Добавил:
ищу тиммейта в R6siege Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

вышмат полезно

.pdf
Скачиваний:
0
Добавлен:
01.06.2024
Размер:
1.39 Mб
Скачать

Ответы. 6.3.1. x 0 устранимый разрыв; 6.3.2. x 0 разрыв 2-го рода; 6.3.3. x 0 устранимый разрыв, x 1 разрыв 2-го рода; 6.3.4. x 0 разрыв 1-го рода; 6.3.5. x 0 разрыв 1-го рода; 6.3.6. x 1 разрыв

2-го рода; 6.3.7. x 3 устранимый разрыв,

x 3 разрыв 2-го рода; 6.3.8.

x 0 и x 1 разрывы 1-го рода.

 

ЗАНЯТИЕ 7.

7.ПРОИЗВОДНЫЕ ПЕРВОГО ПОРЯДКА

7.1.Вычисление производных. Производная сложной функции

Определение 7.1.1. Производной функции

y f (x) в точке

x0 называется

число

 

f (x) = lim

f (x0 x) f (x0)

 

f (x) f (x0)

 

y (x0) f (x0) lim

= lim

,

 

 

 

 

x 0

x

x 0

 

x

 

x x0

x x0

 

 

 

 

 

 

 

если этот предел существует и конечен (если предел бесконечен, то иногда

говорят про бесконечную производную).

 

 

 

 

 

Обозначение:

f (x0) lim

f (x) f (x0)

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x x0

x x0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Разность

x x x0

называется

приращением

аргумента, а

y f (x) f (x0) приращением функции. Таким образом, можно опреде-

лить производную как y lim y .

x 0 x

Геометрический смысл производной

у

 

 

В

Dу

 

 

 

А

 

a0

a

х

 

х0

х0+D

Рис. 7.1 51

Рассмотрим график функции y f (x) и проведем секущую через точки A с абсциссой x0 и B с абсциссой x0 x . Если обозначить разность ординат этих точек y , то тангенс угла , образованного секущей с осью Ох, можно

представить так: tg yx .

Если x 0, точка B перемещается по кривой, приближаясь к точке A

, и секущая при совпадении точек B и A превращается в касательную к графику функции, образующую с осью Ох угол 0 .

При этом tg 0 lim y f (x0).

x 0 x

Значение производной при данном значении x равно тангенсу угла, обра-

зованного касательной к графику функции в точке с соответствующим значением x с положительным направлением оси Ох.

Механический смысл производной

Рассмотрим прямолинейное движение тела, для которого пройденное расстояние есть функция от времени: s f t . Среднюю скорость за время t

можно определить по формуле: vcp st .

Для определения мгновенной скорости тела в данный момент времени

устремим t

к нулю. Получим: v lim

s

lim

s(t0 t) s(t0)

s (t0).

t

 

 

t 0

t t0

(t0 t) t0

 

 

 

 

Таким образом, производная от расстояния в данный момент времени равна мгновенной скорости движения в этот момент. Соответст-

венно,

Производная любой функции при данном значении аргумента равна скорости изменения этой функции при рассматриваемом x .

Необходимое условие существования производной

 

Теорема 7.1.1. Пусть функция y f (x) имеет в точке x0 производную

f (x0)

. Тогда эта функция непрерывна в точке x0 .

 

Основные правила дифференцирования

 

Теорема 7.1.2. Пусть в некоторой точке существуют производные u x и v x , тогда в этой точке справедливы следующие равенства:

1)c 0, где c const .

2)u x v x u x v x

52

3)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u x v x

u

x v x u x v x

 

 

 

4)

c u x c u x , при c const

 

 

 

 

 

u(x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5)

 

 

 

u (x)v(x) u(x)v (x)

в любой точке, в которой

v x 0.

 

 

 

v

2

(x)

 

 

 

 

v(x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Теорема7.1.3.(Опроизводнойсложнойфункции). Пусть дана

сложная

функция

z f g x . Пусть функция y g(x) имеет производную в точке

x0 , а функция

z f y

имеет производную в точке

z0 f y0 .

Тогда

сложная функция

 

z f

g x

 

также имеет производную в точке

x0 и

zx (x0)

f (y0)g (x0).

 

Или

zx zy yx .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Теорема

7.1.4.

(Производная

обратной функции).

Пусть

функция

y f (x)

определена в некоторой окрестности точки x0 и в точке x0

имеет

конечную и отличную от 0 производную f (x0); пусть для функции y f (x)

существует обратная функция x f 1 y ,

непрерывная в соответствующей

точке

y0 f (x0).

Тогда

в

точке y0

 

эта

обратная

функция имеет

производную, равную

1

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

1

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (x0)

. Или xy (y0)

yx (x0)

xy

yx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ТАБЛИЦА ПРОИЗВОДНЫХ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y x

 

 

 

y x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y arccosx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

y C

 

 

0

 

 

 

 

 

12

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y arctgx

 

 

 

 

 

1 x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

y xn

 

 

nxn 1

 

 

 

 

13

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y arcctgx

 

 

 

 

1 x2

 

 

 

3

 

y ax

 

 

ax lna

 

 

 

 

14

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y shx

 

 

 

 

 

 

1 x2

 

 

4

 

y ex

 

 

ex

 

 

 

 

15

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

chx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y chx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

y lоga x

 

 

lоgae

 

 

 

 

16

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

shx

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y thx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

y lnx

 

 

1

 

 

 

 

 

17

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

y cthx

 

 

 

 

 

 

ch2x

 

 

 

7

 

y sinx

 

 

cosx

 

 

 

 

18

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sh2x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

53

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y arcshx

 

 

 

 

 

 

 

 

8

y cosx

sinx

 

19

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y arcchx

 

 

 

1 x2

 

9

y tgx

 

 

1

 

 

 

20

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

cos2 x

 

 

 

 

 

x

 

1

 

 

 

x2 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y arcthx

 

 

 

 

 

 

 

 

10

y ctgx

 

1

 

 

 

21

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

sin2 x

 

 

 

x

 

1

 

 

 

1 x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y arccthx

 

 

 

 

 

 

 

11

y arcsinx

 

 

1

 

 

 

22

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

1 x2

 

 

 

x

 

1

 

 

 

1 x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7.2. Решение некоторых типовых задач, рассматриваемых в аудитории

7.2.1. Найти приращение функции y 2x2 5

в точке x0 3, если приращение независимой переменной Dх = 0,3.

Решение. y y(x0 x) y(x) y( 3 0,3) y( 3) y( 2,7) y( 3)

2 ( 2,7)2 5 2 ( 3)2 5 2

2,72 32 2(7,29 9) 3,42.

7.2.2. Найти приращение независимой переменной Dх, для которого прираще-

ние функции

y

1

 

 

в точке х0

= 4 равно

1

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

18

 

 

 

 

 

Решение. По определению приращения функции

 

 

 

 

y y(x

x) y(x )

 

1

 

1 Dх можно найти из уравнения

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

0

 

4

x

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

1

1

 

 

 

 

1

 

5

4 x 81 3,24 x 3,24 4 0,76.

 

4 x

 

 

 

4 x

 

 

 

2 18

 

 

 

 

9

 

 

25

 

 

 

 

7.2.3. Вычислить производную функции y 3sinx 2lnx.

 

 

 

Решение.

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

3(sinx)

2(lnx)

3cosx x .

 

 

 

 

7.2.4. Продифференцировать функцию y 2x4

x 3.

 

 

 

Решение.

y 2x4

 

 

 

x 3 2 x4 x 3 =8x3

 

1

.

 

 

2

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

54

 

 

 

 

 

 

7.2.5. Продифференцировать функцию y x2ex .

Решение. y x2ex x2 ex x2 ex 2xex x2ex xex 2 x .

7.2.6. Продифференцировать функцию y arcsinx x .

Решение. Применим правило вычисления производной частного от деления двух функций:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

1

 

 

arcsinx

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

arcsinx

 

arcsinx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

1 x

 

arcsinx

 

x x arcsinx

 

 

1 x

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

x

2

 

 

 

x

2

 

x2 1

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2x .

 

 

7.2.7. Продифференцировать функцию y cos ln12

 

 

 

 

 

Решение.

Функцию y cos ln12

2x представим в виде цепочки

 

 

 

элементарных функций: y cosu , u t12 , t lnz , z 2x . Производную данной функции вычислим по правилу дифференцирования сложной функции:

 

 

 

 

12t

11

,

 

 

1

,

 

, тогда

yx yuuttz zx , так как

yu sinu ,

ut

 

tz

z

zx 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

yx sinu 12t11 1z 2. Подставляя вместо u , t и z их выражения через перемен-

ную x , окончательно получим: yx 12x sin ln12 2x ln11 2x .

7.2.8. Продифференцировать функцию y ln5 tg3x .

 

 

 

Решение.

Сложную функцию

 

y ln5 tg3x

 

представим в виде цепочки

элементарных функций:

y u5 ,

u lnt ,

t tg z ,

z 3x . По правилу вычисле-

ния производной сложной функции имеем y yuut tz zx , т. е. y 5u

4

3

,

 

t cos2 z

 

 

4

1

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

так как yu

5u

 

, ut t , tz

 

 

, zx 3. Подставив вместо u , t и z их выра-

 

cos2 z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

1

 

 

 

 

жения через переменную

x , получим: y

30ln

 

tg3x sin6x

 

 

 

 

 

 

 

 

7.2.9. Продифференцировать функцию y sin3 3x .

55

Решение. Сложную

функцию y sin3

x

 

представим

 

в

виде цепочки

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

элементарных функций:

y u3 , u sint , t

x

. По правилу вычисления произ-

 

 

3

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

2

 

водной сложной функции имеем y yuut tx , так как yu 3u

 

,

ut cost , tx 3,

то y 3u2 cos3 t . Подставив вместо u и t их выражения через переменную x ,

получим: y sin2 3x cos3x .

7.2.10. Продифференцировать функцию y arcsinx .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение.

y arcsinx x sin y .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

yx arcsinx

 

1

 

1

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

1

.

 

 

 

sin y

 

cos y

 

 

1 sin2

 

 

 

 

1 sin2 arcsinx

 

 

 

 

 

 

 

 

xy

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

1 x2

7.2.11. Продифференцировать функцию y lnx .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

1

 

 

 

 

 

1

 

 

 

1

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение.

yx lnx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ey

 

 

e

y

 

e

y

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xy

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7.2.12. Вычислить производную функции

 

 

y cos ln(3x2

 

2)

.

 

 

 

 

 

 

 

Решение.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

sin ln(3x

2

2)

(ln(3x

2

 

 

 

sin ln(3x

2

2)

 

 

 

(3x

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2))

 

3x

2

 

2)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin ln(3x2 2)

 

 

6x

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3x 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7.2.13. Вывести формулу производной функции, обратной к функции y shx

Решение.

Дана функция y sh x

ex e x

 

 

 

 

 

 

2

, её производная

y

 

 

 

(sh x)

ch x

ex e x

0, для всех x R , следовательно, функция

y sh x

на всей

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

действительной оси монотонно возрастает и имеет обратную функцию, обо-

56

значаемую arshx . Уравнение задаёт эту обратную функцию неявным образом. Продифференцируем обе части по х: 1 ch y yx , откуда yx 1chy . Из соотношения выразим ch2 y sh2 y 1, а поскольку ch y 0 для всех x R , то

получим chy

1 sh

2

y , где shy x . Таким образом,

 

 

1

 

 

 

1 x2

 

(arsh x)

 

7.2.14. Исходя из определения, найти производную функции

 

 

 

 

1 cos xsin 1

, x 0,

в точке x 0.

 

 

 

 

 

 

f x

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

0,

 

 

 

x 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение. По определению производная функции

f

x в точке x 0 равна

f 0 lim

f x f 0

.

Подставим значения

 

функции

 

в данный

 

 

x 0

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

предел:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 cos xsin

x

0

 

 

 

 

 

 

 

 

f 0 lim

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 0

 

 

 

 

 

 

 

 

Так как функция sin 1

– ограниченная, а x – бесконечно малая функция при

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 0, то по теореме о произведении бесконечно малой функции на ограни-

ченную имеем бесконечно малую величину xsin

1

0

при x 0. Заменяя в

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

числителе бесконечно малую функцию 1 cos xsin 1

 

эквивалентной функ-

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

xsin

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

цией

x

 

и снова используя упомянутую теорему, получим

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

x2 sin

2 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 cos xsin

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

 

 

 

 

 

 

=lim

 

 

 

x

0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 0

 

 

 

x

 

 

 

x 0

2x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7.3. Задачи для самостоятельного решения

 

 

 

7.3.1. y

1 x3

.

7.3.2.

y

 

 

 

1

 

 

. 7.3.3. y

 

 

 

 

3

 

 

 

.

1 x

3

 

x

2

x 1

1 x

2

1

2x

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

57

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

2

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

. 7.3.5. y 7x2 4 6 . 7.3.6. y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7.3.4.

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 x

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2 x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

1 x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7.3.7. y

2x

3

3x

2

 

6x 1

4

. 7.3.8. y

 

 

x3

2x

. 7.3.9. y

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ex

 

 

x

 

 

a2 x2

 

 

7.3.10. y

 

 

 

sinx

 

 

 

. 7.3.11.

 

y 1 ex .

 

 

7.3.12. y sin2 cos3x .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 cosx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 ex

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответы. 7.3.1.

 

y

 

 

6x2

 

 

. 7.3.2. y

2x 1

. 7.3.3. y

 

 

 

6x 1 3x 5x3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

x 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 x

 

 

 

1 2x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.7.3.4. y

 

4 2x 1

 

 

. 7.3.5. y 6 14x

4

7x2

4 6 5

.7.3.6.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

x 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

5 x2 2x 1 1 x2 4

. 7.3.7. y 24

 

x2

x 1

 

 

2x3

3x2

6x 1

 

 

3

 

.7.3.8.

 

 

 

 

 

 

1 x 6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

2x ln2 1 3x2

 

x3

. 7.3.9.

y

x

 

a2 x2

 

.7.3.10. y

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

7.3.11.

 

 

2ex

 

 

 

 

ex

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a2

a2 x2

 

1 cosx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

. 7.3.12. 3sin3x sin 2cos3x .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 e

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ЗАНЯТИЕ 8.

8.ПРОИЗВОДНЫЕ ПЕРВОГО ПОРЯДКА

8.1.Логарифмическое дифференцирование и производная неявной

функции Логарифмическое дифференцирование

Иногда полезно использовать так называемую формулу логарифмического дифференцирования. Пусть f (x) 0 на некотором множестве значений

аргумента и дифференцируема на этом множестве. Тогда по формуле произ-

водной сложной функции имеем

 

 

 

1

f

 

 

f (x)

 

(ln f (x))

(x), откуда

 

 

 

 

 

 

 

f (x)

f (x) ln f (x)

 

 

Дифференцирование неявных функций

Пусть значения переменных x и y связаны между собой некоторым уравнением, которое, если все его члены перенести в левую часть, может быть

58

записано в виде

F x,y 0, где F x,y некоторая функция двух пере-

менных. Если для каждого значения

x , принадлежащего некоторому мно-

жеству

X , существует одно значение

y , принадлежащее некоторому мно-

жеству

Y , такое,

что F x,y 0, то этим определяется некоторая функция

y y x . Такая функция называется неявной функцией, заданной уравнением

F x,y 0. Тогда F x,y 0 x X Fx x,y x 0.

8.2. Решение некоторых типовых задач, рассматриваемых в аудитории

Найти производные функций:

8.2.1.

y 3

x3 x2 1

5 5 x

 

 

Решение. Применим метод логарифмического дифференцирования. Логарифмируя данную функцию и применяя свойства логарифмов, получим:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

2

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ln

 

y

 

ln

3

 

x

 

 

1

 

ln

 

x

 

 

3ln x 1 15ln

 

5 x

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

5 x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Продифференцируем обе части выражения и выразим y :

 

 

y 1 1 2x

 

 

1 1

 

 

 

 

 

 

 

1

 

2x

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y x 3 x2 1

15 5 x , y

y x 3 x2 1 15 5 x .

 

 

Подставив выражения для y , получим производную заданной функции:

 

 

 

3

 

 

 

 

x

 

3 x2 1

1

 

2x

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

5 x

 

 

x

3 x2 1

15 5 x .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8.2.2. y

(x 4)2 (x2 2)3 (3 2x)4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 (5x 1)2

 

 

 

 

. Решение. Аналогично предыдущему

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3x 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

примеру: ln y 2ln

 

x 4

 

3ln x2 2

4ln

 

3 2x

 

 

2ln 5x 1

1ln 3x 1 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2ln 5x

1 1ln 3x

 

 

y y

2ln

 

x 4

 

3ln x2

2 4ln

 

3 2x

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

59

 

 

 

 

3

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4)

2

(x

2

 

2)

3

(3

 

2x)

4

2

 

 

2x

 

4

 

2

 

 

2

 

1

 

5

 

 

1

 

1

 

3

 

 

(x

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

3 (5x 1)2 3x 1

 

2

 

 

 

 

 

3

5x

1

2

3x 1

 

 

x 4

 

x

2

3 2x

 

 

 

 

8.2.3. y cosx sin2x .Решение.

y

 

2cos2x lncosx sin2x

sinx

 

,

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cosx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y 2 cosx sin2x cos2x lncosx sin2 x . Таким образом,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cosx sin2x 2

cosx sin2x cos2x lncosx sin2 x .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8.2.4.y sinx x . Решение. Решение. Аналогично предыдущему примеру: y sinx x x lncosx sinx x lnsinx x ctgx .

8.2.5.y xx2 . Решение: y xx2 x2 lnx xx2 2x lnx x xx2 1 2lnx 1 .

8.2.6.x2 y2 4. Решение. Продифференцируем по x обе части данного урав-

нения,считая y зависящимот x :

2x 2yy

 

0, отсюдавыразим

y

 

:

y

 

 

x

y

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8.2.7. x2 xy y3 1. Вычислить yx

 

в точке

 

 

x 0, y 1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение.

Продифференцируем по x обе части данного уравнения,

считая y

зависящим от x : 2x y xy

 

2

y 0, yx

y 2x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3y

 

 

 

 

 

. Подставив

 

 

 

 

 

 

3y2

x

 

 

 

 

 

значения x 0, y 1 в выражение производной, получим

yx

 

x 0, y 1 13 .

 

 

 

 

 

8.2.8. x3 ln y x2ey

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0. Решение.

Дифференцируя по x обе части уравнения

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

1

 

2

 

y

 

 

 

 

 

 

y

 

 

и имея в виду, что y есть функция от x , имеем: 3x

 

 

 

y x

e

 

y 2xe

 

0

 

y

 

 

y

 

 

2xey 3x2 y

. y

4

x 2

ctg x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 x2 yey

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8.2.9. cos y 4y2 ex . Решение. Аналогично предыдущему примеру:

 

 

 

 

 

 

 

sin y y 8yy e

x

;

sin y 8y y e

x

y

 

ex

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin y 8y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8.2.10. ex

2ey 2xy 1 0. Решение. ex 2ey y 2xy ln2 y xy 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

60