Добавил:

VadoZ хачю сдать сессию Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский технический университет связи и информатики

Предмет:

Высшая математика

Файл:

вышмат полезно

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

01.06.2024

Размер:

1.39 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 1514 15 > Следующая >>>

Решение. Сделаем подстановку z arcsin

x ,

x sin2

z , dx sin2zdz и

найдем

z sin2zdz

методом интегрирования

по

частям

(случай 24.1.1):

zsin2zdz

1 z cos2z cos2z dz

1 z cos2z

1sin2z C

z(1

2sin

sinz cosz C

2x 1

arcsin

x x2

C .

24.3.6. Найдите 32x2 12 dx .

(x 4)

Решение. Преобразуем подынтегральное выражение:

	3x2 1	dx	3(x2 4) 11	dx 3	dx	11		dx	. Первый интеграл
	(x2 4)2		(x2 4)2		x2 4		(x2	4)2

табличный, а второй найдем с помощью рекуррентной формулы, полученной

3x2 1

24.2:

dx 3

2arctg

(x2 4)2

x2 4

(x2

4)2

x2 4

3arctg

11arctg

13arctg

11x

C .

x2 4

8(x2 4)

24.3.7. Найдите sin(2lnx)dx .

Решение.Сделаемзаменупеременной t lnx , x et , dx etdt .Врезультате интеграл запишется так: et sin2tdt . Этот вид не относится ни к одному

из случаев 21.4.1–21.4.4, но к подобным интегралам дважды применяется интегрирование по частям, после чего искомый интеграл выражается из

полученного уравнения. Пусть, например, u sin2t , du 2cos2tdt , dv etdt , v et . Тогда I et sin2tdt et sin2t 2 et cos2tdt . К новому интегралу опять

применяем интегрирование по частям, выбрав u cos2t ,			du 2sin2tdt , тогда
et cos2tdt et cos2t 2 et sin2tdt et cos2t 2I . Итак,			для интеграла I
получилось уравнение	I et sin2t 2(et cos2t 2I ) 4I et (sin2t 2cos2t),
из которого найдем I	et (sin2t 2cos2t)	C . Возвратимся к переменной x :
	5

sin(2lnx)dx 15 x sin(2lnx) 2cos(2lnx) C .

24.4.Задачи для самостоятельного решения

131

24.4.1. x 2	x	dx . 24.4.2.	xcos(3x 1)dx . 24.4.3. x	2	sin2xdx . 24.4.4.	xdx
						cos2 x
24.4.5. x cos xdx .			24.4.6. x log2 xdx .		24.4.7. ln(1 x2)dx

arctg x dx

24.4.8.x 1 dx . 24.4.9. eax cosbxdx . 24.4.10. (x2 1)3 .

Ответы. 24.4.1.

x 2x

C . 24.4.2.

xsin(3x 1)

cos(3x 1)

ln2

24.4.3.

xsin2x

(2x2 1)cos2x C .

24.4.4. x tgx ln|cosx | C

. 24.4.5. 2 x(x 6)sin

x 6(x 2)cos

x C . 24.4.6.

x log2

x 4x x

24.4.7. xln(1 x2) 2arctgx 2x C .

9ln2

24.4.8. 2

x 1arctg

x 2ln(

x 1) C . 24.4.9.

eax (a cosbx bsinbx)

3arctgx C .

24.4.10.

4(x2 1)2

8(x2 1)

ЗАНЯТИЕ 25

25.ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ

25.1.Элементарные дроби и их интегралы

C .

Определим элементарные (или простые) дроби. Всего выделяют четыре типа простых дробей.

25.1.1. Дроби I типа

;

1ln|kx b | C , (k 0).

kx b

25.1.2. Дроби II типа

;

C ,

(kx b)n

k(n 1)(kx b)n 1

(k 0; n 2,3,4,...).

Формулы 25.1.1–25.1.2 являются табличными интегралами (см. 22.3.2, 22.3.1 с учетом свойства 22.2.3).

25.1.3. Дроби III типа	Mx N	. Здесь p2 4q 0 (дискриминант зна-
	x2 px q

менателя отрицателен; знаменатель не может быть разложен на линейные множители вида kx b ). Интегралы элементарных дробей III типа вычисляются следующим образом:

1) найдем производную знаменателя (x2 px q) 2x p ;

132

2) перепишем числитель в виде Mx N

(2x p)

;

3) представим интеграл в виде суммы

(Mx N )dx

(2x p)dx

2 x

;

px q

4) в первом интеграле сделаем замену t x2

px q , тогда числитель

и интеграл имеет вид

ln|t | ln(x

px q);

равен t dx dt

5) второй интеграл находим методом выделения полного квадрата

a arctg

x2 px q

z2 a

табличный интеграл

22.3.12

z x p/2;

0 по условию;

dz dx

обозначим a2

arctg

2x p

C ;

q p2

/ 4

4q p2

6) окончательно получим

(Mx N )dx

ln(x

px q)

2N Mp

arctg

2x p

4q).

x2 px q

4q p2

25.1.4. Дроби IV типа

Mx N

(n 2,3,...). Поступая точно так же,

(x2 px q)n

как

пункте

25.1.3

дробями

III

типа,

придем

равенству

(Mx N )dx

2N Mp

px q)

2 t

)

2(n 1)t

n 1

)

2N Mp

. Переменные t ,

z и параметр

2(n 1)(x2 px q)n 1

(z2

a2)n

a определяются так же, как в 25.1.3.

Последний интеграл можно вычислить с

помощью рекуррентной формулы, выведенной в 24.2. Итак,

(Mx N )dx

2N Mp

(x2

px q)n

2(n 1)(x2

px q)n 1

(x p / 2)2

q p2 / 4 n

25.2. Разложение правильной дроби в сумму элементарных дробей 25.2.1. Выделение целой части.

133

Определение.Рациональнаяфункция Pm (x) ,где Pm (x) и Qn (x) –много-

Qn (x)

члены порядка m и n соответственно, называется правильной, если порядок числителя меньше порядка знаменателя, т.е. m n . В противном случае (m n) дробь называется неправильной.

Из неправильной дроби следует выделить целую часть методом деления

«уголком». В результате получается выражение	Pm (x)	R	(x)	Sn 1(x)	, где
	Q (x)			Q (x)
		m n
	n			n
Rm n (x) – многочлен порядка m n (частное от деления), а			Sn 1(x) – много-

член порядка, не превышающего n 1 (остаток от деления). Таким образом,

вновь полученная дробь Sn 1(x) является правильной.

Qn (x)

25.2.2.Разложениеправильнойдробивсуммупростыхдробей.Пусть теперь знаменатель Qn (x) разложен на множители. Допускаются множители

вида (kx b)l

(отвечающие действительному корню x b / k кратности l )

вида (x2 px q)j

, где p2

4q .

Множителю вида (kx b)l

отвечает l элементарных дробей вида

kx b

,…,

, где

A , A ,...,A

– числа, подлежащие определению (их

(kx b)2

(kx b)l

1 2

называют неопределенными коэффициентами).

Множителю вида (x2 px q)j

отвечает j элементарных дробей вида

x N

,…,

M j x N j

, где M

,...,M

и N ,N

,...,N

x2 px q

(x2 px q)2

(x2 px q)j

– неопределенные коэффициенты.

Вид разложения, количество дробей и неопределенных коэффициентов

определяются только знаменателем правильной дроби. При этом полезно проверить выполнение двух правил: 1) количество простых дробей равно сумме показателей степеней всех множителей знаменателя исходной дроби; 2) количество неопределенных коэффициентов равно n – порядку знаменателя исходной дроби.

25.2.3. Вычисление неопределенных коэффициентов. При верном разложении (по правилам пункта 25.2.2) все неопределенные коэффициенты находятся однозначно. Для их вычисления: 1) разложение дроби в сумму простых дробей приводят к общему знаменателю; 2) в полученном числителе

134

коэффициенты при x0 (свободный член), x1, x2,… приравнивают к соответствующим коэффициентам числителя исходной дроби. Получается квадратная система линейных уравнений, имеющая единственное решение.

Замечание. Уравнения для отыскания неопределенных коэффициентов можно получить и другим способом, придавая переменной x любые значения (в качестве таких значений удобно брать действительные корни знаменателя, т.е. x b / k ). На практике сочетают оба способа.

25.2.4. Интегрирование полученного разложения. После того, как выделена целая часть, правильная дробь разложена в сумму простых дробей и коэффициенты вычислены, переходят к интегрированию, причем отдельные слагаемые представляют собой либо многочлен, либо дроби, которые интегрируются по формулам 25.1.1–25.1.4.

25.3. Решение некоторых типовых задач, рассматриваемых в аудитории

25.3.1.	Вычислите	3x4	2x3	3x2 12x 11			dx .
			3x	2	x	2

Решение. Выделим целую часть неправильной подынтегральной дроби:

3x4 2x3 3x2 12x 11						3x2 x 2
3x	4	x	3	2x	2	x2 x 2
3x		x		2x
						частное

3x3 5x2 12x 11

3x3 x2 2x

6x2 10x 11

6x2 2x 4

8x 7

остаток

Напомним, как делить «уголком». Старший член делимого делим на старший член делителя (на первом шаге делим 3x4 на 3x2 ) – так получается

старшее слагаемое частного, т.е. x2. Затем умножаем делитель на это слагаемое, результат записываем под делимым и производим вычитание, получаем

многочлен 3x3 5x2 12x 11; далее процесс повторяется, пока не получится остаток, т.е. многочлен, порядок которого меньше порядка делителя. В этом примере остаток равен 8x 7. Применяем формулу пункта 25.2.1, переписав исходную дробь по правилу:

ДелительДелимое Частное ДелительОстаток . 135

В нашем примере 3x4 2x3

3x2 12x 11 x2

x 2

8x 7

. Те-

3x2 x 2

перь

будем следовать

алгоритму, изложенному в

пунктах 25.2.2–25.2.4:

3x2 x 2

(3x 2)(x 1);

первому множителю отвечает дробь

, вто-

рому

,где A и B –неопределенныекоэффициенты.Записываемразложе-

x 1

8x 7

A(x 1) B(3x 2)

(A 3B)x (A 2B) .

ние

3x2 x 2

3x 2

x 1

(3x 2)(x 1)

3x2 x 2

Знаменатели равны, следовательно, числители должны быть тождественно

равны. Приравниваем коэффициенты при x и свободные члены: A 3B 8,

A 1,

A 2B 7.

Решив эту систему,

найдем

B 3.

Теперь

переходим к

интегрированию с использованием формулы 25.1.1

для

дробей I

типа:

3x4 2x3

3x2 12x 11

dx x

x 2

3x 2

x 1

1ln|3x

2| 3ln| x 1| C .

9x 6

25.3.2.Вычислите x3 8 dx .

Решение. Дробь правильная, поэтому выделения целой части не требуется. Разложим знаменатель по формуле суммы кубов:

x3 8 (x 2)(x2 2x 4). Теперь запишем разложение на простые дроби:

9x 6

Mx N

A(x2 2x 4) (Mx N)(x 2)

2x 4

(x 2)(x2

2x 4)

(A M )x2 (2M N 2A)x (4A 2N ) .

x3 8

	Приравняем коэффициенты при x2, x и свободные члены, получим сис-
		A M 0,
тему
тему	2M N 2A 9, Учтем замечание к пункту 25.2.3 и подставим в
		4A 2N 6.
		4A 2N 6.

равенство числителей x 2, откуда сразу получим 24 12A, т.е. A 2. Из системы найдем M 2, N 1. Вычислим интеграл (см. 25.1.1, 25.1.3):

136

9x 6

2x 1

2x 2

dx 2ln| x 2|

2x 4

x 2

x 1

C .

2ln| x 2| ln(x

2x 4)

3arctg

(x 1)2 3

25.3.3. Найдите

x3 2x2 3x 7

dx .

x4 2x3 2x 1

Решение. Дробь неправильная. Выделим целую часть:

x5 x3 2x2 3x 7

x 2

3x3

x4 2x3 2x 1

x4 2x3

2x 1

Разложим знаменатель, сгруппировав слагаемые: x4 2x3

2x 1

x4 1 2x(x2 1) (x2 1)(x2 1) 2x(x2 1) (x2 1)(x2 1 2x)

(x 1)(x 1)(x 1)2 (x 1)(x 1)3 . По правилам пункта 25.2.2, такому знаменателю отвечает сумма 1 3 4 дробей с четырьмя неопределенными

коэффициентами, а именно:

3x3

x4 2x3 2x 1

x 1

(x 1)2

(x 1)3

Приравняем числители левой и правой (после приведения ее к общему зна-

менателю) частей: 3x3 5 A(x 1)3 B(x 1)(x 1)2 D(x 1)(x 1) E(x 1)

. Согласно замечанию к 25.2.3 положим x 1

8 8A; затем положим

x 1

2 2E , откуда A 1,

E 1. Приравняем теперь коэффици-

енты при x3 : 3 A B

B 2. Приравняем свободные члены:

5 A B D E ; 5 1 2 D 1

D 5. Итак, разложение имеет вид

3x3 5

x4 2x3

2x 1

x 1

(x 1)2

(x 1)3

По формулам 25.1.1, 25.1.2 легко находим интеграл:

x5 x3 2x2 3x 7

x 2

2x 1

x 1

2x ln| x 1| 2ln| x 1|

C .

2(x 1)2

25.3.4. Найдите

2x3 31

dx .

(x2 6x 10)2

Решение. Подынтегральная дробь правильная, т.к. числитель третьего порядка, а знаменатель (если раскрыть скобки) – четвертого. Поэтому сразу запишем разложение в сумму элементарных дробей, согласно 25.2.2:

137

2x3 31

Ax B

Dx E

. Приведем правую часть к об-

(x2 6x 10)2

x2 6x 10

(x2

10)2

щему знаменателю и приравняем числители:

2x3 31 (Ax B)(x2 6x 10) Dx E Ax3

Bx2 6Ax2 6Bx 10Ax

10B Dx E Ax3 (6A B)x2

(10A 6B D)x 10B E . Составив сис-

тему, приравняв коэффициенты при одинаковых степенях x :

A 2,

6A B 0,

Решение системы: A 2,

B 12, D 52, E 151.

10A 6B D

10B E 31.

2x3 31

2x 12

52x 151

(2x 6)dx

(x2 6x 10)2

6x 10

(x2

6x 10)2

x2 6x 10

(2x 6)dx

lnt 18arctgz t

(x 3)2 1

(x2

6x 10)2

(x 3)

(z2 1)2

5 (z2dz1)2 . Последний интеграл вычисляется по рекуррентной формуле из

пункта 24.2:			dz		1			z		dz			z		1	arctgz C .

	(z	2	1)	2	2		2	1	z	2	1	2(z	2	1)	2
	(z		1)		2	z		1	z		1	2(z		1)	2

Возвращаясь к переменной x , получим

2x3 31 41 5x 67

(x2 6x 10)2 dx ln(x2 6x 10) 2 arctg(x 3) 2(x2 6x 10) C .

25.4.Задачи для самостоятельного решения

5x 9

xdx

2)dx

25.4.1.

dx .

25.4.2.

25.4.3.

5x 6

1)(x 2)(x 3)

(x 1)(x 1)

25.4.4.

x5 x4

x2 2x 5

25.4.6.

x3 6

dx .

25.4.5.

dx .

x3 4x

x2 2x 2

6x2 8

25.4.7.

2x2 2

dx . 25.4.8.

xdx

2x 2)

1)(x

138

Ответы. 25.4.1. x 3ln | x 3| 3ln | x 2| C . 25.4.2. 14ln| x 1| 52

ln\| x 2\|						3		ln\| x 3\| C .							25.4.3.	1ln\| x 1\| .					3ln\| x 1\|			3		C .
ln\| x 2\|					20			ln\| x 3\| C .							25.4.3.	1ln\| x 1\| .					3ln\| x 1\|			2(x 1)		C .
					20											4					4			2(x 1)
25.4.4.			x3				x2			4x 2ln\| x \| 5ln\| x 2\| 3ln\| x 2\| C . 25.4.5.														3ln(x2		2)
25.4.4.			3							4x 2ln\| x \| 5ln\| x 2\| 3ln\| x 2\| C . 25.4.5.														3ln(x2		2)
			3			2																		2
2ln\| x 1\|								1			arctg	x	C . 25.4.6.			ln(x2		4) 1ln(x2 2)					3arctg		x
	3				x				2			2			x3 2x2 x 3				2				2	2
	3	arctg			x			C . 25.4.7.							x3 2x2 x 3			2ln(x2		2x 2) arctg(x 1) C
		arctg				2		C . 25.4.7.							x2 2x 2			2ln(x2		2x 2) arctg(x 1) C
2						2									x2 2x 2
. 25.4.8.				1		ln				(x 1)2					x 1		3	arctg	2x	1		C .
. 25.4.8.			18			ln			x2 x			1		3(x2 x 1)			9	arctg		3		C .
			18						x2 x			1		3(x2 x 1)			9			3

ЗАНЯТИЕ 26

26.ИНТЕГРИРОВАНИЕ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ

26.1.Интегрирование иррациональностей от дробно-линейных функций


В интегралах вида f		x			2	2 0, делают замену
В интегралах вида f	x;n	x		dx , где	2	2 0, делают замену
		x
	x			tn		( )ntn 1
переменной по правилу t n	x		, x	tn , dx		( tn )2	dt	.

Если f (x;t) – рациональная функция двух переменных, то исходный интеграл после такой замены сводится к интегрированию рациональной дроби.

Замечание. Если подынтегральная функция содержит радикалы разных

степеней	n, m,..., то выполняют подстановку	x	t	НОК(n,m,...)	, где
		x

НОК(n,m,...) – наименьшее общее кратное чисел n, m,....

26.2. Интегрирование дифференциальных биномов

Дифференциалывида xm (a bxn )p dx ,где a и b –действительныечисла, отличные от нуля, m , n и p – рациональные числа, называются диффе-

ренциальными биномами или биномиальными дифференциалами. Интегралы дифференциальных биномов xm (a bxn )p dx вычисляются в элементарных

функциях только в трех случаях. Приведем подстановки, в результате которых получается интеграл от рациональной функции:

139

26.2.1. p Z ( p – целое число). В этом случае делают замену x zr , где r – НОК знаменателей рациональных чисел m и n .

Если p N ( p – натуральное число), то достаточно просто применить формулу бинома Ньютона для раскрытия скобок в (a bxn )p , независимо от того, какими числами являются m и n – целыми или дробными.

26.2.2. mn 1 Z . Замена a bxn zs , где s – знаменатель числа p .

26.2.3.	m 1	p Z . Замена	a	b zs , где s – знаменатель числа p .
	n		xn

26.3. Интегралы, содержащие квадратный корень из квадратного трехчлена

26.3.1. Интегралы вида	Pn (x)		dx . Здесь	Pn (x)– многочлен n -
	ax2	bx c

го порядка. При n 0 после выделения полного квадрата в подкоренном выражении получается табличный интеграл. При n 1 удобно вычислять интеграл методом подстановки, как в 23.2.7. При n 2 применяют формулу

		Pn (x)	dx Qn 1	(x) ax	2	bx c	dx	.
		ax2 bx c					ax2 bx c

	Здесь Qn 1(x) – многочлен снеопределенными коэффициентами порядка
n 1,	– неопределенный коэффициент. Для нахождения числа								и
коэффициентов многочлена Qn 1(x)				составляют систему, которую получают,

переходя в этом равенстве к производным (интегралы при этом превращаются в подынтегральные функции), умножив полученное выражение на

ax2 bx c и приравняв коэффициенты многочленов в числителе левой и правой части.

26.3.2.Интегралы ( x )m	dx	,где m – натуральное число,
	ax2 bx c

сводят к интегралам вида 26.3.1 заменой x 1t .

Кинтегралам,содержащимподзнакомквадратногокорняквадратичные выражения, применяют также тригонометрические подстановки, (см. пункты

23.3.3, 23.3.4, 23.3.5).

26.4. Решение некоторых типовых задач, рассматриваемых в аудитории

140

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 1514 15 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Высшая математика

#
01.06.20247.65 Mб1Berman.pdf
#
01.06.20245.04 Mб1L_D_Kudryavtsev_Kurs_matimaticheskogo_analiza_Tom_1.pdf
#
01.06.20246.08 Mб0L_D_Kudryavtsev_Kurs_matimaticheskogo_analiza_Tom_2.pdf
#
01.06.20242.46 Mб0L_D_Kudryavtsev_Kurs_matimaticheskogo_analiza_Tom_3.pdf
#
01.06.20241.39 Mб5вышмат полезно.pdf
#
01.06.2024482.88 Кб2кр по алегебре.pdf
#
01.06.20245.41 Mб59лекции вышмат.pdf
#
01.06.20241.34 Mб1линейная алгебра и агалитич геом.pdf