лекции вышмат

МИНИСТЕРСТВО ЦИФРОВОГО РАЗВИТИЯ СВЯЗИ И МАССОВЫХ КОММУНИКАЦИЙ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Ордена Трудового Красного Знамени федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования

Московский технический университет связи и информатики

________________________________________________________________________

А.Р. Лакерник

КУРС ЛЕКЦИЙ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ

Учебное пособие

Москва 2021

МИНИСТЕРСТВО ЦИФРОВОГО РАЗВИТИЯ СВЯЗИ И МАССОВЫХ КОММУНИКАЦИЙ РОССИСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Ордена Трудового Красного Знамени федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования

Московский технический университет связи и информатики

________________________________________________________________________

А.Р. Лакерник

КУРС ЛЕКЦИЙ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ

Учебное пособие для направления подготовки: 11.03.02

Москва 2021

1

УДК 51 (075.8)

Лакерник А.Р. Курс лекций по высшей математике: учебное пособие / МТУСИ. - М., 2021. - 249 с.

Пособие является курсом лекций автора и соответствует учебным планам и рабочим программам по курсу высшей математики для студентов направления 11.03.02 приема 2020 г. Может также быть использовано студентами других направлений МТУСИ. Предназначено для помощи студентам в освоении теоретического материала, проведении самостоятельной работы, подготовке к тестированиям и экзаменам.

Ил. 126

Издание утверждено Методическим советом университета в качестве учебного пособия. Протокол № 1 от 27.10.2020г.

Рецензенты: В.Г. Данилов, д.ф.-м.н., профессор (МТУСИ) А.А. Зайцев, к.ф.-м.н., с.н.с. (МИИГАИК)

© Московский технический университет связи и информатики (МТУСИ), 2021

2

9.Дифференциальные уравнения 1-ого порядка. Общее и частное решения. Задача Коши. Уравнения с разделяющимися переменными, однородные

11.Свойства решений линейного однородного дифференциального уравнения. Определитель Вронского. Структура общего решения

3

13.Решения линейного неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами и правой частью специального и

3семестр

1.Числовые ряды. Ряды с неотрицательными членами и членами

4

Множество действительных чисел будем обозначать как R.

Множество R является непрерывным, т.е. если X R, Y R два любые непустые числовые множества такие, что для всех элементов x X, y Y выполняется неравенство

Определение 2. Пусть множество Х ограничено сверху. Наименьшее из чисел, ограничивающих Х сверху, называется верхней гранью множества Х и обозначается

sup X = sup х . Пусть множество Х ограничено снизу. Наибольшее из чисел,

x X

ограничивающих Х снизу, называется нижней гранью множества Х и обозначается

inf X = inf x .

x X

6

Если верхнюю грань множества Х уменьшить, то она уже не будет ограничивать Х сверху; или если нижнюю грань множества Х увеличить, то она уже не будет ограничивать Х снизу. Поэтому определение 2. равносильно следующему определению:

Определение 3. Число b называется верхней гранью множества, если

Число а называется нижней гранью множества, если

Теорема 1. Всякое ограниченное сверху (снизу) непустое множество имеет верхнюю (нижнюю) грань.

▲ Пусть А ограничено сверху, А (т.е. А не является пустым множеством), В – множество всех чисел, ограничивающих А сверху, следовательно, при а А, b В всегда будет верно следующее утверждение: а b . Тогда по свойству непрерывности множества R существует такое с, что а с b, а А, b В. Но это и означает, что с ограничивает А сверху (с а) и является наименьшим среди всех чисел, ограничивающих А сверху (с b). Аналогично доказывается второе утверждение теоремы. ■

называется системой вложенных отрезков, если a1 a … a n … b n … b b1 (рис.1). 2 2

Теорема 2. (принцип вложенных отрезков). Всякая система вложенных отрезков имеет

Рисунок 1

Замечание. Для всякой системы вложенных отрезков, по длине стремящихся к 0, общая точка единственна.

▲ Пусть с1 и с 2 – две общие точки и с1 с 2 , тогда длина любого отрезка системы будет не меньше, чем | с 2 - с1 |, что противоречит условию стремления к 0 длин отрезков. ■

Комплексные числа

Определение 5. Комплексным числом z называется пара действительных чисел x и y, которая обычно записывается в виде

где i – некоторый символ. Число x называется действительной частью комплексного числа z = x + iy и обозначается x = Re z. Число y называется мнимой частью комплексного числа z = x + iy и обозначается y = Im z .

7

Определение 6. Два комплексных числа называются равными, если у них совпадают действительные и мнимые части.

Легко проверить, что введенные действия обладают обычными свойствами аналогичных действий над действительными числами. Отметим также, что

Неравенств для комплексных чисел нет.

Геометрическое изображение комплексных чисел.

Сопоставив комплексному числу z = x + iy точку плоскости 0ху с координатами (х, у), мы получим взаимно однозначное соответствие между комплексными числами и точками плоскости 0ху , которую мы будем при этом называть комплексной плоскостью, а произвольную точку (х, у) обозначать также числом z = x + iy.

Определение 9. Полярные координаты r и точки (х, у) называются соответственно модулем и аргументом комплексного числа z = x + iy и обозначаются r =| z |, = Arg z .

На рис. 2 угол определяется с точностью до целого кратного 2 π . Единственное значение аргумента, принадлежащее промежутку (−π, π , называется главным значением аргумента

любой из этих трех формул с учетом четверти комплексной плоскости, в которой лежит z). Если же z = 0, то r = 0 , а = Arg z – любой.

8

Рисунок 2

Действия над комплексными числами в тригонометрической форме

перемножаются, а аргументы складываются;

= r1 [cos(φ2 − φ1 ) + i sin(φ2 − φ1 )], т.е. при делении комплексных чисел их модули делятся, а r2

аргументы вычитаются;

в) из свойства а) следует, что если z = r(cos φ +i sin φ), то

zn = r(cos φ +i sin φ) r(cosφ +i sin φ) ... r(cosφ +isin φ) = rn (cos nφ +i sin nφ) ,

т.е. при возведении комплексного числа в натуральную степень его модуль возводится в эту степень, а аргумент умножается на эту степень;

9