Добавил:

VadoZ хачю сдать сессию Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский технический университет связи и информатики

Предмет:

Высшая математика

Файл:

вышмат полезно

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

01.06.2024

Размер:

1.39 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1415 / 1515

26.4.1.

Вычислите

3x 2

dx .

3x 2 1

Решение. Случай, указанный в замечании к 26.1. Здесь

m 2, n 3,

НОК(n,m) 6.Сделаемподстановку 3x 2 t6 ,

, dx 2t5dt .Перепи-

3x 2

t8 1

шем

интеграл

dt 2

3 3x 2 1

t2 1

(t2

1)(t2 1)(t4 1)dt

2arctgt 2

1)dt

2arctgt

t2 1

2t7

2t3

2t 2arctgt C , где t 6 3x 2 .

26.4.2.

Найдите

(x 1)3 (x 2)3

Решение. Преобразуем подынтегральную функцию, чтобы свести ее к

случаю 26.1:

x 2

Замена

x 2

t3 ,

2 t3

1/3

5/3

(x 2)

x 1

(x 1)

3t2(t3

1) 3t2(2 t3)

3t2dt

(t3 1)2

, dx x (t)dt

(t3 1)2

t6 .

(t3 1)2

(x 2)2

Перепишем интеграл и вычислим его:

x 2 dx

3t2dt

(t3 1)2

x 1 2

C .

x 1 (x

x 2

26.4.3. Вычислите x 1/2(1 x1/4) 10 dx .

Решение.

Случай 26.2.1 дифференциального бинома:

1 ,

p 10. Замена

x zНОК(2,4) z4 ,

dx 4z3dz .

к z ,

Переходя

получим

x 1/2(1 x1/4) 10 dx z 2(1 z) 10 4z3dz 4 (z zdz1)10 . Сделаем еще одну подста-

новку z 1 y , dz dy , z y 1:

141

1/2

1/4

zdz

(y 1)dy

y 8

4y 9

(1 x

)

dx 4

y10

4 y

dy 4 y

(z 1)10

C .

2(1

1/4

)

9(1 x )

26.4.4. Найдите

xdx

1 3 x2

Решение. Здесь m 1, n

1 , s 2. Имеет место случай 26.2.2,

m 1

т.к.

–

целое

число.

Сделаем

подстановку

1 x2/3 z2 ,

2/3

3/2

1/2

dx 2

2zdz ;

тогда

xdx

3/2 1/2

3 (z

1)z

zdz 3 (z2 1)2dz

3z5

2z3 3z C 3(1 x2/3)5/2

3 (z4

2z2 1)dz

2(1 x2/3)3/2

3(1 x2/3)1/2

26.4.5. Вычислите x3 3 dx2 x3 .

Решение. Здесь m 3, n 3, p 13, s 3;

m 1									2		1								(случай 26.2.3)											2				3						2	1/3
			p									1 Z																				1 z				, x					,
	n		p						3		3	1 Z																	x		3	1 z				, x			3	1	,
	n								3		3																		x									z		1
				21/3				3			4/3			2								3		2z3				3		2			3		1/3
dx				3 (z					1)				3z		dz ,2 x											x						x					dx
dx				3 (z					1)		1/3		3z		dz ,2 x									z3 1		x						x					dx
		z3 1				z3			1		1/3				21/3					3			4/3		2						1	zdz					z2
																		(z				1)			3z		dz				2							C
			2					2z		3					3			(z				1)			3z		dz										4	C
			2					2z							3																						4
		1		2					2					(2 x3)2/3
		1		2					3					(2 x3)2/3
							1			C									2			C .
		4			3		1			C						4x			2			C .
		4	x													4x
			26.4.6. Найдите																dx				.
			26.4.6. Найдите													x	2		2		4		.
																x			x		4

Решение. Здесь m 2, n 2, p 12 . Случай 26.2.3, т.к. 142

m 1

p 1.Сделаем

замену

2 ,x

2zdz

(z2 1)3/2

4z2

z2 1

2 1

2zdz

;

3/2

x2 4

26.4.7. Найдите

7 6x x2dx .

Решение. Приведем подынтегральную функцию к виду, описанному

в 26.3.1:

7 6x x2dx

7 6x x2

dx . В числителе – многочлен второй

7 6x x

Q (x) Ax B , где A и B –

степени P (x) 7 6x x2 . По формуле из 26.3.1

неопределенные

коэффициенты.

Продифференцируем

равенство

7 6x x2

dx (Ax B)

7 6x x2

(учитывая 22.2.5):

6x x

7 6x x

7 6x x2 A 7 6x x2 (Ax B)

6 2x

2 7 6x x2

7 6x x2

Умножим на

7 6x x2 :

7 6x x2

A(7 6x x2) (Ax B)(3 x) ,

или x2 6x 7 2Ax2 (9A B)x (7A 3B ). Составим систему, приравняв коэффициенты при одинаковых степенях x в левой и правой

1 2A (при x2),

части последнего равенства:

6 9A B (при x),

Система имеет

7A 3B

(при x

единственное решение

1 , B 3

Далее,

arcsin

6x x

16 (x

обозначим x 3 t;

табличный 22.3.13

16 a2;

a 4; dx dt

arcsin

x 3

7 6x x2dx

x 3

7 6x x2 8arcsin

x 3

C .

26.4.8. Вычислите

(x 2)

2x2 2x 5

143

Решение. Интеграл вида 26.3.2. Сделаем подстановку t x 1 2 , x 2 1t

				dt																					dx																												dt
,dx t2								;
,dx t2								;						(x 2)											2x2 2x								5				t	2					1		2				2				1 2			2			1
																																					t						t		2				2					2		2			t	5
																																											t										t						t
													dt																					dt														1					d (3t 1)
																																																3
									8		2													2									9t2 6t 2															3					(3t 1)2 1
		t 8 t														4 t 5
		t 8 t										t2				4 t 5
	1ln				3t 1 9t2 6t 2																						C 1ln												3							1							9				6				2			C
																																							3														9				6
																																																				(x 2)2
	3				x 1 2x2																												3			x			2																	x			2
	3																																3			x			2																	x			2
	1		ln																				2x 5					C .
	1																						2x 5
	3														x 2
	3														x 2
																		26.5. Задачи для самостоятельного решения
26.5.1.									x 3					x2 6 x											dx .							26.5.2.															dx						.		26.5.3. x											x 1		dx .
26.5.1.														3											dx .							26.5.2.							(			3		x 4) x									.		26.5.3. x													dx .
										x(1								x)																					(					x 4) x																						x 1
26.5.4. x									2/3		(1						1/3			)		3		dx .				26.5.5.							3	1		4							x		dx .							26.5.6.											dx						.
													x
													x																													x																			x	2			3				)	5
																																										x																			x		3 (2 x						)
26.5.7.											x3dx											.			26.5.8.												dx														.
26.5.7.									1 2x x										2			.			26.5.8.						(x 1)				3			x			2		2x						1		.
									1 2x x																						(x 1)							x					2x						1
			Ответы.														26.5.1. 3 3											x2	6arctg 6 x C .																			26.5.2.						66	x 12arctg											6 x	C .
			Ответы.														26.5.1. 3 3											x2	6arctg 6 x C .																			26.5.2.						66	x 12arctg										2		C .
																								2																																									2
26.5.3.					x 2										2								1									2																					3			1/3		2
					x 2										2								1									2																					3			1/3		2
												x					1						2ln			x				x			1	C .												26.5.4. 2								(1 x			)			C .
							2					x					1													x			1	C .																				(1 x			)			C .
							2
26.5.5.				12									1/4					7/3									1/4			4/3			C .							26.5.6.													3x3 4						C .
				7					(1	x							)				3(1 x								)
				7					(1	x							)				3(1 x								)																					8x 3				(2 x3)2
26.5.7.						2x2				5x 19													1 2x x2								4arcsin							x 1							C .
26.5.7.											6												1 2x x2								4arcsin														C .
											6																														2

26.5.8.4(x2x 21)x 2 1 82 arcsin x 21 C .

ЗАНЯТИЕ 27 27. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

27.1. Простейшие методы интегрирования

144

Некоторые интегралы от тригонометрических функций можно вычислить, опираясь только на табличные интегралы 22.3.4–5, 22.3.8–9, 22.3.16–19 и применяя тождественные преобразования (см. примеры 22.4.5–6, 22.4.8, 23.4.4). Приведем для справок несколько формул:

27.1.1.sin sin 12 cos( ) cos( ) ;

27.1.2.cos cos 12 cos( ) cos( ) ;

27.1.3.sin cos 12 sin( ) sin( ) ;

27.1.4. sin	2	1 cos2	2		1 cos2
27.1.4. sin		2	, cos		2	.
Замечание. В интегралах вида					dx	, где n и m – натуральные
Замечание. В интегралах вида				sinn x cosm x		, где n и m – натуральные

числа, бывает полезно записать единицу в числителе в виде (sin2 x cos2 x)k , где k – подходящее натуральное число.

27.2. Тригонометрические подстановки

Рассмотрим интеграл R(sinkx, coskx)dx , где R(sinkx, coskx)– рациональная функция от синуса и косинуса.

27.2.1. Если R( sinkx, coskx) R(sinkx, coskx) (функция нечетна по синусу), то переходят к новой переменной t coskx .

27.2.2.Если R(sinkx, coskx) R(sinkx, coskx) (функция нечетна по косинусу), то переходят к новой переменной t sinkx .

27.2.3.Если R( sinkx, coskx) R(sinkx, coskx), то переходят к новой

переменной t tgkx . В частности,	dx	1		dt		–

	acos2 kx bsin2 kx c		k(b c)	t2	a c
					b c

табличный интеграл 22.3.12 или 22.3.14 (полагаем, что a c 0, b c 0).

Замечание. Интегралы вида sinp kx cosq kxdx подстановками 27.2.1–2

сводятся к интегралам от дифференциальных биномов 26.2 при любых рациональных p и q .

27.3. Универсальная тригонометрическая подстановка

145

Если рациональная функция R(sinkx, coskx) не удовлетворяет ни од-

ному из условий 27.2.1–27.2.3, то применяют универсальную тригонометри-

ческую подстановку t tg

. При этом sinkx

coskx

2dt

arctgt , dx

R(sinkx, coskx)dx

1 t

)

k(1 t

1 t

Замечание.

Применение этой подстановки к интегралам вида

0) позволяет свести их к табличным.

a coskx bsinkx c

27.4.Решение некоторых типовых задач, рассматриваемых в аудитории

27.4.1.Найдите sin2 x cos5xdx .

Решение. Применим формулы 27.1.4 и 27.1.2: sin2 x cos5xdx

1 cos22 x cos5xdx 12 cos5xdx 12 cos2x cos5xdx sin510 x 14 (cos7x cos3x)dx

sin510 x sin728x sin312 x C .

27.4.2. Вычислите

cosx sin4 x

Решение. Учтем замечание к 27.1.

(sin2 x cos2 x)

cosx sin4

cosx sin4 x

1 t

2, t sinx

sin4

x 2sin2 x cos2 x cos4 x

(2sin2

x cos2 x)cosxdx

cosx sin4 x

cosx

sin4 x

(t2 1)

dt ln

C ln

sinx

27.4.3. Найдите dx . (1 sinx) cosx

2dx

3sin13 x C

Решение. Функция нечетна по косинусу (27.2.2), поэтому сделаем под-

становку t sinx :

cosxdx

d (sin x)

sin x) cosx

sin x) cos

(1 sin x) (1 sin

. Разложим дробь

в сумму элементарных дробей:

(1 t)2(1 t)

146

		1					A				B				D				A(1 t)(1 t) B(1 t) D(1 t)2
																											.
	(1 t)2(1 t)					1 t			(1		t)2			1 t								(1 t)2(1 t)					.
	(1 t)2(1 t)					1 t			(1		t)2			1 t								(1 t)2(1 t)
Приравняем числители: A(1 t)(1 t) B(1 t) D(1 t)2 1. Положим в
этом тождественном равенстве t													1, получим								4D 1, D			1 . Затем положим
														1 .										4
t 1,		откуда					2B 1,					B		1 .				Приравняем						свободные		члены
														2
A B D 1			A			1 . Вычислим интеграл и вернемся к старой переменной:
						4
			dt					1			1		1				1			1		1		1 dt	1	dt
																							dt
		(1 t)		2	(1 t)			4		1	t		2		(1	t)			2	4			dt	4 1 t	2 (1	t)		2
		(1 t)			(1 t)			4		1	t		2		(1	t)				4	1 t			4 1 t	2 (1	t)

1 dt 1 1 1 1 1 sinx 1

4 t 1 4ln|1 t | 2(1 t) 4ln|t 1| C 4ln 1 sinx 2(1 sinx) C .

27.4.4. Найдите sin3cosxx dx .

Решение. Запишем sin3x по формуле sin3 3sin sin3 . Таким

образом, подынтегральная функция	3sin x 4sin3	x	имеет одинаковую чет-
	cosx

ность (нечетна) и по sinx , и по cosx , т.е. можно воспользоваться любой из подстановок 27.2.1, 27.2.2, 27.2.3. Наиболее удобно перейти к новой пере-

менной t cosx : 3sinx 4sin3 x dx

(3 4sin2 x)sinxdx

3 4(1 t2)dt

cosx

4 tdt ln|t | 2t2 C ln|cosx | 2cos2 x C .

27.4.5. Вычислите

sin2 2x

dx .

1 3cos2 2x

Решение. Случай 27.2.3. Сделаем подстановку

t tg2x ,

sin2 2x

t2 1

sin2 2x

1arctgt , dx

cos2 2x

, x

t2 1

1 3cos2 2x

2(t2 1)

sin2 2x

t2dt

Перепишем интеграл:

dx 2

1 3cos2 2x

(t2 4)(t2 1)

Подынтегральную функцию разложим в сумму элементарных дробей:

At B

Dt E

(At B)(t2 1) (Dt E)(t2 4)

. Составим

(t2

4)(t2

(t2 4)(t2

147

систему, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях числителей:

A D 0

(при t

B E 1

(при t2),

Решение системы A D 0,

, E

(при t1),

A 4D 0

B 4E 0

(при t

Завершим вычисление

sin2 2x

t2dt

1 3cos

4)(t

1arctg

1arctgt C

1arctg tg2x

C .

27.4.6. Вычислите

cosx sin

Решение. Сведем к интегралу от дифференциального бинома при по-

мощи подстановки

t cosx ,

x arccost ,

dx (1 t2) 1/2dt ,

sinx (1 t2)1/2 .

Интеграл приметвид I t 1/2(1 t2) 5/4 dt .Здесь m

, n 2,

.Слу-

т.к. m 1

чай

26.2.3,

1 Z .

Подстановка

z4 )1/2

2z3dz

5/4

(1 z4)5/4

(1 t

)

3/2

1 z

2 (1 z

1/4

(1 z4)5/4

z3dz

2t1/2

C .

Вернемся к

)

3/2

1/4

)

старой переменной:

cosx

C 2

ctgx C .

cosx sin

sinx

27.4.7.

Найдите

3 cos5x 2sin5x

Решение. Универсальная

подстановка

27.3,

t tg5x

2dt

5(t2 1)

2dt

5(1 t2 )

3 cos5x 2sin5x

1 t2

5(3 3t2

1 t2

4t)

5(t2 2t 2)

1 t 2

1dt 1 1 5x

5 (t 1)2 1 5arctg(t 1) C 5arctg tg 2 1 C .

27.5.Задачи для самостоятельного решения

148

27.5.1.		cos2x sin3x sin5xdx . 27.5.2.																													dx		.	27.5.3. sin3 x cos4 xdx .
27.5.1.		cos2x sin3x sin5xdx . 27.5.2.																												cos4 x			.	27.5.3. sin3 x cos4 xdx .
27.5.4.											dx								.			27.5.5.									dx				.	27.5.6.		dx
27.5.4.		2cos2 3x 5sin2 3x 1																	.			27.5.5.						3	sin2 x cos10 x						.	27.5.6.		3cosx 2
										cosxdx															1 sin2x cos2x
. 27.5.7.																	.27.5.8. 1 sin2x cos2x dx .
. 27.5.7.				sin2					x 6sinx 5								.27.5.8. 1 sin2x cos2x dx .
27.5.9.									dx							.
27.5.9.		sin2					x sinx 2									.
Ответы.									27.5.1.							x	sin4x							sin6x					sin10x			C .		27.5.2. tgx				tg3 x	C .
Ответы.									27.5.1.						4			16							24				40			C .		27.5.2. tgx				3	C .
															4			16							24				40									3
27.5.3.	cos7 x								cos5			x	C .27.5.4.							1			arctg(2tg3x) C . 27.5.5.													33 tgx	33	tg7 x	C
27.5.3.	7								5				C .27.5.4.							6			arctg(2tg3x) C . 27.5.5.													33 tgx		7	C
	7								5											6																		7
	1							tg		x			5										1			5 sin x
										x

27.5.6.			ln						2					C . 27.5.7.											ln						C . 27.5.8.					x ln \|1 ctg x \| C
27.5.6.	5		ln											C . 27.5.7.											ln						C . 27.5.8.					x ln \|1 ctg x \| C
								tg		x			5										4			1	sin x
								tg					5										4			1	sin x
									2
			2									2 3						2tg			x		1
27.5.9.			2									2 3			arctg			2tg			2		1			C .
27.5.9.	3(tg				x	1)							9		arctg							3				C .
	3(tg				2	1)							9									3

ЛИТЕРАТУРА

[1]Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа. 20-е изд.;

М.: Наука,1985. 384с.

[2]Журбенко Л.Н., Никонова Г.А., Никонова Н.В., Нуриева С.Н., Дегтярева О.М. Математика в примерах и задачах: Учеб. пособие. – М.: ИНФРА-М,2011.

- 372 с. (Высшее образование).

149

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1415 / 1515

Соседние файлы в предмете Высшая математика

#
01.06.20247.65 Mб1Berman.pdf
#
01.06.20245.04 Mб1L_D_Kudryavtsev_Kurs_matimaticheskogo_analiza_Tom_1.pdf
#
01.06.20246.08 Mб0L_D_Kudryavtsev_Kurs_matimaticheskogo_analiza_Tom_2.pdf
#
01.06.20242.46 Mб0L_D_Kudryavtsev_Kurs_matimaticheskogo_analiza_Tom_3.pdf
#
01.06.20241.39 Mб5вышмат полезно.pdf
#
01.06.2024482.88 Кб2кр по алегебре.pdf
#
01.06.20245.41 Mб59лекции вышмат.pdf
#
01.06.20241.34 Mб1линейная алгебра и агалитич геом.pdf