Добавил:
ищу тиммейта в R6siege Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

вышмат полезно

.pdf
Скачиваний:
0
Добавлен:
01.06.2024
Размер:
1.39 Mб
Скачать

Решение. По формуле тройного аргумента cos3x 4cos3 x 3cosx . Выразим отсюда куб косинуса и проинтегрируем почленно по формуле 22.3.5:

cos3 xdx 3cosx cos3x dx

3sinx

1

sin3x

C

9sinx sin3x

C

4

4

4

3

 

12

 

22.4.7. Найдите sin(2x 3)dx .

Решение. По формуле синуса суммы, свойству линейности 22.2.1 и табличным интегралам 22.3.4, 22.3.5 получим

sin(2x 3)dx (sin2x cos3 cos2x sin3)dx cos3 sin2xdx

sin3 cos2xdx cos3 cos22 x sin3 sin22 x C 12cos(2x 3) C .

22.4.8. Вычислите tg2 xdx .

Решение.

tg

2

xdx

sin2 xdx

 

1 cos2 x

dx

dx

1 dx tgx x C . Здесь мы

 

cos2 x

cos2 x

cos2 x

воспользовались интегралами 22.3.8 и 22.3.1 (при 0).

22.4.9. Вычислите 2xdx2 3.

 

 

Решение. Вычисление по формуле 22.3.12 (a2

3

, т. е. a

3/ 2 ).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

1

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

arctg

 

 

 

 

C

 

 

 

 

 

arctg x

 

 

C .

 

 

 

2x2

3

2

x2

3/ 2

2

3/ 2

 

3/ 2

 

6

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

22.4.10. Найдите

 

2

 

x2 1

 

x2

1

 

dx .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x4 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение. Представим знаменатель в виде

x4 1

 

 

x2 1

x2 1:

 

2 x2 1

x2 1

dx

2

 

 

dx

 

 

 

 

dx

 

 

2ln

 

x x

2

1

 

ln

 

x

x

2

1

 

C .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

2

1 x

2

1

 

 

x

2

 

1

 

x

2

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Применили свойство линейности 22.2.1 и табличный интеграл 22.3.15

 

 

 

 

 

22.4.11. Вычислите

 

 

 

 

 

 

 

x2dx

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

1 x

2

 

x

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

121

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение.

 

x2dx

 

 

x2dx

 

 

x2 1 x2 1 dx

 

 

1

1 x2

x2

1 x2 1 x2

1

1 x2 ( x2)

 

1

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 dx

 

 

dx arcsinx x C . Здесь мы умножили на

1 x

2

1 x

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

сопряженное выражение и воспользовались табличным интегралом 22.3.13.

22.4.12. Найдите sh2 5xdx .

Решение. Многие формулы для гиперболических функций похожи на формулы тригонометрии. Например, понижение степени: sh2 ch22 1.

Отсюда sh2 5xdx

1

ch10x 1 dx sh10x

x

C .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

20

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

22.5. Задачи для самостоятельного решения

 

 

 

 

 

 

 

 

 

22.5.1. x(x 1)(x 2)dx .

22.5.2.

5

x2 2 2

dx . 22.5.3.

2x2 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx .

 

3 x

 

 

 

x2 x4

22.5.4.

x2 3

 

22.5.5.

 

dx

 

 

 

22.5.6.

3 2x 2 3x

dx .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx .

 

 

 

 

.

 

 

 

6x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2 2

 

3 5x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

22.5.7. sin2 2xdx .

 

 

22.5.8. sin3 3xdx .

 

 

22.5.9.

 

cos2x

 

 

dx .

 

 

 

 

 

 

 

cos2 x sin2 x

 

 

 

22.5.10. th2 2xdx .

 

 

22.5.11. cos2x dx .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sinx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответы.

22.5.1.

 

x4

x3

 

 

2

C . 22.5.2.

15

 

22/15

6x

2/3

15

16/15

 

C .

 

 

 

 

x

 

 

22 x

 

 

 

4

x

 

 

4

3

 

 

 

 

 

22.5.3. arctgx

1 C . 22.5.4. x 5

2 ln

 

x

2

 

 

C . 22.5.5.

 

1

arcsin

x

5

C .

 

x

2

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

22.5.6. 2 2 x

3 3 x

C . 22.5.7.

x

sin4x

C

. 22.5.8.

cos9x

cos3x C .

ln3

 

36

 

 

ln2

 

 

 

 

 

 

2

8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

22.5.9. ctgx tgx C .

 

22.5.10. x th2x C .

 

 

x

 

 

 

 

22.5.11. 2cosx ln

tg

 

C .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

ЗАНЯТИЕ 23 23. ВНЕСЕНИЕ ПОД ЗНАК ДИФФЕРЕНЦИАЛА.

ИНТЕГРИРОВАНИЕ МЕТОДОМ ПОДСТАНОВКИ

122

Дальнейшее развитие техники интегрирования основано на применении замены переменной, т.е. свойства 22.2.2 и, в частности, 22.2.3. Метод замены переменной допускает два подхода, различающиеся лишь внешне.

23.1. Внесение под знак дифференциала

Вычисление неопределенного интеграла не сводится к интегрированию отдельных множителей подынтегральной функции! Однако в не-

которых случаях множитель можно внести под знак дифференциала, пользуясь свойством 22.2.5 (см. также дифференциалы в 22.3.1–22.3.11) и далее сделать замену переменной по свойству 22.2.2. Например:

f (cosx)sinxdx f (t)dt , где t cosx ; f (xn )xn 1dx 1n f (t)dt , где t xn .

23.2. Решение некоторых типовых примеров на внесение под знак дифференциала

23.2.1. Вычислите xx4dx1.

Решение. По 22.3.1

 

x

2

 

 

1d (x2)

 

xdx

 

1 d(x2)

 

xdx d

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

x

4

1

2 (x

2

)

2

1

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

1dt 1 1

2 t2 1 2arctgt C 2arctgx2 C . Здесь t x2.

23.2.2.Найдите tg3 xdx .

 

 

Решение. Перепишем ответ к примеру 22.4.8 в виде tg2 xdx d(tgx x)

,

 

 

 

 

 

тогда

tg3

xdx tgx tg2 xdx tgxd(tgx x) tgxd(tgx) tgxdx tdt ln|cosx |

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

tgx t

22.3.18

 

 

 

 

 

 

 

t2

ln|cosx | C

tg2

x

ln|cosx | C .

 

2

2

 

 

 

 

 

 

 

23.2.3. Найдите cos5 3xdx .

Решение. Согласно 22.3.5 cos3xdx 13d(sin3x). Внесем косинус под

знак дифференциала; четвертую степень косинуса выразим, пользуясь тождеством «тригонометрическая единица»: cos4 3x (1 sin2 3x)2 . Тогда

 

cos5 3xdx 1

 

cos4

3xd (sin3x)

1

1 sin2 3x

 

2 d (

sin3x

) 1

 

(1 t2)2 dt

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

обозначим t

 

 

 

1

(1 2t2

t4 )dt

t

 

2t3

 

t5

C sin3x

2sin3 3x

sin5 3x C . Таким же

3

 

9

 

 

 

 

 

 

3

 

15

 

3

 

 

9

15

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

123

 

 

 

 

 

 

 

способом можно было решить пример 22.4.6, при этом ответы выглядели бы по-разному, но при помощи формул тригонометрии легко установить их тождественность.

 

 

23.2.4. Вычислите

 

dx

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x ln3 2x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение. По 22.3.2 dx d(ln| x |). В этом примере в область определе-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ния входят лишь x 0

| x | x . Дифференциал не меняется, если под его

знаком прибавить любую константу, поэтому

dx d(lnx ln2) d(ln2x).

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

d (ln2x)

dt

t 2

1

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Итак,

 

 

 

 

ln3 2x

 

 

 

 

 

t3

2

 

 

C . Здесь t ln2x .

x ln3 2x

 

 

 

 

 

2ln2 2x

 

 

23.2.5. Найдите

 

arctgx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

arctgx

dx

 

 

arctgxd(arctgx )

 

t1/2dt

t3/2

C 2 arctg3 x C .

 

 

3/ 2

x2

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

обозначим t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

23.2.6. Вычислите

 

 

 

exdx

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4 e

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение. Согласно свойству 22.2.5 и 22.3.3

exdx d(ex ). Пусть ex t ,

тогда

 

 

exdx

 

 

dt

 

 

 

 

arcsin

t

 

C arcsin ex

C .

 

2x

 

4 t

2

 

 

 

 

 

 

 

4 e

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

2

 

 

 

23.2.7. Вычислите

 

 

 

(3x 1)dx

 

.

 

 

 

 

 

 

 

x2 4x 7

 

 

 

 

Решение. Выделим в подкоренном выражении полный квадрат:

x2 4x 7 (x 2)2 3.

Представим числитель

3x 1 3(x 2) 5.

Обозна-

чим

 

 

 

 

 

 

 

x 2 t ,

 

 

 

d(t2

тогда

 

 

 

 

dx dt

и

 

(3x 1)dx

 

 

 

(3t 5)dt

 

3

 

3)

5

 

 

dt

 

 

 

 

x

2

4x

7

 

t

2

 

3

2

t

2

3

 

t

2

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

dz

 

t2 3

 

 

 

t2 3

 

 

 

 

5ln

t

3

z 5ln

t

C

 

2

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C . Здесь z t2 3 x2 4x 7.

3

 

x2 4x 7 5ln

x 2

x2 4x 7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

23.3. Интегрирование методом подстановки

124

Метод подстановки основан на свойстве 22.2.2. В самом начале решения выбирается подходящая замена x (t), где (t) — дифференцируемая

функция. Переписывая интеграл, в обязательном порядке пересчитывают дифференциал по формуле dx (t)dt . Выделим несколько полезных подста-

новок:

23.3.1.f (n x)dx n f (t)tn 1dt ; подстановка x tn , t x1/n , dx ntn 1dt .

23.3.2.f (ex )dx f (tt)dt ; подстановка t ex , x lnt , dx dtt .

23.3.3.f ( a2 x2 , x)dx a f (a cost, asint)costdt ;

 

подстановка x asint , t arcsin

x

, dx a costdt ,

 

 

 

a2 x2

a cost .

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

23.3.4.

 

f (

a

2

x

2

, x)dx a

 

 

f

 

a

,

a tgt

 

 

dt

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cost

 

 

 

 

cos

 

 

 

 

 

 

 

 

подстановка x a tgt , t arctg

 

x

,

 

 

dx

 

adt

,

 

a2 x2

 

 

a

.

 

 

a

 

 

cos2 t

 

cost

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

23.3.5.

f (

 

2

 

2

, x)dx a

 

 

 

 

 

 

a

 

 

sintdt

 

 

 

 

 

 

x

 

a

 

f a tgt,

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

;

подстановка

 

 

 

 

cost

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos

 

 

 

 

 

 

 

x

a

,

t arccosa ,

 

dx

asintdt

 

,

 

 

x2 a2

a tgt

 

 

(" "при x 0,

cost

 

cos2 t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

" "при x 0).

Часто применяется линейная подстановка (см. свойство 22.2.3).

23.4. Решение некоторых типовых примеров на метод подстановки

23.4.1. Найдите x x1dx .

 

 

Решение. В соответствии с 23.3.1 запишем: t

x , x t2, dx 2tdt ,

 

 

x

t

 

(t2 1) 1

 

dt

 

 

 

dx

 

 

 

2tdt

2

t2 1

dt 2 dt 2

 

2t 2arctgt C

x 1

t2

 

1

t2 1

2

x 2arctg

x C .

 

 

 

 

 

23.4.2. Найдите exdx 1.

125

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Подстановка 23.3.2. Получим

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

dt

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

Решение.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

, где t e

.

 

 

 

 

 

ex

1

 

t(t 1)

Дробь

 

 

 

1

 

 

 

 

представим в виде:

 

 

 

 

1

 

 

(t 1) t

 

1

 

 

1

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

t(t

1)

 

t(t 1)

 

t(t 1)

 

 

t

t

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тогда

 

 

 

 

 

dt

 

 

 

 

 

dt

 

 

dt

ln|t | ln |t 1| C x ln(e

x

1) C .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t(t 1)

 

 

 

 

t

 

t 1

 

 

 

 

 

 

 

23.4.3. Вычислите

 

 

 

a2 x2dx .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение. Случай подстановки 23.3.3.

 

 

 

a2

x2dx a2 cos2 tdt

 

 

 

a2

(1 cos2t)dt

a2

 

 

 

 

 

 

sin2t

 

 

 

 

 

 

a2

t sint cost C

 

 

 

 

2

2 t

 

 

 

2

 

 

C

2

 

 

 

 

 

a

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

x

 

 

 

 

a

2

x

2

 

 

 

 

a

2

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

x

 

 

 

a2 x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

arcsin

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C

 

arcsin

 

 

 

 

 

C .

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

a

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

23.4.4. Найдите

 

 

 

 

 

 

 

 

x2 a2

dx .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение.

Пример на подстановку 23.3.4. Перепишем интеграл через t :

 

 

 

x2 a

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a /cost

 

 

 

 

adt

 

 

 

 

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin2 t cos2 t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

a tgt

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

a

 

 

sint cos2 t

 

 

dt

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

cos2 t

sint cos2 t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sintdt

 

 

 

 

 

 

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d(cost)

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a cos2 t a

 

 

 

a

 

 

 

cos2 t

 

a ln

tg

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a ln

tg

 

 

 

C . Возвра-

 

sint

 

 

 

 

2

cost

 

 

2

 

 

тимся к x :

 

cost

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

, sint

 

 

x

 

 

 

 

 

,

 

tg

t

 

 

 

1 cost

 

 

 

 

 

 

x2 a2 a

,

 

 

 

 

x2 a

2

 

 

 

x2 a2

 

 

2

 

 

 

sint

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

тогда

 

 

 

 

x2

a2

dx

 

 

 

x2 a2 aln

 

x2 a2 a

 

C .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

23.4.5. Вычислите

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

2

2

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение. Выберем подстановку 23.3.5:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

cos2 t

sintdt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

tgt

cos2 t

 

costdt sint C

 

 

 

 

 

 

 

 

C . Для записи

x2

x2 1

 

 

 

 

x

 

 

 

ответа через переменную

 

 

x выразили sint tgt cost

 

 

x2 1

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

126

Замечание. При использовании подстановки 23.3.5 следует учитывать знак переменной интегрирования. Здесь результат не зависит от знака; следующий пример демонстрирует обратную ситуацию.

 

 

 

23.4.6. Найдите

 

 

 

 

dx

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

2

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение. Как и в примере 23.4.5 сделаем подстановку

x

1

 

 

 

 

, полу-

 

 

 

 

 

cost

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

cost sintdt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

чим

 

 

 

 

 

 

 

 

tgt cos2 t

dt t C arccos x

 

C . Для x 1

 

 

 

 

 

x

 

x2 1

 

 

 

 

 

выбирается знак " ";

для x 1 – знак " ".

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

23.4.7. Найдите

 

dx

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sh2(3x 4)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Согласно 22.3.11

 

 

и 22.2.3

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение.

 

 

 

 

 

 

 

3cth(3x 4) C .

 

 

 

 

 

sh2(3x 4)

 

 

 

23.4.8. Вычислите

 

 

 

x2dx

 

 

 

. Решение. Сделаем замену t 2x 1,

 

 

 

 

 

 

(2x 1)5

 

 

 

тогда x

t 1

 

и

dx dt

 

 

, тогда:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

1 2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

2

 

 

 

 

1

 

t

2

2t

1

 

1

 

 

 

3

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t5

 

 

 

 

 

 

 

8

 

 

 

 

t5

 

 

 

 

 

 

dt

8 t

 

 

dt 2 t

 

 

 

 

dt

t

 

 

dt

 

 

 

 

 

(2x 1)5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

2

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

2t

 

 

t

 

 

 

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C .

 

 

 

 

 

 

 

8

 

 

 

 

 

 

 

 

16(2x 1)

2

 

12(2x 1)

3

 

 

 

32(2x 1)

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

3

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

23.5. Задачи для самостоятельного решения

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

23.5.1.

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

4 dx .

 

 

 

23.5.2.

 

 

 

 

 

cosxdx

.

 

 

 

23.5.3.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

.

 

 

23.5.4.

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xlnx lnlnx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos2x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

cos

1 dx .

 

 

 

 

 

 

 

23.5.5.

 

 

 

 

sin

 

 

 

x dx

. 23.5.6.

 

 

xdx

 

 

 

 

 

. 23.5.7. sin3 xdx .

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ch

2 2

 

1)

 

x

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cosx

23.5.8.

arccos2 2x

dx

.

 

 

 

23.5.9.

 

 

 

 

arctg

x

dx .

 

 

 

 

23.5.10.

sh x ch3 x

dx .

 

 

 

1 4x

2

 

 

 

 

 

(1 x) x

 

 

 

 

1 ch

2

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

exdx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

23.5.11.

 

 

 

.

 

 

 

23.5.12.

 

x2 a2dx .

 

23.5.13.

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

.

 

 

 

 

 

e

x

 

1

 

 

 

 

 

 

 

(1 x

2

)

1 x

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

127

23.5.14.

 

 

x2 1

 

dx .

 

 

 

23.5.15.

 

 

 

 

dx

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

23.5.16.

 

 

dx

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

1 x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos(5x 2)

 

23.5.17.

 

 

 

xdx

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2x 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответы.

23.5.1.

 

1

 

 

 

 

 

C .

 

23.5.2. arcsin(sinx

2) C .

 

 

 

15(x5 1)3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

23.5.3. lnlnln x C . 23.5.4. sin

1x

C . 23.5.5. 2cos

 

 

x C

 

 

 

 

 

 

 

 

. 23.5.6.

 

1

th(x2 1) C .

23.5.7.

 

2

(cosx)5/2

2

 

cosx C . 23.5.8. 1arccos3 2x C

 

 

5

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

. 23.5.9. arctg2

x C

.

 

23.5.10.

ch2

x ln(1 ch2

x)

C .

23.5.11.2

ex 1 C .

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

23.5.12.

x

 

 

x2 a2

 

a2

 

 

 

 

x2

a2

 

C .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

23.5.13.

 

 

 

C

 

 

 

ln

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 x2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

23.5.14.

 

x2 1 arccos

1

C .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

23.5.15.

 

 

1 x2

 

C

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

1

 

5x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

. 23.5.16.

 

 

 

 

 

 

 

 

. 23.5.17.

 

 

(2x

3)

3

 

 

2x 3 C .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ln

tg

 

 

 

1

 

 

 

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

2

 

 

 

6

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ЗАНЯТИЕ 24

24.МЕТОД ИНТЕГРИРОВАНИЯ ПО ЧАСТЯМ

24.1.Описание метода интегрирования по частям

Метод интегрирования по частям основан на формуле, выведенной в 22.2.6: u(x)v (x)dx u(x) v(x) v(x)u (x)dx . Эту формулу можно приме-

нять к любым дифференцируемым функциям u(x) и v(x), но не всегда новый

интеграл вычисляется проще исходного. Приведем основные случаи, когда способ интегрирования по частям позволяет найти исходный интеграл.

Исходный интеграл udv u(x) v (x)dx .

24.1.1.u(x) xn , n N ; v (x) sin(kx b) или v (x) cos(kx b).

24.1.2.u(x) xn , n N ; v (x) akx .

24.1.3.u(x) logna (kx b), где n N ; v (x) – рациональная или иррациональная функция, у которой первообразная v(x) также рациональна или иррациональна.

128

24.1.4. u(x) – натуральная степень обратной тригонометрической функ-

ции (например, u(x) arcsin

n

kx , u(x) arctg

 

 

x и т. п.); v (x) – рациональная

или иррациональная функция с известной рациональной или иррациональной первообразной v(x).

Порядокинтегрированияпочастямследующий:1)определяемфункцию u(x); 2) находим v(x) по формуле v(x) v (x)dx , при этом произвольную

постоянную интегрирования выбираем равной нулю; 3) вычисляем диф-

ференциал du u (x)dx ; 4)применяемформулу udv uv vdu .Принеобходимости применяем к полученному интегралу vdu v(x)u (x)dx формулу интегрирования по частям повторно.

24.2. Рекуррентная формула для интеграла

dx

 

(x2 a2)n 1

Неопределенные интегралы, к которым применим метод интегрирования по частям, не исчерпываются основными случаями, указанными в 24.1.1–

24.1.4. Выведем рекуррентную формулу для интеграла

 

In

 

 

 

dx

 

 

, поло-

 

(x2

a2)n

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v dv dx x ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n 2xdx

жив u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

 

dv dx ,

du u dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

. По

(x

2

a

2

)

n

 

(x

2

a

2

)

n 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

формуле 22.2.6

 

 

 

 

 

 

 

x2dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x2 a2) a2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

In

 

 

 

x

 

 

2n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

2n

dx

 

 

 

 

 

 

(x2 a2)n

(x2 a2)n 1

(x2 a2)n

(x2 a2)n 1

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

2nIn 2na2In 1 .

 

 

 

 

 

 

2n

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x

2

 

2

)

n

(x

2

 

 

2

)

n

 

 

 

(x

2

a

2

)

n 1

(x

2

a

2

)

n

 

 

a

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Выразим теперь из этого равенства In 1:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

In 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(2n 1)In .

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

2

a

2

)

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

1

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2na

(x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C (табличный интеграл 22.3.12). Таким

Очевидно,

 

 

 

 

a arctg

 

 

x2

a2

a

образом, можно последовательно найти I2 ,

I3

 

и т. д. по формуле

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(2n 1)

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x

2

2

)

n 1

 

2na

2

 

2

a

2

)

n

 

 

(x

2

2

)

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

(x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

24.3. Решение некоторых типовых задач, рассматриваемых в аудитории

24.3.1. Вычислите (2x 1)sinxdx .

129

Решение. Случай 24.1.1

u 2x 1,

du (2x 1) dx 2dx,

dv sinxdx ,

 

 

 

 

 

v sin xdx cosx ,

тогда

(2x 1)sinxdx (2x 1)cosx 2 cosxdx

(2x 1)cosx 2sinx C .

24.3.2.Найдите x2e 2xdx .

 

Решение. Случай 24.1.2.

Выберем u x

2

,

 

 

 

dv e

2x

dx ,

 

 

du u dx 2xdx ,

 

 

 

 

2x

 

 

 

 

 

 

 

 

x

2

 

2x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v e 2xdx e2

 

; x2e 2xdx

 

e

 

xe 2xdx . К вновь полученному инте-

 

 

 

2

 

гралу применим

интегрирование

 

по

 

частям

 

 

повторно;

на этот

раз u x ,

du dx , а v не меняется. Получим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xe 2xdx xe 2x

e 2x dx xe 2x

e 2x C . В итоге

 

 

 

 

 

 

 

2

 

2

 

 

 

 

 

2

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2e 2xdx

x2e 2x

 

xe 2x

e 2x

C 1 2x2

2x 1 e 2x C .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

2

 

 

4

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

24.3.3. Найдите

x lnxdx .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение.

Случай

 

24.1.3.

 

 

Примем

 

u(x) lnx ,

 

 

dx

dx

 

 

 

 

 

du (lnx)

x ,

 

xdx dv ,

v

 

 

xdx

2x

x

.

 

По

формуле

 

интегрирования

по

частям

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x lnxdx

2x x lnx 2x

x

dx

2x x lnx

2

xdx

2x x lnx

4x

x C

 

 

3

 

 

 

 

3

 

 

 

 

x

 

 

 

3

 

 

 

3

 

3

 

 

9

 

24.3.4. Вычислите x arctgxdx .

Решение.

Примем, как указано в 24.1.4, u arctgx . Тогда

xdx dv ,

v xdx

x2

du arctgx dx

dx

 

 

x2

x2

 

dx

 

,

 

;

x arctgxdx

 

arctgx

 

 

 

.

2

x2 1

2

2

x2 1

Последний интеграл найдем, выделив целую часть подынтегральной дроби:

 

x2

 

 

dx

 

 

 

1

x2 1 1

 

1

 

 

 

 

1

 

 

1

x arctgx C .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

2

 

 

 

dx

 

 

1

 

 

 

 

 

dx

 

 

В итоге

2

x

2

1

x

1

 

2

x

2

1

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

получим

x arctgxdx

x2

arctgx

1 x

1arctgx C

x2 1

arctgx

x

C .

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

2

 

 

2

 

 

 

2

 

 

 

 

 

24.3.5. Вычислите arcsin

xdx .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

130