Добавил:
ищу тиммейта в R6siege Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

вышмат полезно

.pdf
Скачиваний:
0
Добавлен:
01.06.2024
Размер:
1.39 Mб
Скачать

2) lim

x 2y

 

y kx

lim

x 2kx

 

1 2k

. Рассмотрим изменение перемен-

y

kx

k

x 0

 

 

x 0

 

 

y 0

 

 

 

 

 

 

 

 

ных x и y вдоль прямых y kx , при этом предел принимает различные значения в зависимости от выбранного k . Предел не существует.

18.3.6. Определить частные производные первого порядка функции:

z x;y cos2

3x2 y

Решение. zx 6xy sin 6x2 y ; zy 3x2

sin 6x2 y .

18.3.7. Для функции z 8x4 y3 3x2 y 2x 15y 1 определить все вторые производные.

Решение. zx

32x3y3 6xy 2;

zy 24x4 y2 3x2

 

15;

 

 

 

 

 

 

z 2 96x2 y3

6y;

z 2

48x4 y;

 

z

z

96x3y2 6x.

 

 

 

 

 

x

 

y

 

 

 

 

xy

yx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

18.4. Задачи для самостоятельного решения

 

 

 

 

 

 

 

 

 

18.4.1. Найти область определения функции z

 

x

y .

 

 

 

 

18.4.2. Найти область определения функции: а) u 1

x

1

y

1

z

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б) u R2 x2 y2 z2

 

 

1

 

 

 

R r .

 

 

 

 

 

 

x2 y2 z2 r2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

18.4.3. Вычислитьlim

sin(x3 y3)

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2 y2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

18.4.4. Найти точки разрыва функции z

 

 

2

 

. Как ведет себя функция

 

x2 y2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в окрестности точки разрыва?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

18.4.5. Построить линии уровня функции

 

z

 

1

 

для z 1;2;3;4.

 

 

 

x2 y2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

18.4.6. Найти поверхности уровня функции u x2 z y2 .

101

18.4.7. Найти частные производные первого порядка по каждой из независимых переменных: а) z x y 3yx ; б) z arctg xx yy ; в) z (1 xy)y .

 

 

 

y

 

x

 

 

18.4.8. Показать, что zxy zyx

для а) z x

, б) z arccos

 

y

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

18.4.9.Найти все частные производные второго порядка для z exey .

18.4.10.Найти все частные производные второго порядка для z ln x2 yx .

18.4.11.z ex (xcos y ysin y). Показать, что zxx zyy 0.

Ответы. 18.4.2. а)x 0,y 0,z 0; б) часть пространства, заключенная между сферами x2 y2 z2 r2 и x2 y2 z2 R2 , включая поверхность внешней и исключая поверхность внутренней сферы. 18.4.3. 0. 18.4.4. Точка (0;0). 18.4.5. Окружности. 18.4.6. Параболоиды вращения x2 y2 Cz .

18.4.7. а) zx

 

 

 

y

 

 

 

x

 

 

 

 

1

 

 

zx

 

 

y

 

 

zy

 

x

 

y

 

 

,zy

 

 

 

 

 

; б)

 

 

,

 

 

;

33

x4

2

y

3 x

x2

y2

x2

y2

в) zx y2(1 xy)y 1 ,

zy xy(1 xy)y 1

(1 xy)y ln(1 xy).

 

 

 

 

 

 

 

 

xey 2y

 

 

x(1 xe

y

)e

xey

y

 

 

 

(1 xe

y

)e

xey y

. 18.4.10.

 

 

18.4.9. zxx e

 

 

,zyy

 

 

 

 

 

, zxy

 

 

 

 

 

"

2x2 2xy y2

"

"

 

 

"

 

 

 

 

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

zxx

x2 xy 2

 

, zxy

zyx

zyy

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x y 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ЗАНЯТИЕ 19. 19.1.Понятие полного дифференциала.

Определение 19.1.1. Полным приращением называется изменение функции u f x;y при совместных изменениях независимых переменных.

u f x x;y y f x;y .

Определение 19.1.2. Главная (линейная относительно приращений аргументов x и y ) часть приращения функции называется полным дифференциа-

лом функции двух переменных: dz A x B y .

dz zx x zy y zxdx zydy

102

19.1.3. Если x и y независимые переменные и функция имеет непрерывные частные производные, то дифференциалы высших порядков вычисляются

d n f (

 

dx

 

dy)n

f (формально раскрывается по биномиальному за-

 

 

 

x

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

кону). В частности, для двух переменных имеем

 

 

 

 

d 2 f

2 f dx2

2

2

 

f

dxdy

2 f

 

dy2.

 

 

 

 

x y

y2

 

 

 

 

 

 

 

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

19.2. Формула Тейлора.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Формула 19.2.1. Пусть функция u f x;y

имеет в окрестности точки

M0 x;y непрерывные частные производные до n 1 порядка включи-

тельно. Пусть точкаM x;y

принадлежит окрестности точки М0 (x;y). Фор-

мула Тейлора

n го порядка, записанная с помощью дифференциалов имеет

вид:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (x;y) f (x ;y ) df

 

 

 

 

1

 

d 2 f

 

 

 

 

1

 

d 3 f

 

 

... R .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

0

 

 

(x0;y0 )

 

2!

 

 

(x0;y0 ) 3!

 

 

 

(x0;y0 )

n

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

Остаточный член R

 

 

 

 

d n 1z

 

 

 

 

 

 

, где

0 1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

1 !

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

x0 x;y0 y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Частный случай формулы при x0 y0 0 называется формулой Маклорена.

19.3. Решение некоторых типовых задач, рассматриваемых в аудитории

19.3.1. Определить полный дифференциал функции z arctg xy в точке

1;2 при x 0,1; y 0,2.

Решение.

z

 

x 1

 

y

 

 

2

0,4;

z

 

 

 

 

 

x

 

 

1

0,2.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

y 2

 

1 x2y2

 

x 1,y 2

5

 

y

 

x 1,y 2

 

1

x2y2

 

x 1,y 2

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dz zx 1;2 x zy 1;2 y 0,4 0,1 0,2 0,2 0,08.

19.3.2. Найти дифференциал второго порядка функции z ln x y2 .

Решение. (См. 19.1.3):

103

 

1

 

 

 

 

 

 

 

2y

 

 

2

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

2y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

; z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;

zx

x y2

; zy

x y2

x

x y2 2

; zxy

y2

 

 

x y2 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

y

 

 

 

 

 

 

 

 

2y

 

 

 

 

2x

2y

2

 

 

 

2

 

dx

2

4ydxdy ( 2x

2y

2

)dy

2

z

2

 

 

 

 

 

.

 

d

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

x y2

2

 

 

 

 

 

 

 

(x y)2

 

 

 

 

 

 

 

y

 

x y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

19.3.3. Разложить функцию f x,y x2 2xy 3y2

6x 2y 4

 

по

 

 

формуле Тейлора в окрестности точки 2;1 .

Решение. Вычисляем частные производные функции и их значения в задан-

ной точке: f 2;1

1; fx

 

2;1

2x 2y 6

 

2;1

0;

fy

 

2;1

 

2x 6y 2

 

2;1

0;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f 2

 

 

 

 

 

 

2;

 

f

 

 

 

 

 

2; f 2

 

 

 

6. Все дальнейшие производные тождест-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

2;1

 

 

 

 

 

 

xy

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2;1

 

 

 

 

 

 

 

 

2;1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

венно равны нулю. Подставляя найденные результаты в 19.2.1, получаем:

 

f (x;y) 1

 

1

 

2 x 2 2

4(x 2)(y 1) 6(y 1)2 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

19.3.4. Разложить функцию f

x;y ex sin y по формуле Маклорена до

 

 

члена 3-го порядка включительно.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение. Запишем формулу Маклорена до члена 3-го порядка в общем

 

 

 

виде:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

*

 

 

f

 

x;y

f 0;0 f

 

 

 

 

 

x f

 

 

 

 

y

 

f 2

 

 

 

 

 

x

2

2 f

 

 

 

 

 

 

xy

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

x

 

0;0

3

 

y

 

0;0

 

 

 

 

2

2!

x

 

0;0

 

 

 

 

2

xy

 

0;0

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f 2

 

 

 

 

 

y

 

 

 

f 3

 

 

 

 

 

x

3 f 2

 

 

 

 

 

 

 

x

y

3 f

2

 

 

 

 

xy

f

 

 

3

 

 

 

y

R3.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

0;0

 

 

 

 

 

 

3!

 

x

0;0

 

 

 

 

 

x

y

 

0;0

 

 

 

 

 

 

 

xy

 

 

0;0

 

 

 

 

 

 

y

 

0;0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вычислим функцию и последовательные частные производные в данной точке.

f 0;0

0;

f

 

0;0

 

ex sin y

 

0;0

0;

fy

 

 

 

 

 

 

ex cos y

 

0;0

 

1;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0;0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

e

x

sin y

 

 

 

 

 

0;

 

 

 

 

 

 

 

 

e

x

cos y

 

 

 

 

 

 

 

1;

2

 

 

 

 

e

x

sin y

 

 

0;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

fx

 

0;0

 

 

 

0;0

 

fxy

 

0;0

 

 

 

0;0

fy

 

0;0

 

 

0;0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ex sin y

 

 

 

 

 

 

 

ex cos y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f 3

 

 

 

 

 

0;

f 2

 

 

 

 

 

 

 

 

1;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

0;0

 

 

 

 

 

 

 

0;0

 

 

x y

 

0;0

 

 

104

 

 

 

 

 

0;0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f 2

 

 

ex sin y

 

 

0;

f 3

 

 

ex cos y

 

 

 

1. Подставляя найденные

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xy

 

0;0

 

 

0;0

 

y

 

0;0

 

 

 

0;0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

частные производные в формулу * , получим:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ex sin y y xy 1 x2y

 

1 y3 R .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

6

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

19.4. Задачи для самостоятельного решения

 

 

 

 

 

 

 

 

19.4.1. Найти полный дифференциал функции z 12ln x2

y2 .

 

19.4.2. Найти значение полного дифференциала функции z x y

x2 y2

при x 3, y 4, x 0,1,

y 0,2.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

19.4.3. Доказать, что если u

 

x2 y2 , то

d 2u 0.

 

 

 

 

 

19.4.4. z sin 2x y . Найти d 3z

в точках 0, , / 2, / 2 .

 

19.4.5. Разложить функцию f x h,y k

по степенямh

 

h иk k , если

f x,y x3 3y3 xy .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

19.4.6. Разложитьz sinxsin y

 

по степеням x

 

4

и y

 

4

. Найти члены

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

первого и второго порядка и R2.

Ответы.

19.4.1.xdx ydy . 19.4.2. 0,08. 19.4.4. cos 2x y 2dx dy 3 , 2dx dy 3 ,0.

x2 y2

19.4.5.x3 2y3 xy h 3x2 y k 6y2 x 3xh2 hk 6yk2 h3 2k3 .

19.4.6. z 0,5 0,5h 0,5k 0,25 h2 2hk k 2 R2 , где h x / 4,

k y / 4; R2 16(cos cos h3 3sin cos h2k 3cos sin hk2sin cos k3).

ЗАНЯТИЕ 20.

20.ПРОИЗВОДНЫЕ СЛОЖНОЙ И НЕЯВНОЙ ФУНКЦИИ. ЭКСТРЕМУМЫ.

20.1. Сложные функции и их дифференцирование

105

Определение.20.1.1. Если z f u;v ,

и u u x;y , v v x;y являются

функциями двух переменных

x и y , то z называется сложной функцией

двух переменных: z f u x;y ;v x;y .

Если z f u;v , имеет непрерыв-

ные частные производные, и

u u x;y ,

v v x;y – дифференцируемые

функции, тогда ее частные производные определяются по формулам:

 

 

 

 

 

zx zu ux zv vx ;

zy zu uy zv vy .

Следствие 1. Если z f x,y имеет непрерывные частные производные и x x t , y y t дифференцируемые функции, то полная производная опре-

деляется по формуле: dz z dx z dy zx xt zy yt . dt x dt y dt

Следствие 2. Если z f x,y имеет непрерывные частные производные и y y x дифференцируемая функция, то ее полная производная определя-

ется по формуле: dz

z

z

dy zx zy yx .

dx

x

 

y

dx

20.2. Неявные функции и их дифференцирование

20.2.1. Если F x;y 0

задает неявно функцию y y x , то

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d y

 

F x x ; y

.

 

 

 

d x

 

F y x ; y

 

20.2.2. Если F x;y;z 0

задает неявно функцию z z x;y , то

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

zx

Fx x;y;z

;

z

zy

Fy x;y;z

 

.

 

x

Fz x;y;z

y

Fz x;y;z

 

 

 

 

 

 

 

 

20.3. Решение некоторых типовых задач, рассматриваемых в аудитории

20.3.1. Найти частные производные zx'

и z'y

если

z uv ,

u x2 y2 , v

x

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

Решение. 1) Вычисляем все производные, необходимые для решения

 

v 1

;

 

v

lnu;

 

 

1

 

 

 

x

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

задачи: zu vu

 

zv u

 

ux 2x;

vx

y

; uy 2y;

vy

y2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

106

По 20.1.2 частные производные равны:

zx zu

ux zv

vx vu

v 1

2x u

v

lnu

1

u

v v

2x

lnu

и

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

u

 

 

 

zy zu

uy zv

vy vu

v 1

 

v

 

x

 

v v

 

x lnu

 

2y u

 

lnu

 

 

u

 

 

2y

 

 

.

 

 

y

2

 

y

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u

 

 

 

2) Заменив промежуточные аргументы u x2 y2 и v

 

x

; получим:

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2 y2

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ln x2 y2

 

 

y

 

 

 

2x2

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

2

 

x

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

zx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ln x

 

 

y

 

; zy x x

 

y

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

2

 

 

2

 

 

 

 

y

 

 

x y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

20.3.2. Найти

 

z

и

dz , если

 

 

z arctg

y

, и y x2.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение. 1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

arctg

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 y x

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

x

 

x

 

 

 

x2

 

 

 

 

x2 y2

 

 

 

 

 

 

 

2) (см. 20.1.2.2.)

dz z

z

 

dy

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

1

2x

2x2 y

, где

dx

 

x

y

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

x

x2 y2

 

x2

y2

 

1 y x 2

y x2 . Следовательно, dz

2x2

x2

 

 

1

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

x2 x4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

20.3.3. Найти

 

dy

, если cos x y exy

 

0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение (см. 20.2.1). F x;y cos x y exy

0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dy

 

 

cos x y exy x

 

 

sin x y yexy

 

 

 

sin x y yexy

 

 

 

dx

 

cos x y exy y

 

 

 

.

 

 

 

sin x y xexy

sin x y xexy

 

 

 

20.4. Задачи для самостоятельного решения

20.4.1.Найти производную dudt , если u x2 y2 xy , где x sint , y et .

20.4.2.z x2 y y2x , x u cosv , y u sinv ; uz ? vz ?

107

20.4.3. Найти

dz

, если: а) z arctgxy ,

y ex ; б) z arcsin

x

, y

x2 1.

dx

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

20.4.4.Найти

dy

в точке М(1;1),если функция задана неявно

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2 y3 2 3x2 y y3 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

20.4.5. Найти

dy

, если xln y 2x y2

5.

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

20.4.6. Для неявно заданной функции

 

xy3 3xz ysinz 1 найти частные

производные

y

и x в точке М(1;1;0).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

20.4.7. Для неявно заданной функции

 

x

2y2 xz arctgz 0

найти y

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

в точке (16;2;0).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответы.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

20.4.1. sin2t 2et et (sint cost). 20.4.2.

 

z

 

3u3 sinvcosv(cosv sinv),

 

u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ex (x 1)

 

 

1

 

 

z u3(1 3sinvcosv)(cosv sinv). 20.4.3. а)

 

; б)

 

.

 

1 x2e2x

1

x2

 

v

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

20.4.4. 1/3. 20.4.5.

y 2 ln y

. 20.4.6. 1; 2. 20.4.7. 1/24.

 

 

 

 

 

 

 

 

x 2y2

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

20.5. Локальные экстремумы функции двух переменных

Определение 20.5.1.. Точка M0 x0;y0 называется точкой максимума (минимума) функции двух переменных функции z f x;y , если существует такая окрестность точкиM 0(x0;y0 ), что для всех точекM x;y , лежащих в её ок-

рестности, выполняется условие f x;y f x0;y0 ( f x;y f x0;y0 ) Значение f x0;y0 называется локальным максимумом (минимумом)

функции. Максимумы и минимумы называют экстремумами.

Теорема 20.5.2. Необходимые условия экстремума. Если точка M0 x0;y0

точка экстремума функции z f x; y , и в этой точке существуют конечные

108

частные производные fx и

f y , то

fx

 

x

; y

0 и

fy

 

x0; y0

0.

 

 

 

 

 

 

0

0

 

 

 

 

Определение 20.5.3. Точки, принадлежащие области определения, в которых частные производные равны 0 (не существуют), называются стационар-

ными (критическими) точками функции.

Теорема 20.5.4. Достаточные условия экстремума функции двух пере-

менных. Пусть в стационарной точке M0 x0;y0 и ее окрестности функция z f x;y непрерывна и имеет непрерывные частные производные до

третьего порядка включительно, и пусть A f 2

 

 

; B f

 

 

; C f 2

 

и

 

 

 

D AC B2 .

 

x

 

M0

xy

 

M0

y

M0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1)

Если D 0

и A 0, то точка

M 0 точка минимума функции z f x;y .

 

2)

ЕслиD 0

и A 0, то точка

M 0 точка максимума функции z f x;y .

 

3)Если D 0 , то в точке M0 функция не имеет экстремума.

4)Если D 0 , то требуется дополнительное исследование.

20.5.5. Наибольшее и наименьшее значение функции в некоторой об-

ласти. Для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции z f x;y в области D нужно:

1)Найти все стационарные точки функции внутри области. Вычислить значения функции в этих точках.

2)Найти наибольшее и наименьшее значение функции на границе области.

3)Из всех, полученных таким образом значений выбрать наибольшее и наименьшее.

Наибольшее (наименьшее )значение функции нельзя смешивать с локальным максимумом(минимумом),который является наибольшим (наимень - шим ) значением только по сравнению с соседними точками.

20.6. Условный экстремум функции двух переменных

Определение 20.6.1. Пусть z f x;y определена на множестве D . L D подмножество, заданное условием F x;y 0(уравнение связи). Точка M0 x0;y0 L называется точкой условного максимума функции z f x;y (условного минимума функции), если существует такая

109

окрестность точки M 0,что для всех точек M x;y L , лежащих в этой окрестности, выполняется условие f x;y f x0;y0 f x;y f x0;y0 .

Исследование функции f x;y на условный экстремум сводится к

исследованию на обычный экстремум т.н. функции Лагранжа:

Ф x;y; f x;y F x;y .

20.6.2.Необходимый признак условного экстремума:

 

 

 

 

 

 

 

 

x fx Fx 0,

 

 

 

 

 

y fy Fy 0, Пусть x0;y0; — любое решение системы.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F x;y 0.

 

 

 

 

 

20.6.3.Достаточный признак условного экстремума:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

D0 x2 Fy 2 2 xy Fx Fy y2 Fx 2

x0

,y0

, 0

 

 

 

 

 

 

 

 

Если D0 0,то M0 точкаусловного max,

 

 

 

 

 

 

 

если D0 0,то M0 точкаусловного min.

 

 

 

 

 

20.7. Решение некоторых типовых задач, рассматриваемых в аудитории

20.7.1. Исследовать на экстремум функцию двух переменных

z x3 y3 3xy .

Решение. 1) Определяем стационарные точки функции (см. 20.5.2, 20.5.3). Для этого приравниваем ее частные производные к нулю, составляем систему и решаем ее:

zx' 3x2 3y 0z'y 3y2 3x 0

Стационарные точки функции: P1 0;0 и P2 1;1 .

2) Найдем производные второго порядка данной функции:

z"xx 6x, z"xy 3, z"yy 6y

3) ОпределимD AC B2 для каждой стационарной точки. а) Для точки P1 0;0 : D 9 0 экстремума нет.

б) Для точки P2 1;1 : D 27 0 значит, в точке минимум. zmin 1. 110