.

lim

4x 2

x x

Можно также решить данный пример, сведя его к второму замечательному пределу.

x2 2x 1

x2 2x 1 x2 4x 2

lim

lim 1

4x 2

x2 4x 2

x 2x 1

x2 4x 2

lim

2x 1

lime

x 2x 1

lim

x 2x 1

x2 4x 2

x x2

4x 2

3.2. Задачи для самостоятельного решения

Вычислить пределы функций:

	lim	x3 3x2 2x						1		3		. 3.2.3.		x3			x2
3.2.1.						. 3.2.2.	lim						lim					.
3.2.1.		x	2	x	6	. 3.2.2.	lim	1 x		1 x	3		lim	2x	2	1	2x 1	.
	x 0	x		x	6		x 1	1 x		1 x			x	2x		1	2x 1
									30

<<< < Предыдущая 1 23 / 153 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Высшая математика

#
01.06.20247.65 Mб3Berman.pdf
#
01.06.20245.04 Mб2L_D_Kudryavtsev_Kurs_matimaticheskogo_analiza_Tom_1.pdf
#
01.06.20246.08 Mб1L_D_Kudryavtsev_Kurs_matimaticheskogo_analiza_Tom_2.pdf
#
01.06.20242.46 Mб1L_D_Kudryavtsev_Kurs_matimaticheskogo_analiza_Tom_3.pdf
#
01.06.20241.39 Mб10вышмат полезно.pdf
#
01.06.2024482.88 Кб3кр по алегебре.pdf
#
01.06.20245.41 Mб72лекции вышмат.pdf
#
01.06.20241.34 Mб2линейная алгебра и агалитич геом.pdf