вышмат полезно
.pdf2) lim |
x 2y |
|
y kx |
lim |
x 2kx |
|
1 2k |
. Рассмотрим изменение перемен- |
|
y |
kx |
k |
|||||||
x 0 |
|
|
x 0 |
|
|
||||
y 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
ных x и y вдоль прямых y kx , при этом предел принимает различные значения в зависимости от выбранного k . Предел не существует.
18.3.6. Определить частные производные первого порядка функции:
z x;y cos2 |
3x2 y |
Решение. zx 6xy sin 6x2 y ; zy 3x2 |
sin 6x2 y . |
18.3.7. Для функции z 8x4 y3 3x2 y 2x 15y 1 определить все вторые производные.
Решение. zx |
32x3y3 6xy 2; |
zy 24x4 y2 3x2 |
|
15; |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
z 2 96x2 y3 |
6y; |
z 2 |
48x4 y; |
|
z |
z |
96x3y2 6x. |
|
|
|
|
|
|||||||||
x |
|
y |
|
|
|
|
xy |
yx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
18.4. Задачи для самостоятельного решения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
18.4.1. Найти область определения функции z |
|
x |
y . |
|
|
|
|
||||||||||||||
18.4.2. Найти область определения функции: а) u 1 |
x |
1 |
y |
1 |
z |
; |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
б) u R2 x2 y2 z2 |
|
|
1 |
|
|
|
R r . |
|
|
|
|
|
|
||||||||
x2 y2 z2 r2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
18.4.3. Вычислитьlim |
sin(x3 y3) |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
x2 y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
y 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
18.4.4. Найти точки разрыва функции z |
|
|
2 |
|
. Как ведет себя функция |
||||||||||||||||
|
x2 y2 |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
в окрестности точки разрыва? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
18.4.5. Построить линии уровня функции |
|
z |
|
1 |
|
для z 1;2;3;4. |
|
|
|||||||||||||
|
x2 y2 |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
18.4.6. Найти поверхности уровня функции u x2 z y2 .
101
18.4.7. Найти частные производные первого порядка по каждой из независимых переменных: а) z x y 3yx ; б) z arctg xx yy ; в) z (1 xy)y .
|
|
|
y |
|
x |
|
|
18.4.8. Показать, что zxy zyx |
для а) z x |
, б) z arccos |
|
y |
. |
||
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
18.4.9.Найти все частные производные второго порядка для z exey .
18.4.10.Найти все частные производные второго порядка для z ln x2 yx .
18.4.11.z ex (xcos y ysin y). Показать, что zxx zyy 0.
Ответы. 18.4.2. а)x 0,y 0,z 0; б) часть пространства, заключенная между сферами x2 y2 z2 r2 и x2 y2 z2 R2 , включая поверхность внешней и исключая поверхность внутренней сферы. 18.4.3. 0. 18.4.4. Точка (0;0). 18.4.5. Окружности. 18.4.6. Параболоиды вращения x2 y2 Cz .
18.4.7. а) zx |
|
|
|
y |
|
|
|
x |
|
|
|
|
1 |
|
|
zx |
|
|
y |
|
|
zy |
|
x |
|
|||||
y |
|
|
,zy |
|
|
|
|
|
; б) |
|
|
, |
|
|
; |
|||||||||||||||
33 |
x4 |
2 |
y |
3 x |
x2 |
y2 |
x2 |
y2 |
||||||||||||||||||||||
в) zx y2(1 xy)y 1 , |
zy xy(1 xy)y 1 |
(1 xy)y ln(1 xy). |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
xey 2y |
|
|
x(1 xe |
y |
)e |
xey |
y |
|
|
|
(1 xe |
y |
)e |
xey y |
. 18.4.10. |
|
|
|||||||||||
18.4.9. zxx e |
|
|
,zyy |
|
|
|
|
|
, zxy |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
" |
2x2 2xy y2 |
" |
" |
|
|
" |
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
zxx |
x2 xy 2 |
|
, zxy |
zyx |
zyy |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
x y 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ЗАНЯТИЕ 19. 19.1.Понятие полного дифференциала.
Определение 19.1.1. Полным приращением называется изменение функции u f x;y при совместных изменениях независимых переменных.
u f x x;y y f x;y .
Определение 19.1.2. Главная (линейная относительно приращений аргументов x и y ) часть приращения функции называется полным дифференциа-
лом функции двух переменных: dz A x B y .
dz zx x zy y zxdx zydy
102
19.1.3. Если x и y независимые переменные и функция имеет непрерывные частные производные, то дифференциалы высших порядков вычисляются
d n f ( |
|
dx |
|
dy)n |
f (формально раскрывается по биномиальному за- |
||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||
|
x |
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
кону). В частности, для двух переменных имеем |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
d 2 f |
2 f dx2 |
2 |
2 |
|
f |
dxdy |
2 f |
|
dy2. |
|
||||||||||
|
|
|
x y |
y2 |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
19.2. Формула Тейлора. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Формула 19.2.1. Пусть функция u f x;y |
имеет в окрестности точки |
||||||||||||||||||||||
M0 x;y непрерывные частные производные до n 1 порядка включи- |
|||||||||||||||||||||||
тельно. Пусть точкаM x;y |
принадлежит окрестности точки М0 (x;y). Фор- |
||||||||||||||||||||||
мула Тейлора |
n го порядка, записанная с помощью дифференциалов имеет |
||||||||||||||||||||||
вид: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
f (x;y) f (x ;y ) df |
|
|
|
|
1 |
|
d 2 f |
|
|
|
|
1 |
|
d 3 f |
|
|
... R . |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
0 |
0 |
|
|
(x0;y0 ) |
|
2! |
|
|
(x0;y0 ) 3! |
|
|
|
(x0;y0 ) |
n |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Остаточный член R |
|
|
|
|
d n 1z |
|
|
|
|
|
|
, где |
0 1. |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
n |
1 ! |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
x0 x;y0 y |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Частный случай формулы при x0 y0 0 называется формулой Маклорена.
19.3. Решение некоторых типовых задач, рассматриваемых в аудитории
19.3.1. Определить полный дифференциал функции z arctg xy в точке
1;2 при x 0,1; y 0,2.
Решение.
z |
|
x 1 |
|
y |
|
|
2 |
0,4; |
z |
|
|
|
|
|
x |
|
|
1 |
0,2. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
x |
|
y 2 |
|
1 x2y2 |
|
x 1,y 2 |
5 |
|
y |
|
x 1,y 2 |
|
1 |
x2y2 |
|
x 1,y 2 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dz zx 1;2 x zy 1;2 y 0,4 0,1 0,2 0,2 0,08.
19.3.2. Найти дифференциал второго порядка функции z ln x y2 .
Решение. (См. 19.1.3):
103
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
2y |
|
|
2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2y |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
; z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|||||||||
zx |
x y2 |
; zy |
x y2 |
x |
x y2 2 |
; zxy |
y2 |
|
|
x y2 2 |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
y |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
2y |
|
|
|
|
2x |
2y |
2 |
|
|
|
2 |
|
dx |
2 |
4ydxdy ( 2x |
2y |
2 |
)dy |
2 |
|||||||||||
z |
2 |
|
|
|
|
|
. |
|
d |
z |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
2 |
x y2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
(x y)2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
y |
|
x y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
19.3.3. Разложить функцию f x,y x2 2xy 3y2 |
6x 2y 4 |
|
по |
|
|
формуле Тейлора в окрестности точки 2;1 .
Решение. Вычисляем частные производные функции и их значения в задан-
ной точке: f 2;1 |
1; fx |
|
2;1 |
2x 2y 6 |
|
2;1 |
0; |
fy |
|
2;1 |
|
2x 6y 2 |
|
2;1 |
0; |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
f 2 |
|
|
|
|
|
|
2; |
|
f |
|
|
|
|
|
2; f 2 |
|
|
|
6. Все дальнейшие производные тождест- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x |
|
2;1 |
|
|
|
|
|
|
xy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2;1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2;1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
венно равны нулю. Подставляя найденные результаты в 19.2.1, получаем: |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
f (x;y) 1 |
|
1 |
|
2 x 2 2 |
4(x 2)(y 1) 6(y 1)2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
19.3.4. Разложить функцию f |
x;y ex sin y по формуле Маклорена до |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
члена 3-го порядка включительно. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
Решение. Запишем формулу Маклорена до члена 3-го порядка в общем |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
виде: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
* |
|
|
f |
|
x;y |
f 0;0 f |
|
|
|
|
|
x f |
|
|
|
|
y |
|
f 2 |
|
|
|
|
|
x |
2 |
2 f |
|
|
|
|
|
|
xy |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
x |
|
0;0 |
3 |
|
y |
|
0;0 |
|
|
|
|
2 |
2! |
x |
|
0;0 |
|
|
|
|
2 |
xy |
|
0;0 |
|
|
3 |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
f 2 |
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
f 3 |
|
|
|
|
|
x |
3 f 2 |
|
|
|
|
|
|
|
x |
y |
3 f |
2 |
|
|
|
|
xy |
f |
|
|
3 |
|
|
|
y |
R3. |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
y |
|
|
|
0;0 |
|
|
|
|
|
|
3! |
|
x |
0;0 |
|
|
|
|
|
x |
y |
|
0;0 |
|
|
|
|
|
|
|
xy |
|
|
0;0 |
|
|
|
|
|
|
y |
|
0;0 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вычислим функцию и последовательные частные производные в данной точке.
f 0;0 |
0; |
f |
|
0;0 |
|
ex sin y |
|
0;0 |
0; |
fy |
|
|
|
|
|
|
ex cos y |
|
0;0 |
|
1; |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0;0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
e |
x |
sin y |
|
|
|
|
|
0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
x |
cos y |
|
|
|
|
|
|
|
1; |
2 |
|
|
|
|
e |
x |
sin y |
|
|
0; |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
fx |
|
0;0 |
|
|
|
0;0 |
|
fxy |
|
0;0 |
|
|
|
0;0 |
fy |
|
0;0 |
|
|
0;0 |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
ex sin y |
|
|
|
|
|
|
|
ex cos y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
f 3 |
|
|
|
|
|
0; |
f 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
x |
|
|
0;0 |
|
|
|
|
|
|
|
0;0 |
|
|
x y |
|
0;0 |
|
|
104 |
|
|
|
|
|
0;0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f 2 |
|
|
ex sin y |
|
|
0; |
f 3 |
|
|
ex cos y |
|
|
|
1. Подставляя найденные |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
xy |
|
0;0 |
|
|
0;0 |
|
y |
|
0;0 |
|
|
|
0;0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
частные производные в формулу * , получим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
ex sin y y xy 1 x2y |
|
1 y3 R . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
6 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
19.4. Задачи для самостоятельного решения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
19.4.1. Найти полный дифференциал функции z 12ln x2 |
y2 . |
|
|||||||||||||||||||
19.4.2. Найти значение полного дифференциала функции z x y |
x2 y2 |
||||||||||||||||||||
при x 3, y 4, x 0,1, |
y 0,2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
19.4.3. Доказать, что если u |
|
x2 y2 , то |
d 2u 0. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
19.4.4. z sin 2x y . Найти d 3z |
в точках 0, , / 2, / 2 . |
|
|||||||||||||||||||
19.4.5. Разложить функцию f x h,y k |
по степенямh |
|
h иk k , если |
||||||||||||||||||
f x,y x3 3y3 xy . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
19.4.6. Разложитьz sinxsin y |
|
по степеням x |
|
4 |
и y |
|
4 |
. Найти члены |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
первого и второго порядка и R2.
Ответы.
19.4.1.xdx ydy . 19.4.2. 0,08. 19.4.4. cos 2x y 2dx dy 3 , 2dx dy 3 ,0.
x2 y2
19.4.5.x3 2y3 xy h 3x2 y k 6y2 x 3xh2 hk 6yk2 h3 2k3 .
19.4.6. z 0,5 0,5h 0,5k 0,25 h2 2hk k 2 R2 , где h x / 4,
k y / 4; R2 16(cos cos h3 3sin cos h2k 3cos sin hk2sin cos k3).
ЗАНЯТИЕ 20.
20.ПРОИЗВОДНЫЕ СЛОЖНОЙ И НЕЯВНОЙ ФУНКЦИИ. ЭКСТРЕМУМЫ.
20.1. Сложные функции и их дифференцирование
105
Определение.20.1.1. Если z f u;v , |
и u u x;y , v v x;y являются |
||||
функциями двух переменных |
x и y , то z называется сложной функцией |
||||
двух переменных: z f u x;y ;v x;y . |
Если z f u;v , имеет непрерыв- |
||||
ные частные производные, и |
u u x;y , |
v v x;y – дифференцируемые |
|||
функции, тогда ее частные производные определяются по формулам: |
|||||
|
|
|
|
||
|
zx zu ux zv vx ; |
zy zu uy zv vy . |
Следствие 1. Если z f x,y имеет непрерывные частные производные и x x t , y y t дифференцируемые функции, то полная производная опре-
деляется по формуле: dz z dx z dy zx xt zy yt . dt x dt y dt
Следствие 2. Если z f x,y имеет непрерывные частные производные и y y x дифференцируемая функция, то ее полная производная определя-
ется по формуле: dz |
z |
z |
dy zx zy yx . |
|||||
dx |
x |
|
y |
dx |
||||
20.2. Неявные функции и их дифференцирование |
||||||||
20.2.1. Если F x;y 0 |
задает неявно функцию y y x , то |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
d y |
|
F x x ; y |
. |
||
|
|
|
d x |
|
F y x ; y |
|
20.2.2. Если F x;y;z 0 |
задает неявно функцию z z x;y , то |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
zx |
Fx x;y;z |
; |
z |
zy |
Fy x;y;z |
|
. |
|
|
x |
Fz x;y;z |
y |
Fz x;y;z |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
20.3. Решение некоторых типовых задач, рассматриваемых в аудитории
20.3.1. Найти частные производные zx' |
и z'y |
если |
z uv , |
u x2 y2 , v |
x |
. |
|||||||||
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
Решение. 1) Вычисляем все производные, необходимые для решения |
|||||||||||||||
|
v 1 |
; |
|
v |
lnu; |
|
|
1 |
|
|
|
x |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
задачи: zu vu |
|
zv u |
|
ux 2x; |
vx |
y |
; uy 2y; |
vy |
y2 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
106
По 20.1.2 частные производные равны:
zx zu |
ux zv |
vx vu |
v 1 |
2x u |
v |
lnu |
1 |
u |
v v |
2x |
lnu |
и |
||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
y |
|
y |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
|
|
zy zu |
uy zv |
vy vu |
v 1 |
|
v |
|
x |
|
v v |
|
x lnu |
||||
|
2y u |
|
lnu |
|
|
u |
|
|
2y |
|
|
. |
|||
|
|
y |
2 |
|
y |
2 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
|
|
2) Заменив промежуточные аргументы u x2 y2 и v |
|
x |
; получим: |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
y |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 y2 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln x2 y2 |
||||||||||
|
|
y |
|
|
|
2x2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
x |
|
|
2 |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
zx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln x |
|
|
y |
|
; zy x x |
|
y |
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
y |
|
|
x y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
y |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
20.3.2. Найти |
|
z |
и |
dz , если |
|
|
z arctg |
y |
, и y x2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
x |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Решение. 1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
arctg |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 y x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
x |
|
x |
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
x2 y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
2) (см. 20.1.2.2.) |
dz z |
z |
|
dy |
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
2x |
2x2 y |
, где |
|||||||||||||||||||||||||
dx |
|
x |
y |
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
x |
x2 y2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x2 |
y2 |
|
1 y x 2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
y x2 . Следовательно, dz |
2x2 |
x2 |
|
|
1 |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
1 |
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
x2 x4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
20.3.3. Найти |
|
dy |
, если cos x y exy |
|
0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Решение (см. 20.2.1). F x;y cos x y exy |
0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
dy |
|
|
cos x y exy x |
|
|
sin x y yexy |
|
|
|
sin x y yexy |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
dx |
|
cos x y exy y |
|
|
|
. |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
sin x y xexy |
sin x y xexy |
|
|
|
20.4. Задачи для самостоятельного решения
20.4.1.Найти производную dudt , если u x2 y2 xy , где x sint , y et .
20.4.2.z x2 y y2x , x u cosv , y u sinv ; uz ? vz ?
107
20.4.3. Найти |
dz |
, если: а) z arctgxy , |
y ex ; б) z arcsin |
x |
, y |
x2 1. |
|||||||||||
dx |
y |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
20.4.4.Найти |
dy |
в точке М(1;1),если функция задана неявно |
|
|
|||||||||||||
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 y3 2 3x2 y y3 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
20.4.5. Найти |
dy |
, если xln y 2x y2 |
5. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
20.4.6. Для неявно заданной функции |
|
xy3 3xz ysinz 1 найти частные |
|||||||||||||||
производные |
y |
и x в точке М(1;1;0). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
x |
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
20.4.7. Для неявно заданной функции |
|
x |
2y2 xz arctgz 0 |
найти y |
|||||||||||||
|
y |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
||
в точке (16;2;0). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Ответы. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
20.4.1. sin2t 2et et (sint cost). 20.4.2. |
|
z |
|
3u3 sinvcosv(cosv sinv), |
|||||||||||||
|
u |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ex (x 1) |
|
|
1 |
|
|
|||
z u3(1 3sinvcosv)(cosv sinv). 20.4.3. а) |
|
; б) |
|
. |
|
||||||||||||
1 x2e2x |
1 |
x2 |
|
||||||||||||||
v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
20.4.4. 1/3. 20.4.5. |
y 2 ln y |
. 20.4.6. 1; 2. 20.4.7. 1/24. |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
x 2y2 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
20.5. Локальные экстремумы функции двух переменных
Определение 20.5.1.. Точка M0 x0;y0 называется точкой максимума (минимума) функции двух переменных функции z f x;y , если существует такая окрестность точкиM 0(x0;y0 ), что для всех точекM x;y , лежащих в её ок-
рестности, выполняется условие f x;y f x0;y0 ( f x;y f x0;y0 ) Значение f x0;y0 называется локальным максимумом (минимумом)
функции. Максимумы и минимумы называют экстремумами.
Теорема 20.5.2. Необходимые условия экстремума. Если точка M0 x0;y0
точка экстремума функции z f x; y , и в этой точке существуют конечные
108
частные производные fx и |
f y , то |
fx |
|
x |
; y |
0 и |
fy |
|
x0; y0 |
0. |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|
Определение 20.5.3. Точки, принадлежащие области определения, в которых частные производные равны 0 (не существуют), называются стационар-
ными (критическими) точками функции.
Теорема 20.5.4. Достаточные условия экстремума функции двух пере-
менных. Пусть в стационарной точке M0 x0;y0 и ее окрестности функция z f x;y непрерывна и имеет непрерывные частные производные до
третьего порядка включительно, и пусть A f 2 |
|
|
; B f |
|
|
; C f 2 |
|
и |
|||
|
|
|
|||||||||
D AC B2 . |
|
x |
|
M0 |
xy |
|
M0 |
y |
M0 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1) |
Если D 0 |
и A 0, то точка |
M 0 точка минимума функции z f x;y . |
|
|||||||
2) |
ЕслиD 0 |
и A 0, то точка |
M 0 точка максимума функции z f x;y . |
|
3)Если D 0 , то в точке M0 функция не имеет экстремума.
4)Если D 0 , то требуется дополнительное исследование.
20.5.5. Наибольшее и наименьшее значение функции в некоторой об-
ласти. Для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции z f x;y в области D нужно:
1)Найти все стационарные точки функции внутри области. Вычислить значения функции в этих точках.
2)Найти наибольшее и наименьшее значение функции на границе области.
3)Из всех, полученных таким образом значений выбрать наибольшее и наименьшее.
Наибольшее (наименьшее )значение функции нельзя смешивать с локальным максимумом(минимумом),который является наибольшим (наимень - шим ) значением только по сравнению с соседними точками.
20.6. Условный экстремум функции двух переменных
Определение 20.6.1. Пусть z f x;y определена на множестве D . L D подмножество, заданное условием F x;y 0(уравнение связи). Точка M0 x0;y0 L называется точкой условного максимума функции z f x;y (условного минимума функции), если существует такая
109
окрестность точки M 0,что для всех точек M x;y L , лежащих в этой окрестности, выполняется условие f x;y f x0;y0 f x;y f x0;y0 .
Исследование функции f x;y на условный экстремум сводится к
исследованию на обычный экстремум т.н. функции Лагранжа:
Ф x;y; f x;y F x;y .
20.6.2.Необходимый признак условного экстремума:
|
|
|
|
|
|
|
|
x fx Fx 0, |
|
|
|
|
|
||
y fy Fy 0, Пусть x0;y0; — любое решение системы. |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
F x;y 0. |
|
|
|
|
|
||
20.6.3.Достаточный признак условного экстремума: |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D0 x2 Fy 2 2 xy Fx Fy y2 Fx 2 |
x0 |
,y0 |
, 0 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
Если D0 0,то M0 точкаусловного max, |
|
|
|
|
|
|
|
если D0 0,то M0 точкаусловного min. |
|
|
|
|
|
20.7. Решение некоторых типовых задач, рассматриваемых в аудитории
20.7.1. Исследовать на экстремум функцию двух переменных
z x3 y3 3xy .
Решение. 1) Определяем стационарные точки функции (см. 20.5.2, 20.5.3). Для этого приравниваем ее частные производные к нулю, составляем систему и решаем ее:
zx' 3x2 3y 0z'y 3y2 3x 0
Стационарные точки функции: P1 0;0 и P2 1;1 .
2) Найдем производные второго порядка данной функции:
z"xx 6x, z"xy 3, z"yy 6y
3) ОпределимD AC B2 для каждой стационарной точки. а) Для точки P1 0;0 : D 9 0 экстремума нет.
б) Для точки P2 1;1 : D 27 0 значит, в точке минимум. zmin 1. 110